Benutzerin:Gabriele Hornsteiner/Stochastikbaustelle

Anwendungsbeispiel für Zufallsvariablen

Der Zeitungskiosk-Betreiber Blätterwald bietet die Wochenzeitschrift "Asti" (Astrologie für Tiere) an. Er kauft die Zeitschrift für 70 Cents und verkauft sie für zwei Euro. Astis, die er nicht verkaufen kann, kann er nicht zurückgeben. Es sei die Zufallsvariable X: "Zahl der in einem Monat verkauften Zeitschriften". Aus langjährigen Beobachtungen weiß Herr Blätterwald, dass sich die Zahl der verkauften Zeitschriften wie folgt verteilt:

Ausprägung	x1	x2	x3	x4	x5	x6
xi	64	65	66	67	68	60
f(xi)	0,02	0,14	0,40	0,30	0,10	0,04

1. Wieviel Zeitschriften verkauft Herr Blätterwald durchschnittlich in einer Woche?
2. Wie groß ist der durchschnittliche Gewinn, wenn Herr Blätterwald 64, 65, ..., 69 Zeitschriften beim Lieferanten bestellt hat?
3. Wieviel Exemplare sollte Herr Blätterwald bestellen?

Lösung:

Der durchschnittliche Verkauf ist der Erwartungswert

$EX=\sum _{i}x_{i}f(x_{i})=64\cdot 0,02+65\cdot 0,14+66\cdots 69\cdot 0,04=66,44$

Der monatliche Gewinn hängt von der Zahl der in einem Monat verkauften Zeitschriften und auch immer von der Zahl der bestellten Zeitschriften ab, denn für jedes Asti mussten 70 Cents bezahlt werden.

Und die statistischen Methoden, die in dieser Veranstaltung gezeigt werden, korrekt anwenden zukönnen, benötigen wir eine kleine Statistikwiederholung, vor allem, um die Begriffsdefinition wieder aufzufrischen. Wer es etwas genauer möchte, dem sei das Statistik-Wikibook zur Wiederholung empfohlen.

Begriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Wir betrachten einen Zufallsvorgang, der verschiedene Ergebnisse hervorbringen kann. Die Menge aller Ergebnisse können in einer Ergebnismenge zusammengefasst werden.

Beispiele:

• Bei einer Verlosung soll unter den Personen Anna, Arthur, Barbara, Jochen, Michael und Paula ein Hauptgewinner ausgelost werden. Der Zufallsvorgang ist: Eine Person wird zufällig aus den 6 Personen gezogen. Die Ergebnismenge ist Ω = {Anna, Arthur, Barbara, Jochen, Michael und Paula}.
• Für nächsten Sonntag ist in Jägerwirth das Feuerwehrfest geplant. Es findet nur statt, wenn die Wettervorhersage am Samstag Sonnenschein verkündet. Der Zufallsvorgang ist: Am Sonntag herrscht ein bestimmtes Wetter. Die Ergebnismenge ist Ω = {sonnig, schlecht}. Man könnte natürlich noch Abstufungen der Ergebnisse zulassen, etwa bewölkt, regnerisch. Also müssen die Ergebnisse sauber definiert und abgegrenzt sein.
• Ein Unternehmen möchte ein neues Waschmittel auf den Markt bringen. Das Waschmittel kann sich gut verkaufen oder ein Reinfall sein. Der Zufallsvorgang ist: Der Markt reagiert auf die Einführung dieses Waschmittels. Die Ergebnismenge ist Ω = {Erfolg, Misserfolg}.

Wir nehmen uns nun die Anwärter für den Hauptgewinn vor. Wir interessieren uns für die Wahrscheinlichkeit, dass der Zufallsvorgang ein oder mehrere Ergebnisse liefert, d.h. für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses. Zum Beispiel das Ereignis, dass

• der Name des Gewinners mit einem Vokal beginnt. Das ist die Menge A = {Anna, Arthur}.
• der Name des Gewinners mit einem M beginnt: Das ist die Menge B = {Michael}.
• der Gewinner eine Gewinnerin ist: Das ist die Menge C = {Anna, Barbara, Paula}.
• der Name des Gewinners mit X, Y, oder Z beginnt: Das ist die Menge D = ø, die leere Menge.

Ein Ereignis ist also immer eine Menge, und zwar eine Teilmenge der Ergebnismenge Ω. B ist ein Elementarereignis, weil es nur ein Element der Ergebnismenge enthält.

