Dirk Hünniger/jan

Sei $\mathbb {K}$ ein Körper.

Sei $V$ ein Vektorraum über $\mathbb {K}$.

$V$ habe die Dimension $n$

Sei $f:V\rightarrow V$ ein Endomorphismus

Sei $\left\{v_{1},...,v_{n}\right\}$ eine Basis von $V$.

Sei $\left\{w_{1},...,w_{n}\right\}$ eine weitere Basis von $V$.

Sei $\left\{e_{1},...,e_{n}\right\}$ die kanonische Basis des $\mathbb {K^{n}}$

Sei $\Phi _{v}:\mathbb {K} ^{n}\rightarrow V$ der durch

$\Phi _{v}(e_{i})=v_{i}$ für $i\in \{1,...,n\}$ definierte Isomorphismus.

Analog sei $\Phi _{w}$ für die Basis $\left\{w_{1},...,w_{n}\right\}$ definiert.

Ferner gelte $\Phi _{w}^{-1}f\Phi _{w}=\Phi _{v}^{-1}f\Phi _{v}$ für alle beliebigen Basen $\left\{v_{1},...,v_{n}\right\}$ und $\left\{w_{1},...,w_{n}\right\}$

Sei nun $i\in \{1..n\}$. Es gilt $f(v_{i})\in V$. Da $\left\{v_{1},...,v_{n}\right\}$ eine Basis von $V$ ist, gibt es für $j\in \{1,..n\}$ Konstanten $\lambda _{ij}$ mit:

$f(v_{i})=\sum _{j=1}^{n}\lambda _{ij}v_{j}$

Analog gibt es Konstanten $\mu _{ij}$ mit

$f(w_{i})=\sum _{j=1}^{n}\mu _{ij}w_{j}$

Es gilt:

${\begin{matrix}&&\Phi _{w}^{-1}\left(f\left(\Phi _{w}\left(e_{i}\right)\right)\right)&=&\Phi _{v}^{-1}\left(f\left(\Phi _{v}\left(e_{i}\right)\right)\right)\\&\Rightarrow &\Phi _{w}^{-1}\left(f\left(w_{i}\right)\right)&=&\Phi _{v}^{-1}\left(f\left(v_{i}\right)\right)\\&\Rightarrow &\Phi _{w}^{-1}\left(\sum _{j=1}^{n}\mu _{ij}w_{j}\right)&=&\Phi _{v}^{-1}\left(\sum _{j=1}^{n}\lambda _{ij}v_{j}\right)\\&\Rightarrow &\sum _{j=1}^{n}\mu _{ij}\Phi _{w}^{-1}\left(w_{j}\right)&=&\sum _{j=1}^{n}\lambda _{ij}\Phi _{v}^{-1}\left(v_{j}\right)\\&\Rightarrow &\sum _{j=1}^{n}\mu _{ij}e_{j}&=&\sum _{j=1}^{n}\lambda _{ij}e_{j}\end{matrix}}$

Durch Koeffizientenvergleich ergibt sich $\mu _{ij}=\lambda _{ij}\forall i\in \{1..n\},j\in \{1..n\}$

Sei nun $\left\{w_{1},..,w_{n}\right\}$ definiert durch ${\begin{matrix}w_{1}&:=&v_{1}+v_{2},&\\w_{i}&:=&v_{i}&\forall i\in \{2..n\}\end{matrix}}$

Dann gilt:

${\begin{matrix}f\left(w_{1}\right)&=&\mu _{11}w_{1}+\mu _{12}w_{2}&=&\lambda _{11}w_{1}+\lambda _{12}w_{2}=\lambda _{11}\left(v_{1}+v_{2}\right)+\lambda _{12}v_{2}=\lambda _{11}v_{1}+\left(\lambda _{11}+\lambda _{12}\right)v_{2}\\f\left(w_{1}\right)&=&f\left(v_{1}+v_{2}\right)&=&f\left(v_{1}\right)+f\left(v_{2}\right)\\&=&\lambda _{11}v_{1}+\lambda _{12}v_{2}+\lambda _{21}v_{1}+\lambda _{22}v_{2}&=&\left(\lambda _{11}+\lambda _{21}\right)v_{1}+\left(\lambda _{12}+\lambda _{22}\right)v_{2}\end{matrix}}$

Durch Koeffizientenvergleich ergibt sich:

$\lambda _{21}=0$ und $\lambda _{11}=\lambda _{22}$.

Die Nebendiagonalelemente verschwinden also und auf der Diagonalen steht immer das selbe Element. Somit $f=\lambda \mathrm {Id} _{V}$