Collatzfolgen und Schachbrett: Zahlenfolgen in anderen Zahlensystemen
| 4. Zahlenfolgen in anderen Zahlensystemen 4.1 Bemerkungen zum Dezimalsystem |
4.1 Bemerkungen zum Dezimalsystem
[Bearbeiten]Im täglichen Leben verwenden wir das Dezimalsystem mit folgenden Eigenschaften:
- Es gibt die zehn Ziffern von 0 bis 9.
- Von rechts nach links steigt der Stellenwert der einzelnen Ziffern, beginnend mit 1, jeweils um den Faktor 10.
- Eine Multiplikation einer Zahl mit 10 oder einer anderen Zehnerpotenz bedeutet das Anhängen von einer oder mehreren Nullen an diese Zahl.
- Beispiel: 3245
- Die 5 hat den Stellenwert 1 und den Wert 5.
- Die 4 hat den Stellenwert 10 und den Wert 40.
- Die 2 hat den Stellenwert 100 und den Wert 200.
- Die 3 hat den Stellenwert 1000 und den Wert 3000.
- Insgesamt hat die Zahl also den Wert 3000 + 200 + 40 + 5 = 3245.
- Eine Division einer Zahl durch 10 oder durch eine andere Zehnerpotenz bedeutet das Abschneiden von einer oder mehreren Nullen am rechten Ende dieser Zahl.
- Beispiel: 3245000
- Dividiert man die Zahl durch 10, so erhält man 324500.
- Dividiert man die Zahl durch 100, so erhält man 32450.
- Dividiert man die Zahl durch 1000, so erhält man 3245.
- Eine Zahl ist durch 3 bzw. durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 bzw. durch 9 teilbar ist.
4.2 Dual- oder Zweiersystem
[Bearbeiten]Im Zweiersystem haben wir folgende Eigenschaften:
- Es gibt nur die Ziffern 0 und 1
- Von rechts nach links steigt der Stellenwert der einzelnen Ziffern, beginnend mit 1, jeweils um den Faktor 2.
- Beispiel: 11001
- Die rechte 1 hat den Stellenwert 1 und den Wert 1.
- Die folgende 0 hat den Stellenwert 2 und den Wert 0.
- Die zweite 0 hat den Stellenwert 4 und den Wert 0.
- Die folgende 1 hat den Stellenwert 8 und den Wert 8.
- Die linke 1 hat den Stellenwert 16 und den Wert 16.
- Insgesamt hat die Zahl also (in dezimaler Schreibweise) den Wert 16 + 8 + 1 = 25.
- Die Multiplikation einer Zahl mit 2, 4 oder einer anderen Zweierpotenz bedeutet das Anhängen von einer, zwei oder mehren Nullen an die Zahl.
- Multipliziert man die Zahl 11001 mit 2, so erhält man 110010.
- Multipliziert man die Zahl 11001 mit 4, so erhält man 1100100 usw.
- Da eine Zahl mit einer 1 an der letzten Stelle nicht durch zwei zu teilen ist („Abschneiden“ einer 0 – Umkehrung der Multiplikation), muss sie also ungerade sein.
Eine Multiplikation mit 3 muss im Zweiersystem also folgendermaßen erfolgen: z · 3 = z · (2 + 1) = z · 2 + z
Rechenbeispiel für z = 1101
1101·10 (z·3) = 11010 (2z) + 1101 (+z) = 100111 (3z)
Addiert man hierzu noch 1, so erhält man 101000. Diese beiden Teilschritte sind für einen M-Schritt notwendig. Außerdem erkennt man sofort, dass man drei D-Schritte anschließen kann, da die Zahl drei endständige Nullen enthält.
4.3 Dreiersystem
[Bearbeiten]Im Dreiersystem haben wir folgende Eigenschaften:
- Es gibt nur die Ziffern 0, 1 und 2.
- Von rechts nach links steigt der Stellenwert der einzelnen Ziffern, beginnend mit 1, jeweils um den Faktor 3.
- Beispiel: 1021
- Die rechte 1 hat den Stellenwert 1 und den Wert 1.
- Die folgende 2 hat den Stellenwert 3 und den Wert 6.
- Die 0 hat den Stellenwert 9 und den Wert 0.
- Die linke 1 hat den Stellenwert 27 und den Wert 27.
- Insgesamt hat die Zahl also (in dezimaler Schreibweise) den Wert 27 + 6 + 1 = 34.
- Multipliziert man die Zahl 1021 mit 3, so erhält man 10210 (eine Null angehängt).
Multipliziert man die Zahl 1021 mit 9, so erhält man 102100 (zwei Nullen angehängt), usw.
Frage 1: Wie erkennt man, ob eine solche Zahl im Dreiersystem durch 2 teilbar ist?
Frage 2: Wie teilt man im Dreiersystem eine Zahl durch zwei?
(Antworten siehe Anhang)