Beweisarchiv: Mengenlehre: Charakteristikum unendlicher Mengen

In einer Arbeit aus dem Jahre 1952 behandelt der Mathematiker Jürgen Schmidt die Frage, wie sich die in der Algebra auftretenden Hüllenoperatoren und die zugehörigen Hüllensysteme ordnungs- und mengentheoretisch beschreiben lassen. Er formuliert dabei den folgenden Hauptsatz über algebraische Hüllensysteme:

Ein Hüllensystem ist algebraisch genau dann, wenn es induktiv ist.

Bei der Herleitung dieses Hauptsatzes benutzt er an entscheidender Stelle den folgenden Hilfssatz:

Jede unendliche Menge $P$ ist darstellbar als Vereinigungsmenge einer Inklusionskette ${\mathcal {K}}$, deren Mengen $K\in {\mathcal {K}}$ allesamt eine Mächtigkeit haben, welche stets echt kleiner ist als die Mächtigkeit von $P$ selbst.

Dieser Hilfssatz ist, wie sich zeigen lässt und was hier gezeigt wird, auf direktem Wege unter Anwendung des zornschen Lemmas herleitbar.

Beweisschritt I

Wir setzen

$\Sigma :=\{S\subseteq P:|S|<|P|\}$

und zeigen, dass die teilweise geordnete Menge $(\Sigma ,\subseteq )$ nicht induktiv ist.

Nimmt man nämlich – im Widerspruch dazu! – die Induktivität von $(\Sigma ,\subseteq )$ als gegeben an, so folgt durch Anwendung des zornschen Lemmas, dass es in $\Sigma$ ein maximales Element $M$ geben muss. Wegen $|M|<|P|$ muss dann auch $M\subsetneq P$ gelten und man hat ein Element $p\in {P\setminus M}$. Aus Maximalitätsgründen folgt $|M\cup \{p\}|=|P|$. Also ist auch $M$ unendlich und man gewinnt die Gleichung $|M|=|M|+1=|M\cup \{p\}|=|P|$. Damit gilt $|M|<|P|$ und zugleich $|M|=|P|$, was in sich widersprüchlich ist.

Beweisschritt II

Es ist also $(\Sigma ,\subseteq )$ nicht induktiv und damit gibt es eine $\subseteq$-Kette ${\mathcal {L}}$, welche die Gleichung

$|{\bigcup {\mathcal {L}}}|=|P|$

erfüllt. Es existiert folglich eine bijektive Abbildung $f\colon {\bigcup {\mathcal {L}}}\to P$.

Zu diesem setzen wir nun

${\mathcal {K}}:=\{f(L):L\in {\mathcal {L}}\}$

Hierzu gilt nun

1. $\forall L\in {\mathcal {L}}:|f(L)|=|L|<|P|$

und

2. $\bigcup {\mathcal {K}}=\bigcup _{L\in {\mathcal {L}}}{f(L)}=f\left(\bigcup _{L\in {\mathcal {L}}}{L}\right)=P$

und alles ist gezeigt.

Charakteristische Eigenschaft

Dass der genannte Hilfssatz tatsächlich eine charakteristische Eigenschaft unendlicher Mengen angibt, also für eine endliche Menge $F$ nie gilt, sieht man wie folgt:

Für eine solche endliche Menge $F$ ist stets auch die Potenzmenge $2^{F}$ endlich. Folglich gilt dies auch für jede Inklusionskette von echten $F$-Teilmengen. Somit wird man als Vereinigungsmenge einer solchen stets nur die größte der in dieser Inklusionskette enthaltenen $F$-Teilmengen erhalten, welche gemäß Voraussetzung von einer Mächtigkeit echt kleiner als die der endlichen Menge $F$ selbst sein muss.

Literatur

• Jürgen Schmidt: Über die Rolle der transfiniten Schlussweisen in einer allgemeinen idealtheorie. In: Mathematische Nachrichten. 7, S. 165–182.