Beweisarchiv: Lie-Algebren: Wurzelsysteme: Klassifikation von Wurzelsystemen

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Wurzelsysteme: Klassifikation von Wurzelsystemen

Definitionen und Aussage des Klassifikationssatzes

Definitionen: Eine Teilmenge $R$ eines Vektorraums $V$ über einem Körper $K$ der Charakteristik 0 heißt Wurzelsystem, falls sie die folgenden Bedingungen erfüllt:

1. $R$ ist endlich.
2. $R$ ist ein lineares Erzeugendensystem von $V$.
3. Zu jedem $\alpha$ aus $R$ gibt es eine Linearform $\alpha ^{\vee }\in V^{*}$ mit den Eigenschaften:
   • Für $\beta \in R$ ist $\alpha ^{\vee }(\beta )\in \mathbb {Z}$ .
   • $\alpha ^{\vee }(\alpha )=2$
   • Die lineare Abbildung $s_{\alpha }\colon V\to V$ mit $s_{\alpha }(x)=x-\alpha ^{\vee }(x)\cdot \alpha$ bildet $R$ auf $R$ ab.

Ein reduziertes Wurzelsystem liegt vor, falls zusätzlich gilt

4. Sind zwei Wurzeln $\alpha ,\beta$ linear abhängig, so gilt $\alpha =\pm \beta$.

Die Dimension von $V$ heißt der Rang des Wurzelsystems.

Sind $R_{1}\subseteq V_{1},R_{2}\subseteq V_{2}$ zwei Wurzelsysteme vom Rang $n_{1},n_{2}$, so ist $R_{1}\cup R_{2}\subseteq V_{1}\oplus V_{2}$ ein Wurzelsystem vom Rang $n_{1}+n_{2}$ und heißt die direkte Summe von $R_{1}$ und $R_{2}$. Läßt sich $R$ als direkte Summe nicht-leerer Wurzelsysteme schreiben, so heißt $R$ reduzibel. Ist $R$ weder leer und noch reduzibel, so heißt $R$ irreduzibel

Satz (Klassifikation von reduzierten Wurzelsystemen): Jedes Wurzelsystem ist die direkte Summe endlich vieler irreduzibler Wurzelsysteme. Jedes irreduzible reduzierte Wurzelsystem ist (auf weiter unten beschriebene Weise) vom Typ $A_{n}$, $B_{n}$, $C_{n}$, $D_{n}$, $E_{6}$, $E_{7}$, $E_{8}$, $F_{4}$ oder $G_{2}$.

Die Zerlegbarkeit in irreduzible Wurzelsysteme ist hierbei klar. Die Arbeit liegt in der Klassifikation der irreduziblen Komponenten.

Hilfssätze

Eindeutigkeit der Reflexionen und Kowurzeln

Hilfssatz/Definition: Zu jedem $\alpha \in R$ sind die Abbildungen $\alpha ^{\vee }$ und $s_{\alpha }$ aus der Definition eindeutig bestimmt. $s_{\alpha }$ ist eine Involution. Man bezeichnet $\alpha ^{\vee }$ als die Kowurzel zu $\alpha$ und $s_{\alpha }$ als die zu $\alpha$ gehörige Reflexion.

Beweis: Sei zu $\alpha \in R$ neben $\alpha ^{\vee }$ auch $f$ eine Abbildung mit den geforderten Eigenschaften. Für die entsprechend definierte Abbildung $g\colon V\to V,v\mapsto v-f(v)\alpha$ gilt insbesondere ebenfalls $g(R)\subseteq R$. Dann gilt $(s_{\alpha }\circ g)(R)\subseteq R$ und speziell $(s_{\alpha }\circ g)(\alpha )=\alpha$. Ist jetzt $\beta \in R$ so folgt $g(\beta )=\beta -f(\beta )\alpha$ und daher $(s_{\alpha }\circ g)(\beta +x\alpha )=s_{\alpha }(\beta -(f(\beta )+x)\alpha )=\beta +(f(\beta )-\alpha ^{\vee }(\beta )+x)\alpha$, d.h. auf der affinen Gerade $\beta +\alpha K$ ist $s_{\alpha }\circ g$ eine Translation um $(f(\beta )-\alpha ^{\vee }(\beta ))\alpha$. Da diese die nicht-leere endliche Menge $R\cap (\beta +\alpha K)$ invariant lassen muss, ist diese Translation die Identität, wegen $\alpha \neq 0$ folgt daher $f(\beta )=\alpha ^{\vee }(\beta )$. Aus der Übereinstimmung auf dem Erzeugendensystem $R$ folgt dann insgesamt $f=\alpha ^{\vee }$ und ebenso $g=s_{\alpha }$.

Da $s_{\alpha }\circ s_{\alpha }$ sowohl auf dem 1-codimensionalen Unterraum $\ker \alpha ^{\vee }$ als auch auf dem nicht darin liegenden $\alpha$ die Identität ist, ist $s_{\alpha }\circ s_{\alpha }$ insgesamt die Identität, also $s_{\alpha }$ eine Involution. $\Box$

Korollar: Für alle $\alpha ,\beta \in R$ ist $s_{s_{\beta }(\alpha )}=s_{\beta }\circ s_{\alpha }\circ s_{\beta }$ und $(s_{\alpha }(\beta ))^{\vee }=\beta ^{\vee }\circ s_{\alpha }$. Für alle $\alpha \in R$ ist $s_{-\alpha }=s_{\alpha }$ und $(-\alpha )^{\vee }=-(\alpha ^{\vee })$.

Beweis: Die Abbildung $s_{\beta }\circ s_{\alpha }\circ s_{\beta }$ stimmt auf dem 1-kodimensionalen Raum $s_{\beta }(\ker \alpha ^{\vee })$ mit $s_{\beta }\circ s_{\beta }=1$ überein und bildet $s_{\beta }(\alpha )$ auf $-s_{\beta }(\alpha )$ ab.

Zu beliebigem $\gamma \in R$ setze $\delta =s_{\beta }(\gamma )$. Dann ist

$(s_{\beta }\circ s_{\alpha }\circ s_{\beta })(\gamma )=s_{\beta }(s_{\alpha }(\delta ))=s_{\beta }(\delta -\alpha ^{\vee }(\delta )\alpha )=s_{\beta }(\delta )-\alpha ^{\vee }(\delta )s_{\beta }(\alpha )=\gamma -\alpha ^{\vee }(s_{\beta }(\gamma ))s_{\beta }(\alpha ).$

Aus der Ganzzahligkeit von $\alpha ^{\vee }(s_{\beta }(\gamma ))$ und der Eindeutigkeit der zu $s_{\beta }(\alpha )$ gehörenden Kowurzel und Reflexion folgt $(s_{\beta }(\alpha ))^{\vee }=\alpha ^{\vee }\circ s_{\beta }$ und $s_{s_{\beta }(\alpha )}=s_{\beta }\circ s_{\alpha }\circ s_{\beta }$.

Die weiteren Aussagen erhält man im Spezialfall $\beta =\alpha$. $\Box$

Duales Wurzelsystem

Satz: Ist $R\subseteq V$ ein Wurzelsystem, so ist auch $R^{\vee }:=\{\alpha ^{\vee }\mid \alpha \in R\}\subseteq V^{*}$ ein Wurzelsystem.

Beweis: Zunächst ist $R^{\vee }$ eine endliche Teilmenge von $V^{*}$.

Zu $\alpha ^{\vee }\in R^{\vee }$ definieren wir die lineare Abbildung $(\alpha ^{\vee })^{\vee }\colon V^{*}\to K,f\mapsto f(\alpha )$ und die zugehörige Reflexion $s\colon V^{*}\to V^{*},f\mapsto f-f(\alpha )\cdot \alpha ^{\vee }$.

Ist jetzt $\beta ^{\vee }\in R^{\vee }$, so ist zunächst $(\alpha ^{\vee })^{\vee }(\beta ^{\vee })=\beta ^{\vee }(\alpha )$ stets ganzzahlig, speziell ist $(\alpha ^{\vee })^{\vee }(\alpha ^{\vee })=\alpha ^{\vee }(\alpha )=2$.

