Diskussion:Die abzählbare Physik/ Der elektromagnetische Quader - Die Basis von zehn Naturkonstanten

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Folgender Schrieb versucht, manche Konstanten zu motivieren bzw. relativieren. Eine Huldigung Feynmans muss auch sein.

--Gluedrop 15:42, 1. Okt. 2021 (CEST)[Antworten]

Naturkonstanten, Maßeinheiten, Dimensionen[Bearbeiten]

Die zwei vielleicht fundamentalsten Konstanten der Physik sind die Lichtgeschwindigkeit und die Plancksche Wirkung. Ihre Namen machen bereits klar, welche Dimensionen in den konventiellen Maßen für Länge, Zeit und Masse sie haben. Es sind dimensionsbehaftete Konstanten, die nach heutigem Wissen tief in die Fundamente der Natur eingebaut sind. Nichts deutet darauf hin, dass sie in irgendwelchen Ecken des Weltalls zu irgendeiner Zeit abweichende Werte haben könnten.

Die zuständigen Gremien für Normen haben daher den Spieß umgedreht und gesagt: Von den drei Einheiten Meter, Sekunde und Kilogramm sind zwei überflüssig, nämlich aus der dritten mit Hilfe von c und h auszurechnen. Legen wir die Sekunde fest als N Perioden der elektromagnetischen Welle, die eine bestimmte Sorte von Atomen abstrahlt. Setzen wir dann die Werte von Lichtgeschwindigkeit und Wirkungsquantum ein für alle Mal fest, mit nur wenigen Stellen nach dem Komma, an denen nicht mehr gerüttelt wird. Dann folgen das Meter und das Kilogramm zwangsläufig. Die Natur hat beide an die Sekunde gekoppelt. Wir brauchen keine Klötze und Stäbe aus Edelmetall mehr. Seit jeher strebt die Messtechnik so ein Ideal an. Maßstäbe aller Art sollen von der Natur geeicht werden, nicht von den willkürlichen Ritzmarken der Menschen.

In der theoretischen Physik wird schon lange so gearbeitet und alles mit einer einzigen Einheit gemessen. Zum Beispiel in Metern. Die Zeit t als (ct) in Metern. Impuls, Energie und Masse in reziproken Metern, in den Kombinationen (p/h), (E/hc), (mc/h). Man sagt dazu, wir haben ein Einheitensystem mit h=c=1. In der Welt der elementaren Teilchen ist die Energieeinheit Elektronenvolt der Maßstab. Impuls und Masse werden auch in Elektronenvolt beziffert, Länge und Zeit folgerichtig in reziproken Elektronenvolt.

Was am Anfang der Forschung Konstanten waren, sind bei fortschreitender Erkenntnis nur Indizien, dass wir die Natur nicht verstanden haben und redundante Maßstäbe benutzten. Sind nun alle dimensionsbehafteten Konstanten verdächtig und nur die Hebel dafür, weitere unabhängig geglaubte Dimensionen herauszuwerfen? Sind die wirklichen Naturkonstanten dimensionslos? Sind sie gar mathematischer Natur, wie die Kreiszahl Pi?

Eine zweite Riege von Naturkonstanten hilft vielleicht weiter. Der Fall der absoluten Temperatur, ursprünglich gemessen in Kelvin, ist relativ klar. Boltzmann fand, dass sie statistischen Ursprung hat in der Gestalt der mittleren kinetischen Energie eines idealen klassischen Freiheitsgrades. Mit der Boltzmann-Konstante, ein für alle Mal auf wenige Kommastellen festgeklopft, messen wir die Temperatur in Elektronenvolt, oder Metern, oder Sekunden. Wieder eine alte Einheit eliminiert, die nur ein Anfängerfehler war. Wieder eine Konstante, die provisorisch existierte, auf Eins gezwungen.

Zwei fundamentale Sorten von Kräften wirken auf makroskopische Objekte ein, die Gravitation und die elektromagnetische Kraft. Im Mikroskopischen kommen zwei weitere dazu, die zusätzlich zu jenen arbeiten: die starke Wechselwirkung oder Kernkraft und die schwache Wechselwirkung, die Neutrinos erzeugen oder abfangen kann.

In die Schwerkraft eingebaut ist Newtons Gravitationskonstante G. Die potenzielle Energie zweier Himmelskörper ist G mal Produkt der Massen geteilt durch Abstand. Nun messen wir mal Masse und Energie in der Einheit reziproke Länge, mittels h und c. Dann folgt, dass G die Einheit Länge zum Quadrat hat. Rechnen wir diese Länge aus, kommt die unglaublich kleine Planck-Länge zum Vorschein. Oder mit Hilfe der Lichtgeschwindigkeit, die unglaublich kurze Planck-Zeit. Können wir jetzt sagen, G ist eine provisorische Konstante, die Planck-Länge ist die eigentlichte Gravitationskonstante? Dann wäre auch das Meter (die Sekunde) als letzte unabhängige Dimension verschwunden. Unter einer Diktatur von Plancklänge=1 wäre die Physik auf dimensionslose Zahlen fixiert. Nur sind diese grotesk enorm und der Wert von G ist messtechnisch sehr ungenau, so dass kein Mensch diesen Schritt tut.