Welche Wahrscheinlichkeiten haben nun die obigen Ereignisse? Wir überlegen uns, dass jede Person die gleiche Wahrscheinlichkeit hat, in die Auswahl zu kommen. Also ist etwa die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B, nämlich dass Michael der Gewinner wird:

$P(B)={\frac {1}{6}}$,

denn wir haben insgesamt 6 Personen und einen Aspiranten, der mit M anfängt. Wir gehen nach der so genannten klassischen Wahrscheinlichkeitsauffassung vor und wenden das Symmetrieprinzip an. Ebenso ist

$P(A)={\frac {2}{6}}$, $P(C)={\frac {3}{6}}$ und $P(D)=0$.

Wie berechnet man nun aber die Wahrscheinlichkeit, dass beim Feuerwehrfest schönes Wetter ist? Wir haben zwar zwei Ergebnisse, aber sie sind nicht notwendigerweise gleich wahrscheinlich. Hier könnte man die Wetteraufzeichnungen der letzten 40 Jahre verwenden. Es zeigt sich, dass in dieser Woche 30 mal schönes Wetter war. Wir können hier die Wahrscheinlichkeit mit Hilfe der beobachteten Häufigkeit mit 30/40 = 0,75 ermitteln. Die Feuerwehr müsste also eigentlich schönes Wetter erwarten können.

Bei der Wahrscheinlichkeit für den Erfolg einer Waschmittelplatzierung versagt auch die Methode der relativen Häufigkeit, denn hier liegen zu wenig und zu unterschiedliche Erfahrungen vor. In diesem Fall wird man die Wahrscheinlichkeit aus dem Bauch raus willkürlich bewerten. Für die Entscheidung, wie beispielsweise bei der Markteinführung vorgegangen werden soll, reicht so eine grobe Schätzung meistens.

Zufallsvariablen

Eine Zufallsvariable ist eine Abbildung der Ergebnisse eines Zufallsvorgangs auf die reellen Zahlen.

Porzellan-Beispiel

In einem Werk wird hochwertiges Markenporzellan hergestellt. Bei der Endkontrolle wird mit einer optischen Prüfung der Zustand der Bemalung festggestellt, wobei verschmierte Farbe und Unregelmäßigkeiten in der Glasur bedeuten, dass ein Porzellanstück ausgemustert wird. Es sind die Ergebnisse definiert:

a₁: Das Porzellanstück ist einwandfrei
a₂: Es wurden nur Farbfehler festgestellt
a₃: Es wurden nur Glasurfehler festgestellt
a₄: Es wurden Farbfehler und Glasurfehler festgestellt

Eine Tasse wird nun zufällig aus der laufenden Produktion gezogen. Alle möglichen Ergebnisse werden in der Ergebnismenge zusammengefasst:

Ω = {a₁, a₂, a₃, a₄}.

Wir wollen die passenden Elementarereignisse mit großen Buchstaben bezeichnen. Man weiß aus langjähriger Erfahrung, dass gilt

P(A₁) = 0,75, P(A₂) = 0,12, P(A₃) = 0,05, P(A₄) = 0,08.

Besonders gut verkaufen sich Tassen mit Rosenbemalung. Einwandfreie Tassen erzielen einen Erlös von 30 €. Fehlerhafte Tassen werden verramscht. Tassen mit Farbfehlern kosten 15 €, Tassen mit Glasurfehlern 20 € und Tassen mit beiden Fehlern 5 €.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Tasse einen Erlös von 5 € erzielt? 8%, denn nur, wenn die Tasse Farb- und Glasurfehler aufweist, kostet sie 5 €.

Bezeichnen wir einen Preis als X. Wir können nun den Verkaufspreisen die entsprechenden Ergebnisse aus Ω zuordnen:

Ω = {a1  a2  a3  a4}
     ↓   ↓   ↓   ↓ 
X = {30  15  20  5}

Wir haben hiermit eine Zufallsvariable konstruiert, indem wir allen Ereignissen aus Ω jeweils eine reelle Zahl zugeordnet haben. Wir können nun z.B. angeben: Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Tasse 20 Euro erzielt, ist P(X=20) = 0,12.