Weiter gilt für $v\in V$ stets $s(\beta ^{\vee })(v)=\beta ^{\vee }(v)-\beta ^{\vee }(\alpha )\cdot \alpha ^{\vee }(v)=\beta ^{\vee }(v-\alpha ^{\vee }(v)\alpha )=\beta ^{\vee }(s_{\alpha }(v))$, also $s(\beta ^{\vee })=\beta ^{\vee }\circ s_{\alpha }=(s_{\alpha }(\beta ))^{\vee }\in R^{\vee }$.

Somit ist $R^{\vee }$ zumindest in einem möglicherweise niederdimensionalen Unterraum von $V^{*}$ ein Wurzelsystem. Da aber ganz klar $(R^{\vee })^{\vee }$ über die kanonische Isomorphie ${V^{*}}^{*}=V$ wieder $R$ ergibt, muß dieser Unterraum ganz $V^{*}$ sein. $\Box$

Weyl-Gruppe

Da die $s_{\alpha }$ Involutionen, also Automorphismen von $V$ sind, ist es sinnvoll, die Weyl-Gruppe, d.i. die von $\{s_{\alpha }\mid \alpha \in R\}$ erzeugte Untergruppe $W\leq \operatorname {GL} (V)$, zu betrachten.

Hilfssatz: Die Weyl-Gruppe $W$ operiert treu auf $R$ und ist endlich.

Beweis: Da für die Erzeugenden bereits $s_{\alpha }(R)\subseteq R$ und wegen der Invertierbarkeit sogar $s_{\alpha }(R)=R$ gilt, erhalten wir einen Gruppenhomomorphismus $W\to \operatorname {Sym} (R)$, also eine Operation von $W$ auf $R$. Da $R$ ein Erzeugendensystem von $V$ ist, operiert hierbei nur die Identität von $V$ trivial auf $R$, d.h. die Operation ist treu. Dann ist aber $W\to \operatorname {Sym} (R)$ eine injektive Abbildung in eine endliche Gruppe, also ist $W$ endlich. $\Box$

Beziehung zwischen zwei Wurzeln

Hilfssatz: Sind $\alpha ,\beta$ zwei Wurzeln eines reduzierten Wurzelsystems, so gilt

• $\alpha =\pm \beta$ oder
• $\alpha ^{\vee }(\beta )=\beta ^{\vee }(\alpha )\in \{-1,0,1\}$ oder
• einer der Werte $\alpha ^{\vee }(\beta ),\beta ^{\vee }(\alpha )$ ist 1 und der andere ist 2 oder 3 oder
• einer der Werte $\alpha ^{\vee }(\beta ),\beta ^{\vee }(\alpha )$ ist -1 und der andere ist -2 oder -3

Falls das Wurzelsystem nicht reduziert ist, gibt es noch die Möglichkeit

• $\alpha =\pm 2\beta$ oder umgekehrt.

Beweis: Seien zunächst $\alpha ,\beta$ linear abhängig, etwa $\alpha =t\beta$. Dann folgt $s_{\alpha }(\beta )=-\beta$, also $\alpha ^{\vee }(\beta )=2t$ gilt. Ebenso folgt aus $s_{\beta }(\alpha )=-\alpha$, dass $\beta ^{\vee }(\alpha )={\frac {2}{t}}$. Dass beide Werte ganzzahlig sind, ist nur für $t\in \{-2,-1,-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}},1,2\}$ möglich. Bei einem reduzierten Fall folgt sogar direkt aus der Definition, dass nur $t\in \{-1,1\}$ möglich ist.

Falls dagegen $\alpha ,\beta$ linear unabhängig sind, werden die zugehörigen Reflexionen auf $\alpha K+\beta K$ bezüglich der Basis $(\alpha ,\beta )$ durch

$s_{\alpha }=\left({\begin{matrix}-1&-\alpha ^{\vee }(\beta )\\0&1\end{matrix}}\right),\;s_{\beta }=\left({\begin{matrix}1&0\\-\beta ^{\vee }(\alpha )&-1\end{matrix}}\right)$

als Matrizen beschrieben. Das Produkt

$s_{\alpha }\circ s_{\beta }=\left({\begin{matrix}\alpha ^{\vee }(\beta )\beta ^{\vee }(\alpha )-1&\alpha ^{\vee }(\beta )\\-\beta ^{\vee }(\alpha )&-1\end{matrix}}\right)$

muß wegen der Endlichkeit von $W$ endliche Ordnung haben, d.h. alle Eigenwerte in ${\overline {K}}$ sind Einheitswurzeln. Insbesondere kann die Spur $\alpha ^{\vee }(\beta )\beta ^{\vee }(\alpha )-2$ nur Werte in $\{-2,-1,0,1,2\}$ annehmen. Ist die Spur 2 oder -2, muß $s_{\alpha }\circ s_{\beta }$ sogar konjugiert zu (und damit sogar gleich) $\pm$Einheitsmatrix sein. Dies bedeutet für die Einträge außerhalb der Diagonalen $\alpha ^{\vee }(\beta )=\beta ^{\vee }(\alpha )=0$ und wird vom zweiten Fall erfaßt. Ansonsten gilt also $\alpha ^{\vee }(\beta )\cdot \beta ^{\vee }(\alpha )\in \{1,2,3\}$. Da $\alpha ^{\vee }(\beta )$ und $\beta ^{\vee }(\alpha )$ ganzzahlig sind, kommen nur Produktzerlegungen in Betracht, die von den Fällen 2 bis 4 abgedeckt werden. $\Box$

Korollar: Sind $\alpha ,\beta \in R$ zwei verschiedene Wurzeln mit $\alpha ^{\vee }\beta >0$, so ist $\alpha ^{\vee }(\beta )=1$ oder $\beta ^{\vee }(\alpha )=1$.

Beweis: In den meisten Fällen des Hilfssatzes ist die Aussage bereits unmittelbar angegeben. Ist $\alpha =\pm \beta$, so ist $\alpha =\beta$ von den Voraussetzungen ausgeschlossen und wegen $\alpha ^{\vee }(-\alpha )=-\alpha ^{\vee }(\alpha )=-2<0$ der Fall $\alpha =-\beta$ ebenfalls. Gilt $\alpha =2\beta$, so folgt $s_{\alpha }(\beta )=-\beta =\beta -\alpha$, also $\alpha ^{\vee }(\beta )=1$. $\Box$

Korollar: Sind $\alpha ,\beta \in R$ zwei verschiedene Wurzeln und ist $\alpha ^{\vee }\beta >0$, so ist $\alpha -\beta \in R$. Ist $\alpha \neq -\beta$ und $\alpha ^{\vee }\beta <0$, so ist $\alpha +\beta \in R$.

Beweis: Seien $\alpha ,\beta \in R$ verschiedene Wurzeln mit$\alpha ^{\vee }\beta >0$. Entweder ist $\alpha ^{\vee }\beta =1$ und es folgt $\alpha -\beta =-s_{\alpha }(\beta )\in R$. Oder es gilt $\beta ^{\vee }\alpha =1$ und folglich $\alpha -\beta =s_{\beta }(\alpha )\in R$. Die zweite Aussage erhält man, indem man $\beta$ durch $-\beta$ ersetzt. $\Box$

Skalarprodukt

Satz: Es gibt auf $V$ ein positiv definites $W$-invariantes Skalarprodukt $\langle \cdot ,\cdot \rangle$. Für jedes solche Skalarprodukt gilt $s_{\alpha }(v)=v-2{\frac {\langle \alpha ,v\rangle }{\langle \alpha ,\alpha \rangle }}\alpha$ für alle $\alpha \in R,v\in V$. Ferner gilt für $\alpha ,\beta \in R$ stets $\langle \alpha ,\beta \rangle \lesseqqgtr 0\iff \alpha ^{\vee }\beta \lesseqqgtr 0\iff \beta ^{\vee }\alpha \lesseqqgtr 0$.

