Benutzerin:Gabriele Hornsteiner/Differentialrechnung

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Grenzwerte

Der Begriff des Grenzwerts einer Funktion soll zunächst an einem Beispiel erklärt werden:

Gegeben ist eine Zahlenfolge

$x$ als Bruch	${\frac {1}{2}}$	${\frac {2}{3}}$	${\frac {3}{4}}$	$\cdots$	${\frac {9}{10}}$	$\cdots$	${\frac {99}{100}}$	$\cdots$
$x$ ausgerechnet	$0,5$	$0,67$	$0,75$	$\cdots$	$0,9$	$\cdots$	$0,99$	$\cdots$

Es handelt sich um eine Folge von x-Werten, wobei $x\rightarrow x_{0}=1$ , x strebt also gegen den Wert 1, wie man deutlich sieht.

Es ist nun eine Funktion $y=f(x)$ gegeben mit $y={\frac {x^{2}-1}{x-1}}={\frac {(x-1)(x+1)}{x-1}}=x+1$ . Für $x_{o}=1$ ist die Funktion nicht definiert, aber was ist, wenn man sich $x_{0}$ sehr stark nähert, z.B. mit der Folge $\quad {\frac {1}{2}}\quad {\frac {2}{3}}\quad {\frac {3}{4}}\quad \cdots$ ?

Wir erhalten nun für die Folge der x-Werte die Folge der y-Werte

$x$	${\frac {1}{2}}$	${\frac {2}{3}}$	${\frac {3}{4}}$	$\cdots$	${\frac {9}{10}}$	$\cdots$	${\frac {99}{100}}$	$\cdots$
$y$	$1+\,{\frac {1}{2}}$	$1+\,{\frac {2}{3}}$	$1+\,{\frac {3}{4}}$	$\cdots$	$1+\,{\frac {9}{10}}$	$\cdots$	$1+\,{\frac {99}{100}}$	$\cdots$
$y$	$1,5$	$1,67$	$1,75$	$\cdots$	$1,9$	$\cdots$	$1,99$	$\cdots$

Welchem Wert nähert sich nun y? Dem Wert 2. Der Grenzwert von links für x \rightarrow 1 ist 2.

Zuerst haben wir uns x_0 von links genähert, nun nähern wir uns x_0 von rechts, z.B. mit der Folge

$x$	$1+1$	$1+{\frac {1}{10}}$	$1+{\frac {1}{100}}$	$1+{\frac {1}{1000}}$	$\cdots$
$x$	$2$	$1,1$	$1,01$	$1,001$	$\cdots$	$x\rightarrow x_{0}=1$
$y$	$3$	$2,2$	$2,01$	$2,001$	$\cdots$	$y\rightarrow 2$

Der Grenzwert von rechts ist 2. Nähert man sich $x_{0}$ von links oder recht, ist der Grenzwert der Funktion $f(x)=2$ . Es ist also

\lim _{x\rightarrow 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}=2.

Man sagt: Der Limes von f(x) für x gegen 1 ist 2 oder f(x) konvergiert gegen 2 für x gegen 1. Definition

Es sei eine Funktion y=f(x) gegeben. Nähern sich für jede beliebige Folge $x\rightarrow x_{0}$ die Funktionswerte immer mehr einem Wert $a$ $(a\in R)$ , ist a der Grenzwert von f(x) für $x\rightarrow x_{0}$ , also

\lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)=a.

Sind insbesondere linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert gleich a, hat f(x) den Grenzwert a.

Die obige Definition ist die anschauliche Variante. In der Regel wird aber die Definition mit Hilfe des Epsilon-Kriteriums verwendet, das in der ersten Hälfte des 19. Jahrhundert von dem bedeutenden französischen Mathematiker Cauchy entwickelt worden war, wobei es nicht verwunderlich ist, dass Cauchy von seinen Studenten gehasst wurde.

Definition

Die Funktion $f:X\to \mathbb {R} \;$ hat für $x\to x_{0}$ den Limes $a\;$ , wenn es zu jedem $\varepsilon >0\;$ ein $\delta >0\;$ gibt, so dass für alle $x\;$ -Werte des Definitionsbereichs mit Bedingung $0<|x-x_{0}|<\delta \;$ auch $|f(x)-a|<\varepsilon \;$ gilt.

Schreibt man die absoluten Ausdrücke als Doppelungleichungen, wird die Aussage verständlicher:

Zu jedem noch so kleinen Intervall $x_{0}-\delta <x<x_{0}+\delta \;$ im Definitionsbereich D um den Wert $x_{0}$ gehört ein Intervall $a-\varepsilon <f(x)<a+\varepsilon \;$ der Funktion f(x) um den Grenzwert a.

Beispiele

f(x)={\begin{cases}x&{\mbox{fuer }}x<2\\4-x&{\mbox{fuer }}x>2\end{cases}}

f(x)ist offensichtlich für x=2 nicht definiert. Wir wollen wieder exemplarisch ein paar Folgen aufstellen:

Grenzwert von links: $y=x$

$x$	$1,9$	$1,99$	$1,999$	$\cdots$	$x\rightarrow 2$
$y$	$1,9$	$1,99$	$1,999$	$\cdots$	$y\rightarrow 2$

Linksseitiger Grenzwert: $\lim _{x\rightarrow 2^{-}}f(x)=2.$

Grenzwert von rechts: $y=4-x$ .

$x$	$3$	${\frac {5}{2}}$	${\frac {7}{3}}$	${\frac {9}{4}}$	${\frac {11}{5}}$	$\cdots$	${\frac {2001}{1000}}$	$\cdots$	$x\rightarrow 2$
$y$	$1$	${\frac {3}{2}}$	${\frac {5}{3}}$	${\frac {7}{4}}$	${\frac {9}{5}}$	$\cdots$	${\frac {1999}{1000}}$	$\cdots$	$y\rightarrow 2$