Beweisarchiv: Zahlentheorie: Elementare Zahlentheorie: Vollständige Additivität der p-adischen Exponentenbewertung

Es gilt $v_{p}(a\cdot b)=v_{p}(a)+v_{p}(b)$ für alle natürlichen $a$ und $b$, weshalb die p-adische Exponentenbewertung als vollständig additiv bezeichnet wird.

Beweis

Seien $a$ und $b$ natürliche Zahlen, so existieren folgende Primfaktorzerlegungen:

$a=\prod _{p\in \mathbb {P} }p^{v_{p}(a)}$

$b=\prod _{p\in \mathbb {P} }p^{v_{p}(b)}$

Nun bildet man das Produkt und zeigt damit, dass die Bewertungsfunktion vollständig additiv ist:

$a\cdot b=\prod _{p\in \mathbb {P} }p^{\overset {v_{p}(a\cdot b)}{\overbrace {v_{p}(a)+v_{p}(b)} }}$