Beweis: Setze $m=|R|$. Dann haben wir eine lineare Abbildung $\phi \colon V\to K^{m},v\mapsto (\alpha ^{\vee }(v))_{\alpha \in R}$. Ist $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{K^{m}}$ das Standardskalarprodukt auf $K^{m}$, so definieren wir durch $\langle v_{1},v_{2}\rangle =\langle \phi (v_{1}),\phi (v_{2})\rangle _{K^{m}}$ für alle $v_{1},v_{2}\in V$ ein Skalarprodukt auf $V$:

• Die Bilinearität (bzw. Sesquilinearität) überträgt sich direkt von $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{K^{m}}$.
• Zu jedem $v\in V\setminus \{0\}$ gibt es ein $f\in V^{*}$ mit $f(v)\neq 0$. Da $R^{\vee }\subseteq V^{*}$ ein Erzeugendensystem ist, gibt es dann auch ein $\alpha \in R$ mit $\alpha ^{\vee }(v)\neq 0$. Somit ist $\phi (v)\neq 0$ und $\langle v,v\rangle =\langle \phi (v),\phi (v)\rangle _{K^{m}}>0$. Somit ist $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ positiv definit.
• Die Operation der Weylgruppe permutiert die $\alpha ^{\vee }$. Dem entspricht im $K^{m}$ eine Permutation der Koordinaten. Hierunter ist das Standardskalarprodukt invariant, so dass $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ folglich $W$-invariant ist.

Sei jetzt $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ ein positiv definites $W$-invariantes Skalarprodukt auf $V$. Falls $\alpha \in R$ und $v\in \ker \alpha ^{\vee }$, so folgt $\langle \alpha ,v\rangle =\langle s_{\alpha }(\alpha ),s_{\alpha }(v)\rangle =\langle -\alpha ,v\rangle =-\langle \alpha ,v\rangle$, also $\langle \alpha ,v\rangle =0$. Wegen $\alpha ^{\vee }(\alpha )=2$ ist $\alpha \neq 0$, also $\langle \alpha ,\alpha \rangle >0$ und wir können die lineare Abbildung $v\mapsto v-2{\frac {\langle \alpha ,v\rangle }{\langle \alpha ,\alpha \rangle }}\alpha$ definieren. Diese stimmt auf $\ker \alpha ^{\vee }$ mit $s_{\alpha }$ überein. Da außerdem $\alpha -2{\frac {\langle \alpha ,\alpha \rangle }{\langle \alpha ,\alpha \rangle }}\alpha =-\alpha =s_{\alpha }(\alpha )$ gilt, folgt $s_{\alpha }(v)=v-2{\frac {\langle \alpha ,v\rangle }{\langle \alpha ,\alpha \rangle }}\alpha$ für alle $v\in V.$

Die letzte Aussage folgt schließlich aus $\alpha ^{\vee }(\beta )=2{\frac {\langle \alpha ,\beta \rangle }{\langle \alpha ,\alpha \rangle }}$ und ${\frac {2}{\langle \alpha ,\alpha \rangle }}>0$. $\Box$

Es wurde im Beweis des Satzes zwar explizit ein Skalarprodukt konstruiert, es gibt aber durchaus mehrere positiv definite $W$-invariante Skalarprodukte auf $V$. Allgemein ist das Skalarprodukt allenfalls bis auf einen positiven Faktor je irreduzibler Komponente festgelegt.

Positive Wurzeln und Fundamentalsysteme

Definition: Eine Linearform $h\colon V\to K$ heißt Höhenfunktion, falls für $\alpha \in R$ stets $h(\alpha )\neq 0$ gilt.

Definition: Eine Teilmenge $R^{+}\subseteq R$ heißt System positiver Wurzeln, falls $R$ die disjunkte Vereinigung von $R^{+}$ und $-R^{+}$ ist und aus $\alpha ,\beta \in R^{+}$ und $\alpha +\beta \in R$ stets $\alpha +\beta \in R^{+}$ folgt.

Definition: Eine Teilmenge $\Pi \subseteq R$ heißt Basis des Wurzelsystems oder auch (um Verwechselungen mit Vektorraumbasen von $V$ zu vermeiden) Fundamentalsystem von Wurzeln, falls gilt:

• $\Pi$ ist eine Vektorraum-Basis von $V$
• Ist $\beta \in R$ und $\beta =\sum _{\alpha \in \Pi }a_{\alpha }\alpha$ so sind die $a_{\alpha }$ ganz und entweder alle nicht-negativ oder alle nicht-positiv.

Hat man ein Fundmentalsystem $\Pi$, so definiert $h\colon \sum _{\alpha \in \Pi }a_{\alpha }\alpha \mapsto \sum _{\alpha \in \Pi }a_{\alpha }$ offenbar eine Höhenfunktion. Wir werden jedoch umgekehrt von den Höhenfunktionen ausgehen und daraus ein Fundamentalsystem konstruieren.

Hilfssatz: Es gibt Höhenfunktionen.

Beweis: Wir werden sogar eine Höhenfunktion mit Werten in $\mathbb {Z}$ finden.

Die Menge aller Linearformen $f\in V^{*}$ mit $f(R)\subseteq \mathbb {Z}$ ist nicht leer (enthält beispielsweise die Nullabbildung). Unter diesen sei $f$ so gewählt, dass die natürliche Zahl $|R\cap \ker f|$ minimal ist.

Sei $\alpha \in R$ beliebig und die natürliche Zahl $N$ so gewählt, dass $|a^{\vee }\beta |<N$ für alle $\beta \in R$. Dann ist $g=Nf+\alpha ^{\vee }$ eine Linearform. Ist jetzt $\beta \in R$, so folgt $g(\beta )=Nf(\beta )+\alpha ^{\vee }(\beta )\in \mathbb {Z}$. Falls hierbei $g(\beta )=0$ gilt, folgt $|f(\beta )|=|\alpha ^{\vee }(\beta )|/N<1$, also $f(\beta )=0$. Es ist also $R\cap \ker g\subseteq R\cap \ker f$ und wegen der Minimalität von $f$ sogar $R\cap \ker g=R\cap \ker f$. Wegen $0<\alpha ^{\vee }(\alpha )<N$ ist $g(\alpha )$ kein Vielfaches von $N$, also insbesondere $g(\alpha )\neq 0$ und somit $\alpha \not \in \ker f$. Da $\alpha \in R$ beliebig war, ist $R\cap \ker f$ leer und $f$ eine Höhenfunktion. $\Box$

Wir wählen jetzt eine feste Höhenfunktion $h$ und setzen $R^{+}=\{\alpha \in R\mid h(\alpha )>0\}$. Dies ist dann ein System positiver Wurzeln. Wegen $R=R^{+}\cup -R^{+}$ ist auch $R^{+}$ ein Erzeugendensystem. Unter den in $R^{+}$ enthaltenen Vektorraum-Basen von $V$ sei $\Pi$ so gewählt, dass $\sum _{\alpha \in \Pi }h(\alpha )$ minimal wird. Wir werden zeigen, dass diese Basis $\Pi$ ein Fundamentalsystem von Wurzeln ist.

Hilfssatz: Ist $\alpha \in R,$ so tritt höchstens einer der folgenden Fälle ein:

• Es gibt $\beta ,\gamma \in R^{+}$ mit $\alpha =\beta +\gamma$
• $\alpha \not \in R^{+}$
• $\alpha \in \Pi$

Beweis: Wegen $\Pi \subseteq R^{+}$ können die letzten beiden Fälle nicht zugleich auftreten. Ist $\alpha =\beta +\gamma$ mit $\alpha ,\beta ,\gamma \in R^{+}$ so ist insbesondere $0<h(\beta )<h(\alpha )$ und $0<h(\gamma )<h(\alpha )$. Auf jeden Fall ist $\alpha \in R^{+}$. Wäre $\alpha \in \Pi$ so erhielte man, wenn man $\alpha$ durch $\beta$ bzw. $\gamma$ ersetzt, in mindestens einem der beiden Fälle wieder eine Basis von $V$. Diese hätte jedoch eine kleinere Gesamthöhe als $\Pi$ im Widerspruch zur Minimalität. Somit tritt also höchstens einer der drei Fälle ein. $\Box$

Korollar: Sind $\pi ,\rho \in \Pi$ verschiedene Elemente von $\Pi$, so gilt $\langle \pi ,\rho \rangle \leq 0$.

