Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung: Problemstellung, Atommodelle und Potentialtöpfe

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Das Bohr’sche Atommodell

Louis de Broglie (1892–1987)

Niels Bohr (1885–1962)

Nachdem entdeckt worden war, dass Atome nicht nur einfach kleine Kügelchen sind, sondern ihrerseits weitere Kügelchen – Elektronen, Protonen und Neutronen – enthalten, galt es Theorien über die Gesetzmäßigkeiten der Vorgänge innerhalb eines Atoms aufzustellen. Durch die Rutherford’schen Streuversuche wurde bekannt, dass die Atomkerne nur einen geringen Volumen-, aber einen großen Massenanteil des Atoms ausmachen. Dabei besteht der Atomkern lediglich aus Protonen und Neutronen, die Hülle aus Elektronen. Hierbei entsteht jedoch die Frage, warum Atome stabil sind; warum ziehen die Protonen die Elektronen nicht derart an, dass sie in den Kern fallen?

Als Grundlage muss genannt werden, dass nach Louis de Broglie Elektronen – wie alle Materie – auch Welleneigenschaften besitzen und ihnen die Wellenlänge $\lambda =h/p$ werden kann, wobei $p$ der Impuls und $h$ das Planck’sche Wirkungsquantum ist.

Der Däne Niels Bohr verglich das Atom mit dem Sonnensystem; die Elektronen sollten in Kreisbahnen um den Atomkern fliegen, wie Planeten um die Sonne. Während letztere von der Gravitationskraft $F_{g}=\gamma m_{1}m_{2}/r^{2}$ angezogen werden, sollten Elektronen von der Coulumbkraft angezogen werden:

$F_{C}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r^{2}}}$

Sie erzeugt die für die Kreisbahn nötige Zentripetalkraft $F_{Z}=mv^{2}/r$, es sollte $F_{C}=F_{Z}$ gelten. Nach Bohr kann den Elektronen offensichtlich eine bestimmte Bahngeschwindigkeit $v$ zugeordnet werden. Bewegte Ladung, wie sie ein sich um den Kern bewegendes Elektron darstellt, erzeugt jedoch ein Magnetfeld; es müsste ständig Energieabstrahlen und auf einer Spiralbahn nach kurzer Zeit in den Kern stürzen. Um dieses Problem zu umgehen, erließ Bohr drei „Gebote“.

Die folgenden Überlegungen betreffen zunächst insbesondere das einfachste Element: das Wasserstoffatom, bestehend aus einem Proton und einem Neutron.

Zunächst sollen nur bestimmte Bahnen erlaubt sein, nämlich solche, deren Umfang $2\pi r$ einem Vielfachen der de Broglie-Wellenlänge $\lambda$ entsprechen:

$2\pi r=n\lambda =n{\frac {h}{p}}=n{\frac {h}{mv}}\qquad \Leftrightarrow \qquad v={\frac {nh}{2\pi rm}};\qquad n\in \mathbb {N} ^{+}$

Für die erlaubten Radien $r_{n}$ ergibt sich daraus mit der Gleichung $F_{C}=F_{Z}$ (mit $Q_{1}Q_{2}=e^{2}$, da Elektronen und Protonen gleich geladen sind):

${\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r^{2}}}={\frac {mv^{2}}{r}}\qquad \Leftrightarrow \qquad {\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {e^{2}}{r}}=mv^{2}\qquad \Leftrightarrow \qquad$ ${\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {e^{2}}{r}}=m{\frac {n^{2}h^{2}}{4\pi ^{2}r^{2}m^{2}}}\qquad \Leftrightarrow \qquad {\frac {e^{2}}{\varepsilon _{0}}}={\frac {n^{2}h^{2}}{\pi rm}}\qquad \Leftrightarrow \qquad r_{n}={\frac {\varepsilon _{0}n^{2}h^{2}}{\pi me^{2}}};\qquad n\in \mathbb {N} ^{+}$

Den kleinsten Radius erhält man für $n=1$ zu $r_{1}\approx 0,053\,\mathrm {nm}$; er wird Bohr’scher Radius $a_{0}$ genannt. Auch die Geschwindigkeiten sind diskret verteilt. Setzt man in die obere Formel $v=nh/(2\pi rm)$ die Formel für den Radius ein, erhält man:

$v_{n}={\frac {nh}{2\pi {\frac {\varepsilon _{0}n^{2}h^{2}}{\pi me^{2}}}m}}={\frac {e^{2}}{2\varepsilon _{0}nh}};\qquad n\in \mathbb {N} ^{+}$

Befindet sich ein Elektron in der $n$-ten Bahn mit dem Radius $r_{n}$ und der Geschwindigkeit $v_{n}$, spricht man davon, es befinde sich im $n$-ten Zustand.

Ein zweites Gebot verbietet unbegründet den sich bewegenden Elektronen ständig Energie abzustrahlen.

Als drittes Gebot ist es nach Bohr nun möglich, das Elektronen die Bahnen, also die Zustände, wechseln. Wird ein Elektron auf einen höheren Zustand $n_{2}>n_{1}$ angehoben, bewegt es sich entgegen der Anziehungskraft des Kernes ($r_{2}>r_{1}$); dem Elektron muss also Energie zugeführt werden. Es verringert zwar auch seine Geschwindigkeit und damit seine kinetische Energie, aber dennoch muss mehr Energie investiert werden, als frei wird. Fällt das Elektron in einen niedrigeren Zustand, wird Energie in Form von elektromagnetischer Strahlung frei. Die bestimmten Energiedifferenzen zweier Zustände erklären die bestimmten Spektrallinien, da die Frequenz bzw. Wellenlänge von elektromagnetischer Strahlung über $W=hf$ von der Energie abhängt.

