CPRT.I.A.06

CPRT.I.A

06 Differentiale in den natürlichen Variablen der freien Energie

$\qquad$	$dF$	$=$	$-$	$S\,dT$	$-$	$p\,dV$	$+$	$\mu \,dN$	$\qquad (T,V,N)\qquad$
$\qquad$	$dG$	$=$	$-$	$S\,dT$	$+$	$V\,dp$	$+$	$\mu \,dN$	$\qquad (T,p,N)\qquad$
$\qquad$	$dG$	$=$	$-$	$\left[S-V{\frac {\partial S}{\partial V}}\right]\,dT$	$+$	$V{\frac {\partial p}{\partial V}}\,dV$	$+$	$\left[\mu -V{\frac {\partial \mu }{\partial V}}\right]\,dN$	$\qquad (T,V,N)\qquad$
$\qquad$	$dU$	$=$	$+$	$T\,dS$	$-$	$p\,dV$	$+$	$\mu \,dN$	$\qquad (S,V,N)\qquad$
$\qquad$	$dU$	$=$	$+$	$T{\frac {\partial S}{\partial T}}\,dT$	$-$	$\left[p-T{\frac {\partial p}{\partial T}}\right]\,dV$	$+$	$\left[\mu -T{\frac {\partial \mu }{\partial T}}\right]\,dN$	$\qquad (T,V,N)\qquad$
$\qquad$	$dH$	$=$	$+$	$T\,dS$	$+$	$V\,dp$	$+$	$\mu \,dN$	$\qquad (S,p,N)\qquad$
$\qquad$	$dH$	$=$	$-$	$\left[S-T{\frac {\partial S}{\partial T}}-V{\frac {\partial S}{\partial V}}\right]\,dT$	$-$	$\left[p-T{\frac {\partial p}{\partial T}}-V{\frac {\partial p}{\partial V}}\right]\,dV$	$+$	$\left[\mu -T{\frac {\partial \mu }{\partial T}}-V{\frac {\partial \mu }{\partial V}}\right]\,dN$	$\qquad (T,V,N)\qquad$

Übung a

Mit $F(T,V),G(T,p)$ : $dF=dG-p\,dV-V\,dp$, $-\partial p(T,V)/\partial T$, $+\partial V(T,p)/\partial T$ wie Übung 3.3.1a.

Übung b

Mit $F(T,V),U(S,V)$ : $dF=dU-T\,dS-S\,dT$, $-\partial S(T,V)/\partial V$, $+\partial T(S,V)/\partial V$ wie Übung 3.3.1a.

Übung c

Mit $F(T,V),H(S,p)$ : $dF=dH-T\,dS-S\,dT-p\,dV-V\,dp$, $-\partial S(T,V)/\partial V$, $+\partial T(S,p)/\partial p$, $-\partial p(T,V)/\partial T$, $+\partial V(S,p)/\partial S$ wie Übung 3.3.1a.