Beweis: Ansonsten wäre nämlich $\pi ^{\vee }\rho >0$ und $\pi -\rho \in R$, also entweder $\pi -\rho \in R^{+}$ oder $\rho -\pi \in R^{+}$, d.h. ein Element von $\Pi$ wäre die Summe zweier positiver Wurzeln. $\Box$

Hilfssatz: Ist $S\subseteq R^{+}$ eine Teilmenge der positiven Wurzeln mit $\langle \alpha ,\beta \rangle \leq 0$ für alle $\alpha ,\beta \in S$ mit $\alpha \neq \beta$, so ist $S$ linear unabhängig.

Beweis: Seien zunächst $\alpha ,\beta \in R^{+}$ zwei linear abhängige positive Wurzeln, also $\alpha =t\beta$. Wegen $h(\alpha )=th(\beta )$ folgt $t>0$ und somit $\langle \alpha ,\beta \rangle >0$. Somit gilt der Hilfssatz gewiß für $|S|\leq 2$.

Von hier ausgehend führen wir den Beweis per Induktion nach $|S|$:

Seien $a_{\alpha }\in K$ Koeffizienten mit

$\sum _{\alpha \in S}a_{\alpha }\cdot \alpha =0.$

Es ist zu zeigen, dass alle $a_{\alpha }=0$ sind.

Falls für $\alpha \neq \beta$ stets $\langle \alpha ,\beta \rangle =0$ gilt, so folgt durch Skalarmultiplikation mit $\alpha$ sofort $a_{\alpha }\langle \alpha ,\alpha \rangle =0$ also $a_{\alpha }=0$.

Ansonsten gibt es zwei positive Wurzeln $\beta ,\gamma \in S$ mit $\langle \beta ,\gamma \rangle <0$. Dann ist aber auch $\beta +\gamma \in R^{+}$. Wegen $\langle \beta +\gamma ,\alpha \rangle =\langle \beta ,\alpha \rangle +\langle \gamma ,\alpha \rangle \leq 0$ für alle $\alpha \in S\setminus \{\beta ,\gamma \}$ ist nach Induktionsvoraussetzung $(S\setminus \{\beta ,\gamma \})\cup \{\beta +\gamma \}$ linear unabhängig. Somit folgt $a_{\beta }+a_{\gamma }=0$ und $a_{\alpha }=0$ für $\alpha \in S\setminus \{\beta ,\gamma \}$. Insbesondere folgt $a_{\beta }\beta +a_{\gamma }\gamma =0$ und hieraus wiederum auch $a_{\beta }=a_{\gamma }=0$ (Fall $|S|=2$). $\Box$

Hilfssatz: Ist $\alpha \in R$ so tritt genau einer der folgenden Fälle ein:

• Es gibt $\beta ,\gamma \in R^{+}$ mit $\alpha =\beta +\gamma$
• $\alpha \not \in R^{+}$
• $\alpha \in \Pi$

Es gilt also insbesondere $\Pi =R^{+}\setminus (R^{+}+R^{+})$.

Beweis: Wir haben „höchstens einer“, also auch $\Pi \subseteq R^{+}\setminus (R^{+}+R^{+})$, bereits gezeigt.

Um „mindestens einer“ zu zeigen, nehmen wir an, dass $R^{+}\setminus {\bigl (}(R^{+}+R^{+})\cup \Pi {\bigr )}$ nicht leer ist, und es sei $\alpha$ ein Element hiervon mit minimaler Höhe.

Sei $\pi \in \Pi$. Da weder $\pi$ noch $\alpha$ Summe positiver Wurzeln ist, kann weder $\pi -\alpha \in R^{+}$ noch $\alpha -\pi \in R^{+}$ gelten, somit folgt $\pi -\alpha \not \in R$. Dies bedeutet, dass $\langle \pi ,\alpha \rangle$ nicht positiv sein kann.

Folglich gilt $\langle \alpha ,\pi \rangle \leq 0$ für alle $\pi \in \Pi$. Aber dann ist $\Pi \cup \{\alpha \}$ linear unabhängig, was wegen $\alpha \not \in \Pi$ im Widerspruch zur Basiseigenschaft von $\Pi$ steht.

Es folgt $R^{+}\setminus {\bigl (}(R^{+}+R^{+})\cup \Pi {\bigr )}=\emptyset$ und die Behauptung des Hilfssatzes. $\Box$

Satz: $\Pi$ ist ein System von Fundamentalwurzeln.

Beweis: Dass $\Pi$ eine Vektorraumbasis ist, ist klar. Dass jede positive Wurzel als nicht-negative ganze Linearkombination darstellbar ist, zeigen wir durch Induktion über die Höhe (die zwar reelle Werte annimmt, aber nur endlich viele verschiedene).

Sei also $\alpha \in R^{+}$ und für alle positiven Wurzeln geringerer Höhe sei die Darstellbarkeit schon bekannt. Ist $\alpha \in \Pi$, so liegt trivialerweise eine nicht-negative ganze Linearkombination vor. Ansonsten gilt $\alpha =\beta +\gamma$ mit $\beta ,\gamma \in R^{+}$. Wegen $h(\beta )=h(\alpha )-h(\gamma )<h(\alpha )$ und ebenso $h(\gamma )<h(\alpha )$ werden $\beta$ und $\gamma$ durch nicht-negative ganze Linearkombinationen dargestellt. Durch Addition ergibt sich eine ebensolche für $\alpha$

Durch Induktion folgt somit die Darstellbarkeit aller positiven Wurzeln als nicht-negative ganze Linearkombination und entsprechend aller negativen Wurzeln als nicht-positive ganze Linearkombination. $\Box$

Rationalität

Der $K$-Vektorraum $V$ ist auch ein (i.a. unendlich-dimensionaler) $\mathbb {Q}$-Vektorraum. Sei $U$ der von $R$ erzeugte $\mathbb {Q}$-Unterraum hiervon. Da es ein Fundamentalsystem $\Pi \subseteq R$ gibt, sind alle Relationen zwischen den Wurzeln schon über $\mathbb {Q}$ definiert, insbesondere ist $\dim _{\mathbb {Q} }U=\dim _{K}V$ und daher $R\subseteq U$ ein Wurzelsystem vom selben Rang und in weitem Sinne derselben inneren Struktur wie das ursprüngliche. (Formal gewinnt man die ursprüngliche Situation durch Tensorieren mit $K$ zurück, $V\cong U\otimes _{\mathbb {Q} }K$). Für die strukturelle Untersuchung von Wurzelsystemen darf daher $K=\mathbb {Q}$ oder wahlweise auch $K=\mathbb {R}$ vorausgesetzt werden.

Weyl-Kammern und Operation der Weyl-Gruppe auf der Menge der Fundamentalsysteme

Wir nehmen an, dass $K=\mathbb {R}$ gilt.

Dann wird $V$ für $\alpha \in R$ durch die Hyperebene $\ker \alpha ^{\vee }$ jeweils in zwei Halbräume zerlegt, insgesamt also in endlich viele konvexe Teilmengen, die sogenannten Weylkammern.

Weylkammern stehen mit Fundamentalsystemen auf folgende Weise in Beziehung:

Ist $\Pi$ ein Fundamentalsystem, so ist $C(\Pi ):=\{x\in V\mid \forall \pi \in \Pi \colon \langle \pi ,x\rangle >0\}$ eine Weylkammer. Wäre nämlich $x\in C(\Pi )$ ein Vektor mit $x\in \ker \alpha ^{\vee }$ für ein $\alpha \in R$, so folgt aus $\alpha =\sum _{\pi \in \Pi }a_{\pi }\pi$ auch $\sum _{\pi \in \Pi }a_{\pi }\langle \pi ,x\rangle =0$. Hierbei sind aber alle Summanden nicht-negativ oder alle nicht-positiv und mindestens ein Summand nicht 0. Dies ist ein Widerspruch, also wird $C(\Pi )$ nicht weiter durch Hyperebenen unterteilt.