Die Wahrscheinlichkeiten für X werden als f(x) bezeichnet. Wir fassen sie hier zweckmäßigerweise in einer Wahrscheinlichkeitstabelle zusammen:

       x1    x2    x3    x4
xi      5    15    20    30
f(xi) 0,08  0,12  0,05  0,75

Natürlich gilt: $\sum _{i}f(x_{i})=1$.

Es sind z.B.

$P(X=20)=0,05$

$P(X=25)=0$

$P(X\leq 15)=0,08+0,12=0,20$

$P(X<15)=(X\leq 5)=0,08$

$P(X>20)=1-P(X\leq 20)=0,75$

$P(X\geq 20)=1-P(X\leq 15)=0,80$

grafik

Erwartungswert und Varianz

Eine Zufallsvariable hat verschiedene Kennwerte, Parameter genannt, die ihre Verteilung beschreiben. Die am häufigsten verwendeten sind der Erwartungswert EX und die Variaz varX.

Erwartungswert

Porzellanbeispiel

Die Marketingabteilung der Porzellanfirma überprüft die Preisgestaltung für Porzellantassen. Es soll zuerst untersucht werden, wieviel eine Rosentasse im Durchschnitt zum Umsatz beiträgt. Die Berechnung ${\frac {1}{4}}(5+15+20+30)$ ist nicht zweckmäßig, denn der Umsatz 30 € tritt viel häufiger auf als etwa 5€. Also wird man die Preise noch mit der Wahrscheinlichkeit des Auftretens gewichten und erhält dann den Erwartungswert EX der Zufallsvariablen X:

$EX=5\cdot 0,08+15\cdot 0,12+20\cdot 0,05+30\cdot 0,75=0,4+1,8+1+22,5=25,7.$

Man sieht, dass der Preis 30 das meiste zum durchschnittlichen Umsatz einer Tasse beiträgt. Deshalb liegt der durchschnittliche Umsatz einer Tasse auch bei 25,75 €.

Der Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen berechnet sich also als

$EX=\sum _{i}x_{i}\cdot f(x_{i})$.

Varianz

Der Erwartungswert allein genügt häufig nicht für die Charakterisierung einer Zufallsverteilung. Wünschenswert ist auch die Angabe, wie stark einzelne Werte schwanken oder streuen. Die Varianz ist ein Maß für die Streuung der Einzelwerte.

Anlage-Beispiel

Die Steuerberaterin Berta möchte ihren Gewinn in Anlagepapieren inverstieren. Ein befreundeter Finanzberater hat momentan zwei lukrative Anlagen anzubieten:

Wertpapier A mit einem geschätzten Gewinn

Gewinn X (€)     x1    x2
xi              1000  9000
f(xi)           0,75  0,25

Wertpapier B mit einem geschätzten Gewinn

Gewinn Y (€)     y1    y2
yi            -10000 42000
f(yi)           0,75  0,25

Beide Anlageformen haben einen Erwartungswert von 3000 €. Ein Blick auf die obigen Tabellen macht uns aber klar, dass diese beiden Anlagen sich doch sehr unterscheiden. Wir wollen also als zweites Kriterium die Varianzen verwenden. Die Varianz der Zufallsvariablen ist die Summe der quadrierten, mit der Wahrscheinlichkeit gewichteten Abweichungen der Ausprägungen vom Erwartungswert:

$varX=\sum _{i}(x_{i}-EX)^{2}\cdot f(x_{i})$

Wertpapier A:

$varX=(1000-3000)^{2}\cdot 0,75+(9000-3000)^{2}\cdot 0,25=12.000.000Euro^{2}$

Wertpapier B:

$varY=(-10000-3000)^{2}\cdot 0,75+(42000-3000)^{2}\cdot 0,25=422.500.000Euro^{2}$

Die Varianz von Y ist also über 35 mal höher als die von X und zeigt an, dass das Wertpapier B wesentlich risikoreicher ist als das Wertpapier A.

Häufig verwendet wird auch die Standardabweichung als Wurzel aus varX.

Porzellanbeispiel:

Hier erhalten wir eine Varianz von

$varX=(5-25,7)^{2}\cdot 0,08+(15-25,7)^{2}\cdot 0,12+(20-25,7)^{2}\cdot 0,05+(30-25,7)^{2}\cdot 0,75=63,51$.

Die Standardabweichung beträgt 7,97 €. Man könnte (analytisch etwas inkorrekt) sagen, dass die durchschnittliche Abweichung der Einzelwerte vom Durchschnitt etwa 8 € betragen hat.