Beweisarchiv: Mengenlehre: Charakteristikum unendlicher Mengen

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In einer Arbeit aus dem Jahre 1952 behandelt der Mathematiker Jürgen Schmidt die Frage, wie sich die in der Algebra auftretenden Hüllenoperatoren und die zugehörigen Hüllensysteme ordnungs- und mengentheoretisch beschreiben lassen. Er formuliert dabei den folgenden Hauptsatz über algebraische Hüllensysteme:[1]

Ein Hüllensystem ist algebraisch genau dann, wenn es induktiv ist.

Bei der Herleitung dieses Hauptsatzes benutzt er an entscheidender Stelle den folgenden Hilfssatz:[2]

Jede unendliche Menge ist darstellbar als Vereinigungsmenge einer Inklusionskette[3] , deren Mengen allesamt eine Mächtigkeit haben, welche stets echt kleiner ist als die Mächtigkeit von selbst.

Dieser Hilfssatz ist, wie sich zeigen lässt und was hier gezeigt wird, auf direktem Wege unter Anwendung des zornschen Lemmas herleitbar.

Beweisschritt I[Bearbeiten]

Wir setzen

und zeigen, dass die teilweise geordnete Menge nicht induktiv ist.

Nimmt man nämlich – im Widerspruch dazu! – die Induktivität von als gegeben an, so folgt durch Anwendung des zornschen Lemmas, dass es in ein maximales Element geben muss. Wegen muss dann auch gelten und man hat ein Element . Aus Maximalitätsgründen folgt . Also ist auch unendlich und man gewinnt die Gleichung . Damit gilt und zugleich , was in sich widersprüchlich ist.

Beweisschritt II[Bearbeiten]

Es ist also nicht induktiv und damit gibt es eine -Kette , welche die Gleichung

erfüllt. Es existiert folglich eine bijektive Abbildung .

Zu diesem setzen wir nun

Hierzu gilt nun

1.

und

2.

und alles ist gezeigt.

Charakteristische Eigenschaft[Bearbeiten]

Dass der genannte Hilfssatz tatsächlich eine charakteristische Eigenschaft unendlicher Mengen angibt, also für eine endliche Menge nie gilt, sieht man wie folgt:

Für eine solche endliche Menge ist stets auch die Potenzmenge endlich. Folglich gilt dies auch für jede Inklusionskette von echten -Teilmengen. Somit wird man als Vereinigungsmenge einer solchen stets nur die größte der in dieser Inklusionskette enthaltenen -Teilmengen erhalten, welche gemäß Voraussetzung von einer Mächtigkeit echt kleiner als die der endlichen Menge selbst sein muss.

Literatur[Bearbeiten]

  • Jürgen Schmidt: Über die Rolle der transfiniten Schlussweisen in einer allgemeinen idealtheorie. In: Mathematische Nachrichten. 7, S. 165–182.

Einzelnachweise und Fußnoten[Bearbeiten]

  1. Jürgen Schmidt: Über die Rolle der transfiniten Schlussweisen in einer allgemeinen Idealtheorie., Math. Nachr. 7, S. 174
  2. Schmidt, op. cit., S. 173
  3. ist also ein durch die Inklusionsrelation streng geordnetes Mengensystem.