Ist $C$ eine Weylkammer und $x\in C$, so definiert $h(v):=\langle x,v\rangle$ eine Höhenfunktion und somit auch ein Fundamentalsystem $\Pi (C)$. Ist $x'\in C$ ein anderer Punkt der Weylkammer, so ergibt sich zwar eine andere Höhenfunktion, aber wenigstens dasselbe System $R^{+}$ positiver Wurzeln. Da $\Pi =R^{+}\setminus (R^{+}+R^{+})$ hieraus rekonstruierbar ist, ergibt sich auch dasselbe Fundamentalsystem, und wir können also jeder Weylkammer ein Fundamentalsystem zuordnen.

Offensichtlich sind diese beiden Zuordnungen invers zueinander, so dass hierüber die Menge der Weylkammern und die Menge der Fundamentalsysteme in Bijektion stehen.

Satz: Die Weylgruppe operiert transitiv auf der Menge der Weylkammern sowei auf der Menge de Fundamentalsysteme. Ist $\Pi$ ein Fundamentalsystem, so wird $W$ durch die $s_{\pi }$ mit $\pi \in \Pi$ erzeugt.

Beweis: Ist $C$ eine Weylkammer und $w\in W$, so wird gewiß $w(C)$ durch keine Hyperebene $\ker \alpha ^{\vee }$ zerteilt, denn dann würde $C$ durch $\ker(\alpha ^{\vee }\circ w)=\ker(w^{-1}(\alpha ))^{\vee }$ zerteilt. Durch die Bijektivität folgt, dass $w$ Weylkammern in Weylkammern abbildet.

Seien $C_{0},C_{1}$ zwei Weylkammern und sei $x_{0}\in C_{0}$. Falls $\alpha ,\beta \in R$ linear unabhängig sind, stimmen die Orthogonalräume $\ker \alpha ^{\vee },\ker \beta ^{\vee }$ nicht überein, also ist $\ker \alpha ^{\vee }\cap \ker \beta ^{\vee }$ ein 2-kodimensionaler Unterraum und $(\ker \alpha ^{\vee }\cap \ker \beta ^{\vee })-x_{0}$ in einem 1-kodimensionalen Unterraum enthalten. Da $C_{1}$ offen ist, gibt es ein $x_{1}\in C_{1}$ so dass $x_{1}-x_{0}$ in keinem dieser endlich vielen 1-kodimensionalen Unterräume enthalten ist. Dann gibt es endlich viele reelle Zahlen $t\in ]0,1[$ derart, dass $x(t):=x_{0}+t(x_{1}-x_{0})$ in einem $\ker \alpha ^{\vee }$ enthalten ist. Sei $T=\{t\in \,]0,1[\,\mid \exists \alpha \in R\colon \alpha ^{\vee }(x(t))=0\}$. Zu $t\in T$ gibt es bis auf skalar Vielfache nur ein $\alpha \in R$ mit $\alpha ^{\vee }(x(t))=0$.

Wir zeigen die Behauptung durch Induktion über $|T|$, dass $C_{1}=w(C_{0})$ für ein $w\in \langle s_{\pi }\rangle _{\pi \in \Pi (C_{0})}$ Hierbei ist der Fall, wenn $T$ leer ist, trivial. Ansonsten sei $t_{m}$ das kleinste Element von $T$. Dann liegt $x(t_{m})$ in $\ker \rho ^{\vee }$ für ein $\rho \in \Pi (C_{0})$. Für hinreichend kleines $\epsilon >0$ ist $T\cap \,]t_{m},t_{m}+\epsilon [$ leer. Für $t_{2}\in \,]t_{m},t_{m}+\epsilon [$ liegt $x_{2}:=x(t_{2})$ in $C_{2}:=s_{\rho }(C_{0})=C(s_{\rho }\Pi (C_{0}))$. Mit $x'(t):=x_{2}+t(x_{1}-x_{2})$ enthält $T'=\{t\in \,]0,1[\,\mid \exists \alpha \in R\colon \alpha ^{\vee }(x'(t))=0\}$ ein Element weniger als $T$. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es daher ein $w\in \langle s_{\pi }\rangle _{\pi \in \alpha \Pi }=\langle s_{\alpha }s_{\pi }s_{\alpha }\rangle _{\pi \in \Pi }=\langle s_{\pi }\rangle _{\pi \in \Pi }$ mit $w(C_{2})=C_{1}$. Wegen $C_{2}=s_{\pi }(C_{0})$ folgt die Behauptung.

Insbesondere operiert daher $W$ auf der Menge der Weylkammern und ebenso auf der Menge der Fundamentalsysteme. Es zeigt sich aber auch, da jede Hyperebene $\ker \alpha ^{\vee }$ mit $\alpha \in R$ einen Teil der Begrenzung mindestens einer Weylkammer bildet, dass $s_{\alpha }$ ein Element von $\langle \pi \rangle _{\pi \in \Pi }$ ist, wobei $\Pi$ ein beliebiges Fundamentalsystem ist. $\Box$

Die Bilder eines Fundamentalsystems unter der Weyl-Gruppe überdecken das gesamte reduzierte Wurzelsystem

Satz: Ist $R$ ein reduziertes Wurzelsystem und $\alpha \in R$ eine beliebige Wurzel, so gibt es ein Fundamentalsystem $\Pi \subseteq R$ mit $\alpha \in \Pi$.

Beweis: ObdA. gilt $K=\mathbb {R}$. Sind $\alpha ,\beta$ zwei Wurzeln, so stimmen die Orthogonalräume $\ker \alpha ^{\vee },\ker \beta ^{\vee }$ genau dann überein, wenn $\alpha ,\beta$ linear abhängig sind. Somit gibt es ein $v\in V$ mit $\langle \alpha ,v\rangle =0$ und $\langle \beta ,v\rangle \neq 0$ für alle $\beta \neq \pm \alpha$. Für hinreichend großes $t\in \mathbb {R}$ ist dann $h\colon V\to \mathbb {R} ,\,x\mapsto \langle \alpha +tv,x\rangle$ eine Höhenfunktion und es gilt $|h(\beta )|>h(\alpha )=\langle \alpha ,\alpha \rangle$ für alle $\beta \neq \pm \alpha$. Für das zu der Höhenfunktion gehörige Fundamentalsystem $\Pi$ muß gelten, dass es mindestens ein $\pi \in \Pi$ gibt mit $0<h(\pi )\leq h(\alpha )$. Es folgt $\alpha \in \Pi$. $\Box$

Korollar: Ist $R$ ein reduziertes Wurzelsystem und $\Pi \in R$ ein Fundamentalsystem, so gilt $W\Pi =R$.

Beweis: Ist $\alpha \in R$, so gibt es ein Fundamentalsystem $\Pi '$ mit $\alpha \in \Pi '$ und ein $w\in W$ mit $\Pi '=w\Pi$. $\Box$

Analyse der Dynkin-Diagramme

Im Folgenden sei $R$ ein irreduzibles reduziertes Wurzelsystem. Wir setzen $K=\mathbb {R}$ voraus. Sei $\Pi \subseteq R$ ein Fundamentalsystem und ein $W$-invariantes Skalarprodukt $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ fest gewählt. Das Skalarprodukt wird bezüglich der Basis $\Pi$ durch eine symmetrische positiv definite Matrix $C=(c_{ij})_{i,j}$ mit $c_{ij}=c_{ji}=\langle \alpha _{i},\alpha _{j}\rangle$ beschrieben, die sogenannte Cartan-Matrix. Dies und die Kenntnis der möglichen Beziehungen zwischen zwei Wurzeln sind die einzigen Eigenschaften, die für die Klassifikation benutzt werden. Als Hilfsmittel werden Dynkin-Diagramme eingesetzt, die diese Beziehungen grafisch codieren, indem jeder Basisvektor einem Knoten entspricht und zwischen den Knoten verschiedene Linien gezeichnet werden.