06 Differentiale in den natürlichen Variablen der freien Energie

$\qquad$	$dF$	$=$	$-$	$S\,dT$	$-$	$p\,dV$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$
$(3.3.3.1)\qquad$	$dF(T,V)$	$=$	$-$	$(S-\,0)\,dT$	$-$	$(p-\,0)\,dV$	$=$	$dF(T,V)$
$\qquad$	$dG$	$=$	$-$	$S\,dT$	$+$	$V\,dp$	$=$	$0$
$\qquad$	$dG$	$=$	${\displaystyle }$	$d(F-(-\,p\,V))$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$	$=$	$0$
$\qquad$	$dG$	$=$	${\displaystyle }$	$dF+\,p\,dV+\,V\,dp$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$	$=$	$0$
$(3.3.3.2)\qquad$	$dG(T,p)$	$=$	$-$	$\left[S-V{\frac {\partial S}{\partial V}}\right]\,dT$	$-$	$\left(0-V{\frac {\partial p}{\partial V}}\right)\,dV$	$=$	$dG(T,V)=0$
$(3.3.3.3)\qquad$	$dG+(-\,p\,dV)$	$=$	$-$	$\left[S-V{\frac {\partial S}{\partial V}}\right]\,dT$	$-$	$\left[p-V{\frac {\partial p}{\partial V}}\right]\,dV$	$=$	$dF+\,V\,dp$
$(3.3.3.4)\qquad$	$dG-(-\,S\,dT)$	$=$	$-$	$\left(0-V{\frac {\partial S}{\partial V}}\right)\,dT$	$-$	$\left(0-V{\frac {\partial p}{\partial V}}\right)\,dV$	$=$	$+\,V\,dp(T,V)$
$\qquad$	$dU$	$=$	$+$	$T\,dS$	$-$	$p\,dV$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$
$\qquad$	$dU$	$=$	${\displaystyle }$	$d(F+(+\,T\,S))$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$
$\qquad$	$dU$	$=$	${\displaystyle }$	$dF+\,T\,dS+\,S\,dT$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$
$(3.3.3.5)\qquad$	$dU(S,V)$	$=$	$-$	$\left(0-T{\frac {\partial S}{\partial T}}\right)\,dT$	$-$	$\left[p-T{\frac {\partial p}{\partial T}}\right]\,dV$	$=$	$dU(T,V)$
$(3.3.3.6)\qquad$	$dU+(-\,S\,dT)$	$=$	$-$	$\left[S-T{\frac {\partial S}{\partial T}}\right]\,dT$	$-$	$\left[p-T{\frac {\partial p}{\partial T}}\right]\,dV$	$=$	$dF+\,T\,dS$
$(3.3.3.7)\qquad$	$dU-(-\,p\,dV)$	$=$	$-$	$\left(0-T{\frac {\partial S}{\partial T}}\right)\,dT$	$-$	$\left(0-T{\frac {\partial p}{\partial T}}\right)\,dV$	$=$	$+\,T\,dS(T,V)$
$\qquad$	$dH$	$=$	$+$	$T\,dS$	$+$	$V\,dp$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$
$\qquad$	$dH$	$=$	$+$	$d(F+(+\,T\,S)-(-\,p\,V))$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$
$\qquad$	$dH$	$=$	${\displaystyle }$	$dF+\,T\,dS+\,S\,dT+\,p\,dV+\,V\,dp$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$
$(3.3.3.8)\qquad$	$dH(S,p)$	$=$	$-$	$\left(0-T{\frac {\partial S}{\partial T}}-V{\frac {\partial S}{\partial V}}\right)\,dT$	$-$	$\left(0-T{\frac {\partial p}{\partial T}}-V{\frac {\partial p}{\partial V}}\right)\,dV$	$=$	$dH(T,V)$
$(3.3.3.9)\qquad$	$dH+(-\,S\,dT-\,p\,dV)$	$=$	$-$	$\left[S-T{\frac {\partial S}{\partial T}}-V{\frac {\partial S}{\partial V}}\right]\,dT$	$-$	$\left[p-T{\frac {\partial p}{\partial T}}-V{\frac {\partial p}{\partial V}}\right]\,dV$	$=$	$dF+\,T\,dS+\,V\,dp$
$(3.3.3.10)\qquad$	$dH-(+\,T\,dS+\,V\,dp)$	$=$	$-$	$\left(0-T{\frac {\partial S}{\partial T}}-V{\frac {\partial S}{\partial V}}\right)\,dT$	$-$	$\left(0-T{\frac {\partial p}{\partial T}}-V{\frac {\partial p}{\partial V}}\right)\,dV$	$=$	$dF+\,S\,dT+\,p\,dV=0$

Übung a

Mit Gl.(3.3.3.2) wie Übung (3.3.1.a).

Übung b

Mit Gl.(3.3.3.2) wie Übung (3.3.1.b).

Übung c

Mit Gl.(3.3.3.4) wie Übung (3.3.1.c).

Übung d

Mit $F=G+(-\,p\,V)=G-\,p\,V$ : $d(-\,p\,V)=-\,p\,dV-\,V\,dp$, $dF+\,V\,dp=dG+(-\,p\,dV))$, $-\partial p(T,V)/\partial T$, $+\partial V(T,p)/\partial T$ wie Übung 3.3.1a.

Übung e

Mit Gl.(3.3.3.5) wie Übung (3.3.1.a).

Übung f

Mit Gl.(3.3.3.5) wie Übung (3.3.1.b).

Übung g

Mit Gl.(3.3.3.7) wie Übung (3.3.1.c).

Übung h

Mit $F=U-(+\,T\,S)=U-\,T\,S$ : $d(+\,T\,S)=+\,T\,dS+\,S\,dT$ ,$dF=d(U-\,T\,S)=dU-T\,dS-S\,dT$, $-\partial S(T,V)/\partial V$, $+\partial T(S,V)/\partial V$ wie Übung 3.3.1a.

Übung i

Mit Gl.(3.3.3.8) wie Übung (3.3.1.a).

Übung j

Mit Gl.(3.3.3.8) wie Übung (3.3.1.b).

Übung k

Mit Gl.(3.3.3.10) wie Übung (3.3.1.c).

Übung l

Mit $F=H-(+\,T\,S)+(-\,p\,V)=H-T\,S-\,p\,V$ : $dF=dH-T\,dS-S\,dT-p\,dV-V\,dp$, $-\partial S(T,V)/\partial V$, $+\partial T(S,p)/\partial p$, $-\partial p(T,V)/\partial T$, $+\partial V(S,p)/\partial S$ wie Übung 3.3.1a.

Übung m

Wie viele Differentiale können wir in der Gleichung für das totale Differential der freien Enthalpie $dG=-\,S\,dT+\,V\,dp=0$ unabhängig voneinander verändern. Wieviel unabhängige Variablen, wieviel Freiheitsgrade, hat ein ideales Gas? Welcher Term fehlt in der Gleichung für das totale Differential der freien Enthalpie und warum sind die Formeln für dF, dG, dU und dH im (T,V,N)-Koordinatensystem trotzdem richtig?