Beweisarchiv: Funktionentheorie: Anwendungen im Umfeld des Cauchy'schen Integralsatzes: Fundamentalsatz der Algebra

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Beweisarchiv: Funktionentheorie

Anwendungen im Umfeld des Cauchy'schen Integralsatzes: Fundamentalsatz der Algebra


Satz von Gauß[Bearbeiten]

Jedes nichtkonstante Polynom besitzt eine Nullstelle in .

Beweis[Bearbeiten]

Angenommen, es gäbe ein nichtkonstantes nullstellenfreies Polynom . Dann ist holomorph auf . Wegen ist beschränkt. Also ist konstant nach dem Satz von Liouville im Widerspruch zur Voraussetzung.


Anmerkung: Oft wird auch der Satz von Gauß schon "Fundamentalsatz der Algebra" genannt.

Alternativ: Beweis direkt aus dem Cauchy'schen Integralsatz, ohne Satz von Liouville[Bearbeiten]

Angenommen, es gäbe ein nichtkonstantes nullstellenfreies Polynom .

Betrachte dann das folgende Integral:

,

wobei ein Kreis mit Radius um den Ursprung ist. Mit dem Cauchy'schen Integralsatz folgt, dass der Wert dieses Integrals unabhängig von sein muss.

Einerseits kann man das Integral nun im Limes auswerten (oder direkt den Residuensatz benutzen):

Andererseits kann man den Betrag des Integrals abschätzen:

für .

Damit hat man einen Widerspruch zum Ergebnis für .

Folgerung: Fundamentalsatz der Algebra[Bearbeiten]

Sei ein (komplexes) Polynom vom Grad . Dann gibt es , nicht notwendigerweise verschieden, mit

Beweis[Bearbeiten]

Die Aussage wird mittels vollständiger Induktion bewiesen. Für ist die Aussage trivial.

Falls die Aussage für ein wahr ist und ein Polynom vom Grad , so ist , und es gibt nach dem Satz von Gauß ein mit . Also ist

.

Beachte nun die Identität

für alle ,

also

für alle

mit

.

Demzufolge ist jedes ein Polynom, welches höchstens den Grad hat. Zudem ist ein normiertes Polynom vom Grad . Somit ist

ein normiertes Polynom vom Grad . Nach Induktionsvoraussetzung existieren mit

.

Aus

folgt somit der Induktionsschritt.