Da $W$ transitiv auf der Menge der Fundamentalsysteme operiert, hängt das Dynkin-Diagramm nicht von der getroffenen Wahl ab. Da außerdem aus einem Fundamentalsystem $\Pi$ und dem zugehörigen Dynkin-Diagramm das komplette Wurzelsystem rekonstruierbar ist (die Operation der $s_{\pi }$ auf $V$ wird durch das Diagramm determiniert, die hiervon erzeugte Gruppe bildet $\Pi$ auf ganz $R$ ab), ist das Dynkin-Diagramm ein geeignetes Klassifizierungsmerkmal für reduzierte Wurzelsysteme.

Wir erinnern uns, dass bei zwei Wurzeln $\alpha ,\beta$ mit $\langle \alpha ,\beta \rangle$ nur folgende Fälle möglich sind:

1. $\langle \alpha ,\beta \rangle =0$; Cartan-Matrix $\left({\begin{matrix}t&0\\0&u\end{matrix}}\right)$ mit positiven reellen Zahlen $t,u$; symbolisiert durch keine Verbindung
2. $\langle \alpha ,\alpha \rangle =\langle \beta ,\beta \rangle =-2\langle \alpha ,\beta \rangle$; Cartan-Matrix positiv skalares Vielfaches von $\left({\begin{matrix}2&-1\\-1&2\end{matrix}}\right)$; symbolisiert durch eine einfache Linie
3. $\langle \alpha ,\alpha \rangle =2\langle \beta ,\beta \rangle =-2\langle \alpha ,\beta \rangle$; Cartan-Matrix positiv skalares Vielfaches von $\left({\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}}\right)$; symbolisiert durch einen Doppelpfeil von $\alpha$ nach $\beta$
4. $\langle \alpha ,\alpha \rangle =3\langle \beta ,\beta \rangle =-2\langle \alpha ,\beta \rangle$; Cartan-Matrix positiv skalares Vielfaches von $\left({\begin{matrix}6&-3\\-3&2\end{matrix}}\right)$; symbolisiert durch einen Dreifachpfeil von $\alpha$ nach $\beta$
5. die vorhergehenden beiden Fälle mit vertauschten Rollen von $\alpha$ und $\beta$

Ist das Dynkin-Diagramm nicht zusammenhängend, so sind alle zu einer Zusammenhangskomponente gehörenden Basisvektoren zu allen übrigen orthogonal und das Wurzelsystem ist reduzibel. Wir setzen daher das Dynkin-Diagramm als zusammenhängend voraus.

Von diversen Konfigurationen wird nachgewiesen, dass sie nicht auftreten können:

Dreifachpfeil mit weiterer Kante

Verbotene Konfigurationen mit einem Dreifachpfeil

Kombiniert man eine Matrix $\left({\begin{matrix}6&-3\\-3&2\end{matrix}}\right)$ mit einem Vielfachen von $\left({\begin{matrix}2k&-k\\-k&2\end{matrix}}\right)$ ($k\in \{1,2,3\}$), so ergibt sich je nach Anordnung eine der folgenden Matrizen:

$\left({\begin{matrix}6&-3&\\-3&2&-k\\&-k&2k\end{matrix}}\right),\;\left({\begin{matrix}6&-3&\\-3&2&-1\\&-1&2/k\end{matrix}}\right),\;\left({\begin{matrix}2&-3&\\-3&6&-3k\\&-3k&6k\end{matrix}}\right),\;\left({\begin{matrix}2&-3&\\-3&6&-3\\&-3&6/k\end{matrix}}\right).$

Hierbei sind die Leerstellen jeweils unbekannt, aber gewiß nicht-positiv. Indem man jeweils einen von 0 verschiedenen Zeilenvektor $v$ findet, für den $vCv^{T}\leq 0$ ist, folgt, dass die betreffende Konstellation nicht zulässig ist. Sofern $v$ komponentenweise nicht-negativ ist, genügt es, den Fall zu betrachten, dass alle Leerstellen in den Matrzen 0 sind. Man ist sogar bereits fertig, falls $v$ komponentenweise nicht-negativ und $vC$ komponentenweise nicht-positiv ist.

Auf diese Weise findet man für die erste Matrix

$\left({\begin{matrix}1&2&1\end{matrix}}\right)\cdot C=\left({\begin{matrix}0&1-k&0\end{matrix}}\right),$

für die zweite

$\left({\begin{matrix}1&2&1\end{matrix}}\right)\cdot C=\left({\begin{matrix}0&0&{\frac {2}{k}}-2\end{matrix}}\right),$

für die dritte

$\left({\begin{matrix}3&2&1\end{matrix}}\right)\cdot C=\left({\begin{matrix}0&3-3k&0\end{matrix}}\right),$

für die vierte

$\left({\begin{matrix}3&2&1\end{matrix}}\right)\cdot C=\left({\begin{matrix}0&0&{\frac {6}{k}}-6\end{matrix}}\right).$

Wegen $k\geq 1$ ist das Ergebnis in der Tat jeweils nicht-positiv.

Da ein Dreifachpfeil somit in keinem größeren (zusammenhängenden) Dynkin-Diagramm auftreten kann, brauchen wir im Folgenden Dreifachpfeile nicht mehr berücksichtigt zu werden.

Doppelpfeil mit Pfad zu einer weiteren Doppelkante

Verbotene Konstellationen mit zwei Doppelpfeilen

Kombiniert man zwei Matrizen $\left({\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}}\right)$ bzw. skalare Vielfache hiervon und überbrückt gegebenenfalls durch Vielfache von $\left({\begin{matrix}2&-1\\-1&2\end{matrix}}\right)$, so ergibt sich je nach Anordnung einer der folgenden Fälle:

$\left({\begin{matrix}4&-2\\-2&2&-1\\&-1&2&-1\\&&\ddots &\ddots &\ddots \\&&&-1&2&-1\\&&&&-1&1\end{matrix}}\right),\;\left({\begin{matrix}4&-2\\-2&2&-1\\&-1&2&-1\\&&\ddots &\ddots &\ddots \\&&&-1&2&-2\\&&&&-2&4\end{matrix}}\right),\;\left({\begin{matrix}1&-1\\-1&2&-1\\&-1&2&-1\\&&\ddots &\ddots &\ddots \\&&&-1&2&-1\\&&&&-1&1\end{matrix}}\right).$

Für die erste Matrix ist

${\begin{pmatrix}1&2&\cdots &2&2\end{pmatrix}}\cdot C=0,$

für die zweite

${\begin{pmatrix}1&2&\cdots &2&1\end{pmatrix}}\cdot C=0,$

für die dritte

${\begin{pmatrix}1&1&\cdots &1&1\end{pmatrix}}\cdot C=0.$

Folglich können diese Konstellationen sämtlich nicht auftreten, das Dynkin-Diagramm eines irrduziblen Wurzelsystems enthält höchstens einen Doppelpfeil.

Doppelpfeil mit Pfad zu einer Verzweigung

Verbotene Konstellationen mit Doppelpfeil und Verzweigung

Die Kombination aus einem Doppelpfeil und einer Verzweigung von zwei Einfachkanten, gegebenenfalls verbunden über einige Einfachkanten entspricht, je nach Anordnung, den folgenden Matrizen:

${\begin{pmatrix}4&-2\\-2&2&-1\\&-1&2&-1\\&&\ddots &\ddots &\ddots \\&&&-1&2&-1&-1\\&&&&-1&2\\&&&&-1&&2\\\end{pmatrix}},\;{\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2&-1\\&-1&2&-1\\&&\ddots &\ddots &\ddots \\&&&-1&2&-1&-1\\&&&&-1&2\\&&&&-1&&2\\\end{pmatrix}}.$

Man verifiziert in diesen Fällen

${\begin{pmatrix}1&2&2&\cdots &2&1&1\end{pmatrix}}\cdot C={\begin{pmatrix}0&0&0&\cdots &0&0&-1&-1\end{pmatrix}}$

bzw.

${\begin{pmatrix}2&2&2&\cdots &2&1&1\end{pmatrix}}\cdot C={\begin{pmatrix}0&0&0&\cdots &0&0&0&0\end{pmatrix}}.$

Auch diese Konstellationen sind also unzulässig.