Welche Energien haben Elektronen in verschiedenen Zuständen? Die Gesamtenergie des Elektrons auf seiner Bahn berechnet sich nach Bohr durch die Summe aus kinetischer und potentieller Energie. Sie ist abhängig vom Radius $r$. Für die kinetische Energie benötigt man das Quadrat der Geschwindigkeit, das sich aus obiger Gleichung von Coulomb- und Zentripetalkraft ergibt (mit $Q_{1}Q_{2}=e^{2}$):

${\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {e^{2}}{r^{2}}}={\frac {mv^{2}}{r}}\qquad \Leftrightarrow \qquad v^{2}={\frac {e^{2}}{4\pi m\epsilon _{0}r}}$

Für die potentielle Energie gilt $W_{pot}=Fr$, wobei an dieser Stelle integriert werden muss, da $F$ für verschiedene Radien nicht konstant ist, sondern für größere Radien abnimmt:

$W(r)=W_{kin}(r)+W_{pot}(r)={\frac {1}{2}}mv^{2}+\int F\,dr={\frac {1}{2}}m{\frac {e^{2}}{4\pi m\varepsilon _{0}r}}+\int {\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {1}{r^{2}}}\,dr$ $={\frac {e^{2}}{8\pi \varepsilon _{0}r}}+{\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {1}{r^{2}}}\,dr={\frac {e^{2}}{8\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {1}{r}}-{\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {1}{r}}={\frac {e^{2}}{\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {1}{r}}\left({\frac {1}{8}}-{\frac {1}{4}}\right)=-{\frac {1}{8}}{\frac {e^{2}}{\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {1}{r}}$

Setzt man nun die erlaubten Radien $r_{n}$ ein, erhält man:

$W_{n}=-{\frac {1}{8}}{\frac {e^{2}}{\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {1}{\frac {\varepsilon _{0}n^{2}h^{2}}{\pi me^{2}}}}=-{\frac {me^{4}}{8\varepsilon _{0}^{2}n^{2}h^{2}}}$

Diese Energie ist negativ, weil man den Nullpunkt der potentiellen Energie für einen unendlich weit entfernten Radius festgelegt hat; je geringer der Radius, desto geringer die potentielle Energie, daher muss sie negativ sein.

Potentialtöpfe

Potentialfunktion bei einem Wasserstoffatom

Entfernen sich Elektronen vom Atomkern, gewinnen sie an potentieller Energie; die Energie ist vom Radius abhängig. Die potentielle Energie erhält man über den Zusammenhang $W_{pot}=F_{C}\Delta r$ mit der Coulomb-Kraft $F_{C}$ und der Radiusdifferenz $\Delta r$. Da die Kraft für verschiedene Radien nicht konstant ist, sondern für größere Radien abnimmt, muss Integriert werden (wie bereits im obigen Abschnitt):

$W_{pot}=\int F_{C}\,dr=\int {\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r^{2}}}\,dr={\frac {Q_{1}Q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {1}{r^{2}}}\,dr=-{\frac {Q_{1}Q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {1}{r}}=-{\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {1}{r}}$

Die Funktion der potentiellen Energie $W_{pot}(r)$ sieht also in etwa aus, wie abgebildet. Die Verschiebung der Funktion entlang der $y$-Achse ist dabei prinzipiell willkürlich. Es ist allerdings die einzig markante, „sinnvolle“ Position, wenn sie sich von unten der $x$-Achse asymptotisch annähert. Offensichtlich ist die potentielle Energie des Elektrons umso geringer, je kleiner der Abstand zum Proton im Kern ist. Befindet sich das Elektron in einem Radius $r_{1}$, so muss eine bestimmte Energie aufgewendet werden, um das Elektron vom Kern zu lösen. Dies ist dann erreicht, wenn das Elektron eine positive potentielle Energie hat; dann „fliegt“ es aus diesem Potentialtopf. (Es soll hier direkt auf das Wasserstoffatom eingegangen werden, daher auch $Q_{1}Q_{2}=e^{2}$, für andere Atome ist der Sachverhalt ähnlich.)

Einfacher Potentialtopf

Beispielhafter Versuchsaufbau für obigen Potentialverlauf

Es sind auch andere Potentialfunktionen denkbar. Zur Vereinfachung wird die Schrödinger-Gleichung hier zunächst auf einen einfachen Potentialverlauf angewendet werden. Er hat für $x<a$ und $x>b$ einen endlichen Wert $g$ und ist für $a<x<b$ null. Ein solcher Potentialverlauf könnte beispielsweise durch zwei Kondensatoren („Elektronenspiegel“) bewerkstelligt werden, deren Platten parallel ausgerichtet sind. Dabei sind die negativ geladenen Platten außen, die positiv geladenen innen. Letztere haben Löcher, um den Elektronen das Durchqueren der Platte zu ermöglichen. Zwischen den Kondensatoren (weißer Bereich) wirkt dann keine Kraft auf die Elektronen, deren potentielle Energie ist null. Sobald sie aber durch die Löcher zwischen die Kondensatorplatten fliegen, werden sie vom elektrischen Feld zurückgedrängt; dort haben die Elektronen potentielle Energie. Nur wenn ihre kinetische Energie so groß ist, dass sie das elektrische Feld überwinden können, können sie dem Potentialtopf entfliehen. Dazu muss die kinetische Energie größer als $g$ sein. Es gilt also $g=eEd$, mit der Elementarladung $e$ (für Elektronen), der elektrischen Feldstärke $E$ und dem Plattenabstand $d$.

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