Benutzerin:Gabriele Hornsteiner/Wimathebaustelle

Wir wollen nun bestimmte Eigenschaften von Funktionen kennenlernen. Ihre Kenntnis erleichtert einem häufig die praktische Verwendung von Funktionen.

Monotonie

Haben wir eine Funktion vorliegen, deren Werte klar mit wachsendem x steigen? Oder fallen die Werte? Geht es mal rauf, mal runter? Solche Informationen können beispielsweise wichtig sein bei der Gewinnschätzung einer geplanten Unternehmensgründung.Oder bei der Reduktion der Zahl von Bakterien im Zuge einer Behandlung mit Antibiotika. Oder für die Verkaufsentwicklung eines neu auf den Markt gebrachten Produktes. Bei Abschätzung letzterer wird beispielsweise häufig die Logistische Funktion eingesetzt. Unklar ist häufig das Verhalten von Wählern. Mal steigen im Lauf der Zeit die Stimmen für eine Partei, mal fallen sie. Man unterscheidet im Wesentlichen

• Mit steigendem x steigt auch y.
• Mit steigendem x steigen die Werte y oder bleiben auch mal konstant.
• Mit steigendem x fällt y.
• Mit steigendem x fallen die Werte y oder bleiben auch mal konstant.

• Mal steigt der Funktionswert y mit wachsendem x, mal fällt er.

Die Monotonie bezieht sich auf das Steigungsverhalten einer Funktion.

Definition der Monotonie

• f(x) ist in einem Intervall I von D streng monoton steigend, wenn für alle x₂ > x₁ auch f(x₂) > f(x₁) (x₁, x₂ ∈ I) ist.

Die Funktion ist dann injektiv und steigend. Ihre erste Ableitung ist im gesamten Intervall I positiv.

• f(x) ist in einem Intervall I von D monoton steigend, wenn für alle x₂ >x ₁ f(x₂) ≥ f(x₁) (x₁, x₂ ∈ I) ist.

Die Funktion ist dann nicht injektiv und nichtfallend.

• f(x) ist in einem Intervall I von D streng monoton fallend, wenn für alle x₂ > x₁ f(x₂) < f(x₁) (x₁, x₂ ∈ I) ist.

Die Funktion ist dann injektiv und fallend. Ihre erste Ableitung ist im gesamten Intervall I negativ.

• f(x) ist in einem Intervall I von D monoton fallend, wenn für alle x₂ > x₁ f(x₂) ≤ f(x₁) (x₁, x₂ ∈ I) ist.

Ist die Funktion nicht injektiv und nichtsteigend, nennt man sie monoton fallend.

Was ist Steigung?

Beispiel:

Die Studentin Paula beteiligt sich jedes Jahr an der Gestaltung des heimatlichen Bürgerfestes. Sie betreibt einen Bierstand, für den sie 6 € Standgebühr zahlt. 1 l Bier kostet Paula 2 €, sonstige Ausgaben fallen nicht an.

Ihre Kostenfunktion ist also $y=f(x)=6+2x$, wobei x die Menge des ausgeschenktes Bieres in Litern bedeutet.

Wir fragen nun: Wie ändert sich die Kostenfunktion y, wenn x um eine Einheit steigt, beispielsweise um einen Liter? Wenn x um eine Einheit steigt, steigt y um 2 Einheiten, hier Euros. Wir wollen eine Formel für diese Steigung herleiten und beginnen mit der Steigung 2:

$2={\frac {4}{2}}={\frac {12}{8}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.$

Die Steigung ist überall konstant. Dagegen:

Nun wollen wir ein weiteres Beispiel für Steigungen ansehen:

Ertragsfunktion:

In einem landwirtschaftlichen Forschungsinstitut wird der Ertrag einer robusten Weizensorte untersucht, die vor allem in Entwicklungsländern angebaut werden soll. Es werden mehrere Versuchsfelder angegelegt und mit verschiedenen Düngergaben versorgt. Beobachtet wird der Ertrag y (Gramm) eines Feldes in Abhängigkeit von Mineraldüngergaben x (Gramm).