Ergänzung eines Doppelpfeils zu einem Kreis

Kreis mit einem Doppelpfeil

Ein graphentheoretischer Kreis aus einer oder mehreren Einfachkanten sowie einem Doppelpfeil ist schon deshalb unmöglich, weil durch Einfachkanten verbundene Wurzeln gleiche Länge haben, während die durch einen Doppelpfeil verbundenen verschieden lang sein müßten.

Doppelpfeil mit drei auf beide Enden verteilten Kanten

Unzulässige Erweiterungen von F₄ durch Einfachkanten

Ein linearer Graph mit einem Doppelpfeil und drei EInfachkanten, die nicht alle auf derselben Seite des Doppelpfeils liegen, liefert eine der beiden folgenden Matrizen:

${\begin{pmatrix}4&-2\\-2&4&-2\\&-2&2&-1\\&&-1&2&-1\\&&&-1&2\end{pmatrix}},\;{\begin{pmatrix}4&-2\\-2&4&-2\\&-2&4&-2\\&&-2&2&-1\\&&&-1&2\end{pmatrix}}.$

Man verifiziert

${\begin{pmatrix}1&2&3&2&1\end{pmatrix}}\cdot C=0$

bzw.

${\begin{pmatrix}1&2&3&4&2\end{pmatrix}}\cdot C=0.$

Auch diese Konstellationen sind also unzulässig. Hiermit sind alle für den Doppelpfeil auszuschließenden Fälle abgearbeitet, so dass in den weiteren Fällen nur noch einfache Kanten berücksichtigt zu werden brauchen.

Kreis aus einfachen Kanten

Unzulässiger Kreis aus Einfachkanten

In einem Kreis aus Einfachkanten ist jeder Punkt mit genau zwei anderen Punkten verbunden. Dadurch steht in jeder Spalte (oder Zeile) der Matrix in zwei Stellen das $-{\tfrac {1}{2}}$-fache des Wertes auf der Diagonalen. Es folgt daher sofort, dass der Vektor $v={\begin{pmatrix}1&1&\cdots &1\end{pmatrix}}$ geeignet ist, um die Unzulässigkeit dieser Konstellation zu zeigen.

Die einzigen erlaubten Diagramme aus Einfachkanten sind also Bäume im graphentheoretischen Sinne.

Knoten mit vier oder mehr einfachen Kanten

Knoten vom Grad vier

Ist ein Knoten mit vier anderen jeweils durch eine einfache Kante verbunden, so führt dies auf die Matrix

${\begin{pmatrix}2&-1&-1&-1&-1\\-1&2\\-1&&2\\-1&&&2\\-1&&&&2\end{pmatrix}}.$

Hier gilt ${\begin{pmatrix}2&1&1&1&1\end{pmatrix}}\cdot C=0$.

Der maximale erlaubte Grad eines Knotens ist folglich drei.

Zwei Verzweigungen

Zwei verbundene VErzweigungen

Gibt es im Dynkin-Diagramm zwei Knoten vom Grad drei, die über einen Pfad aus Einfachkanten verbunden sind, so führt dies auf folgende Matrix:

${\begin{pmatrix}2&&-1\\&2&-1\\-1&-1&2&-1\\&&-1&2&-1\\&&&\ddots &\ddots &\ddots \\&&&&-1&2&-1&-1\\&&&&&-1&2\\&&&&&-1&&2\\\end{pmatrix}}.$

Dann ist jedoch ${\begin{pmatrix}1&1&2&2&2&\cdots &2&1&1\end{pmatrix}}\cdot C=0$.

Somit gibt es höchstens einen Verzweigungsknoten im Dynkin-Diagramm.

Verzweigung mit kürzestem Zweig länger als eine Kante

Verzweigung, bei der alle Zweige mindestens Länge 2 haben

Liegt ein Knoten vom Grad drei vor und ist jeder der drei Zweige mindestens zwei Kanten lang, so ergibt sich die Matrix

${\begin{pmatrix}2&-1&-1&-1\\-1&2&&&-1\\-1&&2&&&-1\\-1&&&2&&&-1\\&-1&&&2\\&&-1&&&2\\&&&-1&&&2\end{pmatrix}}.$

Es folgt ${\begin{pmatrix}3&2&2&2&1&1&1\end{pmatrix}}\cdot C=0$. Ist ein Verzweigungspunkt vorhanden, muß also der kürzeste Zweig die Länge eins haben.

Verzweigung mit zweitkürzestem Zweig länger als zwei Kanten

Der zweitkürzeste Zweig ist länger als zwei Kanten

Liegt ein Verzweigungspunkt vor, bei dem zwei Zweige mindestens drei Kanten umfassen, so ergibt sich die Matrix

${\begin{pmatrix}2&-1\\-1&2&-1&-1\\&-1&2&&-1\\&-1&&2&&-1\\&&-1&&2&&-1\\&&&-1&&2&&-1\\&&&&-1&&2\\&&&&&-1&&2\end{pmatrix}}.$

Es folgt ${\begin{pmatrix}2&4&3&3&2&2&1&1\end{pmatrix}}\cdot C=0$. Der zweitkürzeste Zweig darf also allenfalls eine oder zwei Kanten umfassen.

E₉ und höher

Das Diagramm E9

Die Reihe der E_n-Diagramme endet bereits bei $n=8$. In der Tat liefert das Diagramm E₉, das aus einer Verzweigung mit einem Zweig der Länge eins, einem der Länge zwei und einem der Länge fünf besteht, die Matrix

${\begin{pmatrix}2&-1\\-1&2&-1&&-1\\&-1&2&-1&\\&&-1&2\\&-1&&&2&-1\\&&&&-1&2&-1\\&&&&&-1&2&-1\\&&&&&&-1&2&-1\\&&&&&&&-1&2\end{pmatrix}}.$

Es ergibt sich ${\begin{pmatrix}3&6&4&2&5&4&3&2&1\end{pmatrix}}\cdot C=0$.

Zusammenfassung der Klassifikation

Als Ergebnis der vorstehenden Untersuchungen über verbotene Konfigurationen ergibt sich

• $G_{2}$ ist der einzige Kandidat für ein Dynkin-Diagramm mit einem Dreifachpfeil.

Weiter sind die einzigen Kandidaten mit einem Doppelpfeil

• die Serien $B_{n}$, $n\geq 2$, und $C_{n}$, $n\geq 3$ (es ist $C_{2}=B_{2}$), mit Kanten an höchstens einer Seite des Doppelpfeils,
• der Ausnahmefall $F_{4}$ mit Kanten an beiden Enden des Doppelpfeils.

Diagramme aus Einfachkanten sind grundsätzlich einfach aufgebaute Bäume. Die einzigen Kandidaten mit einer Verzweigung sind

• die Serie $D_{n}$, $n\geq 4$, bei der der zweitkürzeste Zweig die Länge 1 hat,
• die Ausnahmefälle $E_{6}$, $E_{7}$, $E_{8}$, bei denen der zweitkürzeste Zweig die Länge 2 hat.

Ansonsten bleiben nur unverzweigte Diagramme mit einfachen Kanten, also

• die Serie $A_{n}$, $n\geq 1$.

Konstruktion von Beispielen zu jedem Typ

A_n

Betrachte den $n$-dimensionalen Unterraum $V$ des $\mathbb {R} ^{n+1}$ derjenigen Vektoren, deren Summe aller Komponenten 0 ist, d.i. der Orthogonalraum zu $e_{1}+e_{2}+\cdots +e_{n+1}$. Die Vektoren der Form $e_{i}-e_{j}$ mit $i\neq j$ bilden ein Wurzelsystem vom Typ $A_{n}$ mit insgesamt $n^{2}+n$ Wurzeln. Ein Fundamentalsystem ist $\{e_{i}-e_{i+1}\mid 1\leq i<=n\}$. Zu $\alpha =e_{i}-e_{j}$ ist $s_{\alpha }$ gerade die Abbildung, die $e_{i}$ und $e_{j}$ vertauscht, woraus sich $W\cong S_{n+1}$ ergibt: Die Weylgruppe ist die Gruppe der Permutationen der Standardbasis von $\mathbb {R} ^{n+1}$ und hat $(n+1)!$ Elemente.

