Beweisarchiv: Funktionentheorie: Anwendungen im Umfeld des Cauchy'schen Integralsatzes: Fundamentalsatz der Algebra

Beweisarchiv: Funktionentheorie

Anwendungen im Umfeld des Cauchy'schen Integralsatzes: Fundamentalsatz der Algebra

Satz von Gauß

Jedes nichtkonstante Polynom besitzt eine Nullstelle in $\mathbb {C}$.

Beweis

Angenommen, es gäbe ein nichtkonstantes nullstellenfreies Polynom $p:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}$. Dann ist ${\frac {1}{p}}$ holomorph auf $\mathbb {C}$. Wegen $\lim _{|z|\to \infty }|p(z)|=\infty$ ist ${\frac {1}{p}}$ beschränkt. Also ist ${\frac {1}{p}}$ konstant nach dem Satz von Liouville im Widerspruch zur Voraussetzung.

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Anmerkung: Oft wird auch der Satz von Gauß schon "Fundamentalsatz der Algebra" genannt.

Alternativ: Beweis direkt aus dem Cauchy'schen Integralsatz, ohne Satz von Liouville

Angenommen, es gäbe ein nichtkonstantes nullstellenfreies Polynom $p:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}$.

Betrachte dann das folgende Integral:

$\int \limits _{\gamma _{R}}{\tfrac {1}{z\cdot p(z)}}\,\mathrm {d} z$,

wobei $\gamma _{R}$ ein Kreis mit Radius $R$ um den Ursprung ist. Mit dem Cauchy'schen Integralsatz folgt, dass der Wert dieses Integrals unabhängig von $R$ sein muss.

Einerseits kann man das Integral nun im Limes $R\to 0$ auswerten (oder direkt den Residuensatz benutzen):

$\int \limits _{\gamma _{R}}{\tfrac {1}{z\cdot p(z)}}\,\mathrm {d} z={\tfrac {2\pi i}{p(0)}}\neq 0.$

Andererseits kann man den Betrag des Integrals abschätzen:

$\left|\int \limits _{\gamma _{R}}{\tfrac {1}{z\cdot p(z)}}\,\mathrm {d} z\right|\leq 2\pi R\max _{|z|=R}{\tfrac {1}{|z\cdot p(z)|}}=2\pi \max _{|z|=R}{\tfrac {1}{|p(z)|}}\to 0$ für $R\to \infty$.

Damit hat man einen Widerspruch zum Ergebnis für $R\to 0$.

Folgerung: Fundamentalsatz der Algebra

Sei $p(z)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}z^{k}$ ein (komplexes) Polynom vom Grad $n$. Dann gibt es $z_{1},\ldots ,z_{n}\in \mathbb {C}$, nicht notwendigerweise verschieden, mit

$p(z)=a_{n}\prod _{k=1}^{n}(z-z_{k})\ .$

Beweis

Die Aussage wird mittels vollständiger Induktion bewiesen. Für $n_{0}=1$ ist die Aussage trivial.

Falls die Aussage für ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ wahr ist und $p(z)=\sum _{k=0}^{n_{0}+1}a_{k}z^{k}$ ein Polynom vom Grad $n_{0}+1$, so ist $a_{n_{0}+1}\neq 0$, und es gibt nach dem Satz von Gauß ein $z_{n_{0}+1}\in \mathbb {C}$ mit $p(z_{n_{0}+1})=0$. Also ist

$p(z)=p(z)-p(z_{n_{0}+1})=a_{n_{0}+1}\cdot \left(\sum _{k=1}^{n_{0}+1}{\frac {a_{k}}{a_{n_{0}+1}}}(z^{k}-z_{n_{0}+1}^{k})\right)$.

Beachte nun die Identität

$a^{k}-b^{k}=(a-b)\cdot \sum _{j=0}^{k-1}a^{k-1-j}b^{j}$ für alle $a,b\in \mathbb {C} ,\;k\in \mathbb {N}$,

also

${\frac {a_{k}}{a_{n_{0}+1}}}(z^{k}-z_{n_{0}+1}^{k})=(z-z_{n_{0}+1})q_{k}(z)$ für alle $k\in \{1,\ldots ,n_{0}+1\}$

mit

$q_{k}(z):={\frac {a_{k}}{a_{n_{0}+1}}}\cdot \sum _{j=0}^{k-1}z_{n_{0}+1}^{k-1-j}z^{j}$.

Demzufolge ist jedes $q_{k}$ ein Polynom, welches höchstens den Grad $k-1$ hat. Zudem ist $q_{n_{0}+1}$ ein normiertes Polynom vom Grad $n_{0}$. Somit ist

$q(z):=\sum _{k=1}^{n_{0}+1}q_{k}(z)$

ein normiertes Polynom vom Grad $n_{0}$. Nach Induktionsvoraussetzung existieren $z_{1},\ldots ,z_{n_{0}}\in \mathbb {C}$ mit

$q(z)=\prod _{k=1}^{n_{0}}(z-z_{k})$.

Aus $p(z)=a_{n_{0}+1}\cdot \left(\sum _{k=1}^{n_{0}+1}(z-z_{n_{0}+1})q_{k}(z)\right)=a_{n_{0}+1}(z-z_{n_{0}+1})q(z)$

folgt somit der Induktionsschritt.

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Wikipedia-Verweis

• Fundamentalsatz der Algebra