Es stellt sich die Ertragsfunktion $y=f(x)=-{\frac {x^{2}}{100}}+4x$ heraus. Die Funktionsgraphik ist in Abb ... gegeben. Wir sehen zunächst, dass die Nullstellen der Funktion 0 und 400 sind. Die folgende Tabelle führt einige ausgewählte Wertepaare (x,y) auf. Stützwerte

x | 0   50  100  150  200  250  300  350  400
y | 0  175  300  375  400  375  300  175    0

Untersuchung des Steigungsverhaltens von y:

Bereich 0 ≤ x ≤ 200:

x steigt von 0 auf 100 Einheiten (E), also um 100 E, dann steigt y von 0 auf 300 E, also um 300 E. x steigt von 100 auf 200 E, also um 100 E, dann steigt y von 300 auf 400 E, also um 100 E.

D.h., bis x = 200 ist die Änderung von y positiv, aber sie nimmt ab.

Bereich 200 ≤ x ≤ 400:

x steigt von 200 auf 300 E, also um 100 E, dann fällt y von 400 auf 300 E, also um 100 E. x steigt von 300 auf 400 E, also um 100 E, dann fällt y von 300 auf 0 E, also um 300 E.

Begriff der Steigung:

x steigt von 0 auf 100, also um 100, dann steigt y von 0 auf 300, also um 300.

Durchschnittliche Änderung von y im Bereich 0 ≤ x ≤ 100, wenn x um eine Einheit steigt:

${\frac {300}{100}}=3={\frac {300-0}{100-0}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}$ = Differenzenquotient, denn es handelt sich um einen Quotienten, der sich aus Differenzen zusammensetzt.

Steigt y im Bereich 0 ≤ x ≤ 100 durchschnittlich um 3 Einheiten, wenn x um eine Einheit steigt, dann müsste, wenn x um 50 Einheiten steigt, y um $3\cdot 50=150$ Einheiten steigen. Dieses Ergebnis ist aber ungenau, denn in Wirklichkeit steigt y um 175 Einheiten, wie wir der Tabelle mit den Stützwerten entnehmen können.

Würde man die x-Intervalle kleiner wählen, wären die y-Intervalle und damit die durchschnittlichen Änderungen genauer. Am genauesten wird die berechnete Änderung, wenn das Intervall von x unendlich klein wird, also gegen 0 geht. Es ergibt sich dann als

Grenzwert des Differenzenquotienten $\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}$ der Differentialquotient ${\frac {dy}{dx}}$ ("d-y nach d-x").

Grafische Interpretation:

Die Sekante mit der Steigung ${\frac {\Delta y}{\Delta x}}$} wandert an den Rand der Kurve, bis sie die Kurve im Punkt $(x_{1};y_{1})$ eben noch berührt (Tangente). Die Steigung der Tangente in diesem Punkt ist der Grenzwert des Diffenzenquotienten. Man bezeichnet diesen Differentialquotienten allgemein als Steigung von $f(x)$ in $x=x_{1}$.

Bei Funktionen $y=f(x)$ (die also als Gleichung ausgedrückt werden können), ist die Steigung für alle $x\in \mathbb {D}$ i. d. R. ebenfalls eine Funktion. Der Differentialquotient von $f(x$) ergibt sich für dieses Beispiel als ${\frac {dy}{dx}}=4-{\frac {x}{50}}$, d.h. wenn die Düngergabe x um eine unendlich kleine Einheit steigt, steigt der Ertrag um $4-{\frac {x}{50}}$ unendlich kleine Einheiten. Diese Änderung von y nennt man den Grenzertrag der Ertragsfunktion y.

Es ergeben sich für verschiedene Werte von x die Grenzerträge

$x$	Grenzertrag
$0$	$4-{\frac {0}{50}}=4$
$50$	$4-{\frac {50}{50}}=3$
$100$	$2$
$150$	$1$
$200$	$0$
$300$	$-1$
$400$	$-2$

Wie lange wird Dünger zugegeben? So lange bei einer Einheit zusätzlichem Dünger der Ertrag steigt, also falls $4-{\frac {x}{50}}>0$ bzw. $x<200$ ist.

