Diskussion:Beweisarchiv: Zahlentheorie: Elementare Zahlentheorie: Kleiner Satz von Fermat

Ganzzahligkeit der Binomialkoeffizienten

Sie ist ziemlich egal hier, man könnte den Satz genausogut in $\mathbb {Z} _{(p)}$ zeigen.--Gunther 09:31, 30. Mär 2006 (UTC)

Unverständlich

Dies kann ich nicht nachvollziehen. Falls die gesamte Berechung modulo p erfolgt, brauchen Vielfache von p nicht berücksichtigt werden. Die Binomialkoeffizienten, die ein Vielfache von p ergeben, brauchen daher nicht betrachtet werden.

Diese Überlegung gilt aber selbstverständlich nur für ganzzahlige Vielfache. Es ist folglich entscheidend, ob die Binomialkoeffizienten ganzzahlige Vielfache von p sind. Dies setzt zunächst einmal voraus, dass die Binomialkoeffizienten selbst ganzzahlig sind. In der Tat sind die Binomialkoeffizienten immer ganzzahlig. Aber nur dann, wenn p eine Primzahl ist sind die im Beweis aufgeführten Binomialkoeffizienten auch zwangsläufig ganzahlige Vielfache von p.

Eine Erklärung, was $\mathbb {Z} _{(p)}$ ist, findest Du in w:Lokalisierung (Algebra). Evtl. ist auch w:Bewertungstheorie hilfreich.--Gunther 22:51, 2. Apr 2006 (UTC)

Falls p keine Primzahl ist

Der kleine Satz von Fermat gilt nur für Primzahlen, daher kann er auch als Primzahlentest benutzt werden. Folglich muss in einen korrekten Beweis eingehen, das p als Primzahl vorausgesetzt ist. Der Faktor p taucht in den Binomialkoeffizienten auch auf, wenn p keine Primzahl ist. Auch in diesem Fall treten im Nenner nur Zahlen kleiner p auf. Diese Argumentation ist also offenbar nicht ausreichend. Da meine Änderungen aber wohl ohnehin rückgängig gemacht werden, werde ich es mal dabei belassen.

Dass es nicht um einen Faktor p in der Produktdarstellung, sondern nur um einen Primfaktor p geht, habe ich ja schon nach dem ersten Revert klargestellt.--Gunther 14:02, 30. Mär 2006 (UTC)

Beweis 2

Die neue Version ist zielstrebiger, aber mMn deshalb auch unklarer: Warum sollte man ausgerechnet nicht-einfarbige Ketten betrachten, wobei man durch Rotation (nicht Spiegelung!) auseinander hervorgehende Ketten als gleich ansieht? Es erscheint mir wesentlich günstiger, von einer vergleichsweise einfachen Fragestellung auszugehen (Ketten überhaupt) und erst dann das Problem "gleicher" Ketten anzugehen. Ansonsten stilistische Mängel (nachgeschobene Erklärung "Wobei es a verschiedene Farben gibt", Überrumpelung des Lesers und pseudomathematische Formulierung "sind alle Ketten […] als identische Ketten zu betrachten").--Gunther 11:26, 30. Mär 2006 (UTC)

Ok, ich versuche es nochmal etwas schöner zu formulieren. Franz Scheerer

Es darum zu zeigen das p ein Teiler von $a^{p}-a$ oder anders ausgedrückt ${\frac {a^{p}-a}{p}}$ eine ganze Zahl ist. Die Zahl der möglichen mehrfarbigen Ketten der Länge p ist offenbar eine ganze Zahl. Da diese Zahl der Möglichkeiten genau ${\frac {a^{p}-a}{p}}$ ist, hat man den Satz bewiesen. Franz Scheerer

Habe mir erlaubt, Deine Antwort zu verschieben. Es sollte erkennbar bleiben, welche Teile von wem stammen, am einfachsten immer unten antworten und unterschreiben. Danke.

Es ist halt unklar, wie man vom k.f.S. ausgerechnet auf mehrfarbige Ketten bis auf Rotation kommt. Die Fragestellung nach irgendwelchen Ketten hat zunächst nichts mit dem k.f.S. zu tun, ist aber nicht so weit hergeholt. Aber irgendwie habe ich den Eindruck, Du verstehst mich sowieso nicht.--Gunther 11:37, 31. Mär 2006 (UTC)

Gruppentheoretischer Alternativ-Beweis

Definiere: Menge P (1,2,...,p-2,p-1} mit p Prim, Verknüpfung ○: P^2 -> P mit (x,y) -> (x*y) mod p, dann ist (P,○) Gruppe.

Lagrange: Für a El. P gilt, dass die Ordnung und somit gleichzeitig auch Zykellänge der von a erzeugten zyklischen Untergruppe von P deren Ordnung p-1 teilt:

( z:=|<a>|, a El. P ) => ( a^(n*z)=a^0=1 und z|(p-1) ) => a^(p-1)=1

□

Bem.: P^2 bedeute P x P, also zwei bel. Elemente aus P, a^n bedeute a○a○...○a○a "n-mal" gemäß der definierten Verknüpfung, entspricht dann (a*a*...*a*a) mod p...

Mit dem binomischen Lehrsatz kann dann auch noch (n*p+a)^(p-1)=1 gezeigt werden...

Aber die Beweise im Artikel sind eh' viel besser, besonders das Perlenkettending...

--Vege Tarier 11:58, 29. Dez. 2016 (CET)

(umkopiert von Benutzer Diskussion:Vege Tarier, gehört inhaltlich nur hierher -- Jürgen 13:47, 29. Dez. 2016 (CET))

Beweis 3 (Bijektivität der Multiplikation mit a)

Meiner Meinung nach wird in Beweis 3 die, zur Definition des kleinen Satzes von Fermat, äquivalente Aussage $1\equiv a^{p-1}\mod p$ (für teilerfremde $a$ und $p$) in der drittletzten Gleichung ${\bar {a}}^{p-1}\cdot ({\bar {1}}\cdot {\bar {2}}\cdots {\overline {p-1}})={\bar {1}}\cdot ({\bar {1}}\cdot {\bar {2}}\cdots {\overline {p-1}})$ verwendet und der Beweis dadurch fehlerhaft. Ich würde mich über eine zweite Meinung freuen. EDIT: Hat sich erledigt! --Philip Holtappel 17:43, 14. Jan. 2020 (CET)