B_n

Betrachte im $\mathbb {R} ^{n}$ alle Vektoren mit ganzzahligen Koordinaten, deren Länge $1$ oder ${\sqrt {2}}$ ist, das sind alle Vektoren der Form $\pm e_{i}$ mit $1\leq i\leq n$ oder $\pm e_{i}\pm e_{j}$ mit $1\leq i<j\leq n$. Dies ist ein Wurzelsystem vom Typ $B_{n}$ mit $2n^{2}$ Wurzeln, $2n$ kurze und $2n^{2}-2n$ lange. Ein Fundamentalsystem besteht aus $e_{1}-e_{2},e_{2}-e_{3},\ldots ,e_{n-1}-e_{n},e_{n}$. Die Weylgruppe operiert durch Permutation der Standardbasis und komponentenweisen Vorzeichenwechsel, d.h. sie ist ein semidirektes Produkt $W\cong C_{2}^{n}\rtimes S_{n}$ mit $2^{n}\cdot n!$ Elementen.

C_n

Betrachte im $\mathbb {R} ^{n}$ alle Vektoren der Form $\pm 2e_{i}$ mit $1\leq i\leq n$ oder $\pm e_{i}\pm e_{j}$ mit $1\leq i<j\leq n$. Dies ist ein Wurzelsystem vom Typ $C_{n}$ mit $2n^{2}$ Wurzeln, $2n^{2}-2n$ kurze und $2n$ lange. Ein Fundamentalsystem besteht aus $e_{1}-e_{2},e_{2}-e_{3},\ldots ,e_{n-1}-e_{n},2e_{n}$. Die Weylgruppe ist isomorph zu der von $B_{n}$, d.h. $W\cong C_{2}^{n}\rtimes S_{n}$ und hat $2^{n}\cdot n!$ Elemente.

D_n

Betrachte im $\mathbb {R} ^{n}$ alle Vektoren mit ganzzahligen Koordinaten und Länge ${\sqrt {2}}$, das sind die Vektoren der Form $\pm e_{i}\pm e_{j}$ mit $1\leq i<j\leq n$. Dies ist ein Wurzelsystem vom Typ $D_{n}$ mit $2n^{2}-2n$ Wurzeln. Ein Fundamentalsystem bilden die Wurzeln $e_{1}-e_{2},e_{2}-e_{3},\ldots ,e_{n-1}-e_{n},e_{n-1}+e_{n}$. Die Weylgruppe ist ein Normalteiler der Weylgruppe zu $B_{n}$ bzw. $C_{n}$, es ist $W\cong C_{2}^{n-1}\rtimes S_{n}$, die Gruppe hat $2^{n-1}\cdot n!$ Elemente und operiert durch Permutation der Standardbasis und gerade Vorzeichenwechsel.

E₆, E₇, E₈

Betrachte im $\mathbb {R} ^{8}$ die ganzzahligen Vektoren der Länge ${\sqrt {2}}$ sowie die Vektoren, deren sämtliche Komponenten $\pm {\tfrac {1}{2}}$ sind, hierunter je gerade viele $+{\tfrac {1}{2}}$ und $-{\tfrac {1}{2}}$. Dies ist ein Wurzelsystem vom Typ $E_{8}$ mit 240 Elementen. Ein Fundamentalsystem ist ${\tfrac {1}{2}}(e_{1}-e_{2}-e_{3}-\cdots -e_{7}+e_{8}),e_{1}+e_{2},e_{2}-e_{1},e_{3}-e_{2},e_{4}-e_{3},e_{5}-e_{4},e_{6}-e_{5},e_{7}-e_{6}$.

Ein Wurzelsystem vom Typ $E_{7}$ bzw. $E_{6}$ erhält man, indem man auf den von den ersten 7 bzw. 6 Fundamentalwurzeln aufgespannten Unterraum einschränkt. Die entstehenden Systeme haben 126 bzw. 72 Wurzeln.

F₄

Berachte im $\mathbb {R} ^{4}$ die ganzzahligen Vektoren der Länge 1 oder ${\sqrt {2}}$ sowie die halb-ganzzahligen Vektoren der Länge 1, das sind alle $\pm e_{i}$, $1\leq i\leq 4$, alle $\pm e_{i}\pm e_{j}$, $1\leq i<j\leq 4$ sowie ${\tfrac {1}{2}}(\pm e_{1}\pm e_{2}\pm e_{3}\pm e_{4})$. Dies ist ein Wurzelsystem vom Typ $F_{4}$ und hat 48 Elemente. Ein Fundamentalsystem ist $e_{2}-e_{3},e_{3}-e_{4},e_{4},-{\tfrac {1}{2}}(e_{1}+e_{2}+e_{3}+e_{4})$.

G₂

Wurzelsystem G₂

Zur Konstruktion des Wurzelsystems $G_{2}$ im $\mathbb {R} ^{2}$ vergleiche nebenstehende Abbildung. Mit $\alpha ={\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}}^{T}$ und $\beta ={\begin{pmatrix}-{\frac {3}{2}}&{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}\end{pmatrix}}^{T}$ als Fundamentalsystem besteht es aus den 12 Wurzeln $\pm \alpha ,\pm \beta ,\pm (\beta +\alpha ),\pm (\beta +2\alpha ),\pm (\beta +3\alpha ),\pm (2\beta +3\alpha )$. Die Weylgruppe ist die Symmetriegruppe des Hexagons, $W\cong D_{6}\cong C_{6}\rtimes C_{2}$ und hat 12 Elemente.

Nicht reduzierte Wurzelsysteme

Ist $R$ ein Wurzelsystem, so ist $R':=\{\alpha \in R\mid {\frac {1}{2}}\alpha \not \in R\}$ ein reduziertes Wurzelsystem und fällt daher unter obige Klassifikation. Da die Weylgruppe ein Fundamentalsystem $\Pi$ von $R'$ nach ganz $R'$ transportiert, ist $R$ vollständig charakterisiert, wenn man weiß, für welche $\alpha \in \Pi$ auch $2\alpha \in R$ gilt.

Sei $\alpha \in \Pi$ mit $2\alpha \in R$. Ist $\beta \in \Pi$ eine weitere Fundamentalwurzel, so folgt $(2\alpha )^{\vee }\beta ={\frac {1}{2}}\cdot \alpha ^{\vee }\beta$ und $\beta ^{\vee }(2\alpha )=2\cdot \beta ^{\vee }\alpha$. Sofern $\alpha$ und $\beta$ im Dynkin-Diagramm direkt verbunden sind, so ist dies nur möglich, falls $\alpha ^{\vee }\beta =\beta ^{\vee }(2\alpha )=-2$ und $(2\alpha )^{\vee }\beta =\beta ^{\vee }(\alpha )=-1$ gilt. Dann muss $\alpha$ der Endknoten eines $B_{n}$-Diagramms sein (inklusive dem Fall $n=1$).

Es ergibt sich also gegenüber den reduzierten Wurzelsystemen nur ein Zusatzfall:

B_n∪C_n

Betrachte im $\mathbb {R} ^{n}$ alle Vektoren der Form $\pm e_{i}$ oder $\pm 2e_{i}$ mit $1\leq i\leq n$ oder $\pm e_{i}\pm e_{j}$ mit $1\leq i<j\leq n$. Dies ist ein Wurzelsystem vom Typ $B_{n}\cup C_{n}$ mit $2n^{2}+2n$ Wurzeln, je $2n$ der Länge 1 bzw. 2 und $2n^{2}-2n$ der Länge ${\sqrt {2}}$. Ein Fundamentalsystem besteht aus $e_{1}-e_{2},e_{2}-e_{3},\ldots ,e_{n-1}-e_{n},e_{n}$, also einem Fundamentalsystem des enthaltenen $B_{n}$.

Die Weylgruppe ist die des enthaltenen $B_{n}$ bzw. $C_{n}$, d.h. $W\cong C_{2}^{n}\rtimes S_{n}$ und hat $2^{n}\cdot n!$ Elemente.

Wikipedia-Verweis

• Wurzelsystem