Allgemeine Erläuterungen zum Differentialquotienten:

Existiert für eine Funktion an der Stelle $x_{0}$ der Grenzwert des Differenzenquotienten $\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}$, heißt $f(x)$ an der Stelle $x_{0}$ differenzierbar. Der Grenzwert selbst wird als Steigung, (erste) Ableitung oder Differentialquotient von $f$ an der Stelle $x_{0}$ bezeichnet. Man schreibt dafür

$f'(x_{0})$ oder $y'(x_{0})$ oder $\left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{x_{0}}$ oder $\left.{\frac {df(x)}{dx}}\right|_{x_{0}}.$

Beispiel: $f'(50)=3.$

Werden nicht ein bestimmter Wert $x_{0}$ betrachtet, sondern die gesamte Funktion $f(x$), ergibt sich für $f(x)$ eine Funktion der ersten Ableitung. Man bezeichnet diese Funktion dann als

$f'(x)$ oder $y'$ oder ${\frac {dy}{dx}}$ oder ${\frac {df(x)}{dx}}.$

Eine Funktion ist nur dann an einer Stelle $x_{0}$ differenzierbar, wenn ihr links- und rechtsseitiger Grenz­wert des Differenzenquotienten existieren. Stetige Funktionen können nichtdifferenzierbar sein! Z.B. an Knicken haben linke und rechte Tangente der Funktion verschiedene Richtungen. Es gilt aber umgekehrt: Differenzier­bare Funk­­tionen sind auch stetig.

Steht die Tangente in $x_{0}$ einer Funktion $f(x)$ senkrecht zur Abszisse, ist die Steigung unendlich, es exi­stiert kein Grenzwert des Differentialquotienten.

f(x) wird differenzierbar genannt, wenn es für alle $x\in \mathbb {D}$ differenzierbar ist. Ist die Ableitungsfunktion $f'(x)$ stetig für den gesamten Definitionsbereich, nennt man $f(x$) stetig differenzierbar.

Wird ein geschlossenes Intervall des Definitionsbereichs betrachtet, ist $f(x)$ in den Randpunkten des Inter­valls nicht differenzierbar. Man kann allerdings einen einseitigen Differentialquotient in Betracht ziehen.

Die Bestimmung des Differentialquotienten ist oft mühsam, aber für viele Funktionen gibt es Regeln für die Berechnung der Ableitung.

Differentiationsregeln

Allgemeine Rechenregeln:

$y=a\cdot f(x$)	$y'=a\cdot f'(x)$	(a const.)	Faktorregel
$y=f(x)+g(x)$	$y'=f'(x)+g'(x)$		Summenregel
$y=f(x)\cdot g(x)$	$y'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$		Produktregel
$y={\frac {f(x)}{g(x)}}$	$y'={\frac {f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{(g(x))^{2}}}$	$(g(x)\neq 0)$	Quotientenregel
$y=f(z)$ und $z=g(x)$, also $y=f(g(x))$	$y={\frac {dy}{dz}}\cdot {\frac {dz}{dx}}$		Kettenregel

Funktionen und ihre erste Ableitung

y = c , c konstant y' = 0

y = xn y' = nxn-1 Potenzregel

y = y' = -

y = y' = -

y = y' = -

y = y' = -

y = y' = -

y = y' = -

y = ln x y' =

y = ln f(x) y' =

y = ex y' = ex

y = ax y' = ax ln a (wegen ax = (elna)x = exlna)

y = ef(x) y' = f'(x) ef(x)

y = af(x) y' = f'(x) af(x) ln a

y = sin x y' = cos x

y = cos x y' = - sin x

y = tan x y' =

y = cot x y' = -

Beispiele für Differentiation

Potenzregel

f(x) = x3

p(t) = t2001

f(x) =

f(x) =

f(x) = xln2

Faktorregel

f(x) = lnx

f(x) = 5x20

Summenregel

f(x) = 4x7 - x + 1

g(x) = axn + bxn-1 + c

Produktregel

g(z) = z7×lnz

f(x) = 2x2×ex Quotientenregel

f(x) =

f(t) =

Kettenregel

y = lnx4

y = (x2+ex)100

Höhere Ableitungen

Die erste Ableitung einer Funktion kann wiederum differenzierbar sein. Man erhält dann von f(x) die zweite Ableitung y = f(x) = . Falls y differenzierbar ist, erhält man die dritte Ableitung y',... vierte Ableitung y(4) = f(4)(x) = , usw.

Kann eine Funktion n-mal differenziert werden, nennt man sie n-mal differenzierbar. 3.4.3 Anwendung der Differentiation

Beispiel:

Funktion y =

Stützwerte:

x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

y

Dy

y‘

Bereich: x<0 x=0 Bereich x>0

Beispiel:

Funktion z =

Stützwerte:

x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

z

Dz

z‘ Bereich: z<0 z=0 Bereich z>0

Beispiel:

f(x) = x3 - 12x2 + 48x - 61

f‘(x) =

f‘‘(x) =

f‘‘‘(x) = Beispiel einer abschnittsweise definierten Funktion:

f(x) = 6.3.3.1 Analyse von Funktionen

Monotonie:

Ist in einem stetig differenzierbaren Intervall I einer Funktion f(x) die erste Ableitung

y' > 0 , ist f(x) für I streng monoton steigend.

y' < 0 , ist f(x) für I streng monoton fallend.

y' ≥ 0 , ist f(x) für I monoton steigend.

y' ≤ 0 , ist f(x) für I monoton fallend.

Extrema:

Meist gilt:

f(x) hat in x0 ein Maximum, falls f'(x0) = 0 Ù f(x0) < 0 ist.

f(x) hat in x0 ein Minimum, falls f'(x0) = 0 Ù f(x0) > 0 ist.

Allgemein gilt:

f(x) sei in x0ÎD mindestens n-mal differenzierbar.

f(x) hat in x0 ein Maximum, falls f(n-1)(x0) = 0 Ù f(n)(x0) < 0 Ù n gerade ist.

f(x) hat in x0 ein Minimum, falls f(n-1)(x0) = 0 Ù f(n)(x0) > 0 Ù n gerade ist.

Absolute Extrema:

f(x) hat in x0 ein absolutes Maximum, falls f(x) < f(x0) für alle xÎD.

f(x) hat in x0 ein absolutes Minimum, falls f(x) > f(x0) für alle xÎD.

Alle anderen Extrema im Innern des Definitionsbereichs von f sind relative Extrema.

Ein Punkt am Rand eines Definitionsbereichs kann nur ein absolutes Extremum sein.

Randextrema werden eigens untersucht.

Siehe auch Abschnitt

Wendepunkte:

Meist gilt:

f(x) hat in x0 einen Wendepunkt, falls f(x0) = 0 Ù f'(x0) ≠ 0 ist.

Ist zusätzlich f'(x0) = 0, hat f(x) in x0 einen Sattelpunkt.

Allgemein gilt:

f(x) sei in x0ÎD mindestens n-mal differenzierbar.

f(x) hat in x0 einen Wendepunkt, falls f(n-1)(x0) = 0 Ù f(n)(x0) ≠ 0 Ù n ungerade ist. Beispiel:

Ertragsgesetzliche Produktionsfunktion:

Output x, Produktionsfaktor r : x = f(r);

x = -0,5r3 + 1,5r2 + 0,075r für r ≥ 0.

x' =

x =

Stützwerte

Input

Output

Grenzertrag

x

0,0

0,000

0,075

3,0

0,1

0,022

0,360

2,7

0,2

0,071

0,615

2,4

0,3

0,144

0,840

2,1

0,4

0,238

1,035

1,8

0,5

0,350

1,200

1,5

0,6

0,477

1,335

1,2

0,7

0,616

1,440

0,9

0,8

0,764

1,515

0,6

0,9

0,918

1,560

0,3

1,0

1,075

1,575

0,0

1,1

1,232

1,560

-0,3

1,2

1,386

1,515

-0,6

1,3

1,534

1,440

-0,9

1,4

1,673

1,335

-1,2

1,5

1,800

1,200

-1,5

1,6

1,912

1,035

-1,8

1,7

2,006

0,840

-2,1

1,8

2,079

0,615

-2,4

1,9

2,128

0,360

-2,7

2,0

2,150

0,075

-3,0

2,1

2,142

-0,240

-3,3

2,2

2,101

-0,585

-3,6

2,3

2,024

-0,960

-3,9

2,4

1,908

-1,365

-4,2

2,5

1,750

-1,800

-4,5

2,6

1,547

-2,265

-4,8

2,7

1,296

-2,760

-5,1

2,8

0,994

-3,285

-5,4

2,9

0,638

-3,840

-5,7

3,0

0,225

-4,425

-6,0

3,1

-0,248

-5,040

-6,3

Nullstellen: Extrema:

Das Maximum ist das Optimum oder auch Sättigungspunkt. Mehr Input führt zu fallendem Output und ist daher unsinnig.

Wendepunkte:

Wendepunkt als Übergang von zunehmenden zu abnehmenden Ertragszuwächsen:

Schwelle des Ertragsgetzes.

Beispiel: y =

y' =

y =

Analyse der Funktion:

Polynom mit

also ist f beschränkt.

Nullstellen von f(x):

Grafische Näherung:

x1 ≈ x2 ≈ x3 ≈ x4 ≈

Extrema:

Bestimmung der relativen Extrema: y' = 0 und y > 0 : Minimum

und y < 0 : Maximum

Nullstellen von y': - - x + = 0. Grafische Ermittlung der drei Nullstellen von y':

x1 ≈ x2 ≈ x3 ≈

x1: f( ) ≈

x2: f( ) ≈

x3: f( ) ≈ Wendepunkte:

y = 0, also - - 1 = 0, also

y(x4) = y(x5) =

6.3.3.2 Ökonomische Anwendung

Betrachtet wird eine Unternehmung, die ein Gut herstellt. Das Ziel der Produktion ist die Gewinnmaxi­mierung.

Man unterscheidet

1. Polypolistische Anbieter

Viele Anbieter teilen sich den Markt. Sie müssen als Verkaufspreis ihres Gutes den Gleichgewichts­preis p akzeptieren. Ihr Umsatz ist

Der Gewinn läßt sich dann als

bestimmen.

Es werden meist drei typische Kostenfunktionen unterschieden: a) Die ertragsgesetzliche Kostenfunktion.

Gewinnmaximum: b) Die neoklassische Kostenfunktion

c) Die lineare Kostenfunktion

2. Der monopolistische Anbieter

hier mit ertragsgesetzlicher Kostenfunktion

Er kann den Preis für das Gut festsetzen. Die Nachfrager reagieren mit der Veränderung ihrer Nach­frage. Der Monopolist steht also statt eines festen Marktpreises einer (i.a.) fallenden Preis-Absatz-Funktion gegenüber:

Nachfragefunktion oder Preis-Absatz-Funktion:

Umkehrfunktion:

Der Umsatz bestimmt sich dann als

Durchschnittskosten:

Anstelle der Gesamtkosten werden auch die Durchschnittskosten

betrachtet. Für diese Analyse zerlegt man zweckmäßigerweise die Kostenfunktion in fixe und variable Kosten, also

so daß sich auch für die Stückkostenfunktion

ergibt. Es gilt: Der Schnittpunkt der Stückkostenfunktion mit der Grenzkostenfunktion gibt das Stückkostenmi­nimum:

Beispiel

Eine Unternehmumg produziert gefriergetrocknete Eisblöcke mit der Kostenfunktion K(x) = x3 -12x2 + 60x + 98. Das Unternehmen ist polypolistisch, d.h. es bieten soviele Produzenten Eisblöcke an, daß sie den Preis nicht beeinflussen können. Der Marktpreis ist p = 60 Zasteros.

Im polypolistischen Angebotsmodell ist die Erlösfunktion E(x) = px und die Gewinnfunktion

G(x) =E(x) - K(x).

Es ist

G(x) =

Analyse der Kostenfunktion:

Hohe Kosten durch zu geringe Auslastung, dann Verbesserung der Kostensituation, schließlich erhöhte Kosten durch Überauslastung.

Die Grenzkosten oder marginalen Kosten sind

Extremwerte:

Wendepunkte: Analyse der Gewinnfunktion:

Positiver Bereich:

Nullstellen: (näherungsweise)

untere Gewinnschwelle, obere Gewinngrenze

Maximaler Gewinn:

Grenzerlös = Grenzkosten, d.h. solang der Erlös stärker zunimmt als die Kosten, ist die Produktion ren­tabel.

Welche Art Extrema?

             Neues Zeuch