Könnten die Planck-Größen uns helfen, Raum und Zeit zu quanteln, zu diskretisieren? Es sieht aus nach einer kleinstmöglichen sinnvollen Länge oder Zeitspanne. Doch die spezielle Relativität stemmt sich dagegen. Welchen Wert auch immer ich für Abstand oder Zeit einsetze, in anderen Bezugssystemen wird er nach einer Lorentz-Transformation beliebig kleiner oder größer. Auch das Wirkungsquantum hilft nicht. Zwar wissen wir, dass etwa ein Kollektiv von Fermionen im Phasenraum eine Art dichte Packung einnimmt. Jedes Teilchen hat für sein Produkt aus Ort und Impuls eine Zelle von der Größenordnung h zur Verfügung. Aber daraus folgt nicht, dass etwa der Ort in Zellen daher kommt. Unter Normalbedingungen ist die Packung im Ort relativ locker, daher können die Impulse klein werden. Im Neutronenstern ist man ortsmäßig gedrängt und nach Heisenberg erkauft man das mit gewaltigen unbestimmten Impulsen.

Im Elektromagnetismus stoßen die kleinsten stabilen Teilchen, die Elektronen, sich ab mit einer potenziellen Energie Konstante geteilt durch Abstand. Andere Elementarteilchen genauso. Entweder Anziehung oder Abstoßung, immer das gleiche Produkt von Elementarladungen. Fazit, wenn die Energie als reziproke Länge gemessen wird, dann ist die Konstante der Coulomb-Kraft dimensionslos! Hurra, es ist die erste dimensionslose Größe. Ausrechnen liefert den Wert 1/137. Sie heißt Feinstrukturkonstante und wurde in der Quantenphysik der Atomspektren entdeckt. Man muss sie nachmessen und kann sie nicht, wie h oder c, mit dem Rauswurf einer bis dahin unabhängigen Maßeinheit festzurren.

Doch die genaue Analyse der Prozesse zwischen Teilchen bei immer größerem Austausch von Energie und die darauf abzielende Theorie der Quantenfelder dämpfte gehörig die Freude über diese Zahl α. Die Feinstrukturkonstante ist nur der Anfangswert bei der Energie Null einer Kurve α(E), die die elektromagnetische Wechselwirkung als Funktion der Energieskala beschreibt. In der Quantenelektrodynamik von Elektronen und Photonen allein geht so eine theoretische Kurve gar gegen Unendlich. Besser ging es der starken Wechselwirkung mit der Quantenchromodynamik, einer Theorie von Quarks und Gluonen. Deren 'Renormierung' treibt die Kurve der energie-abhängigen Kopplung gegen Null. Die Quarks sind asymptotisch frei, aber bei kleiner Energie sind sie gefangen, immer gebunden.

Schließlich kam theoretisch eine gewisse Verschmelzung der elektromagnetischen und der schwachen Wechselwirkung in Gang, mit dem Modell von Glashow-Weinberg-Salam. Zu den Photonen gesellen sich andere Austauschteilchen, die schweren W- und Z-Bosonen. Und der Einbau des berühmten Higgs-Bosons wurde unvermeidlich, damit die Theorie konvergiert. Die Renormierungskurven laufen dann korrekt mit der Energie, so dass die schwache und elektromagnetische Kraft mit verschieden großer Kopplung beginnen und bei hoher Energie auf einen gemeinsamen endlichen Wert zusteuern. Noch Traum ist eine Große Einheitliche Theorie, in der alle vier Naturkräfte, einschließlich der Gravitation, bei extrem hohen Energien auf dieselbe Kopplungskonstante konvergieren.

Feynmans Rechentechnik der Quanten-Elektrodynamik[Bearbeiten]

Der äußerst kreative Theoretiker Richard Feynman entwickelte die praktischen Verfahren, mit denen die Reaktionen zwischen Elektronen und Photonen auszurechnen sind. In der Quantentheorie begegnet man den komplexen "Amplituden" einer Reaktion, die also in Wirklichkeit ein Paar aus Amplituden und Phasen sind. Die Betragsquadrate der "Amplituden" sind dann die Wahrscheinlichkeiten, dass die Kollision, Explosion usw. diesen oder jenen Satz von auslaufenden Teilchen liefert, mit diesen oder jenen Impulsen, Winkeln und Drehimpulsen.

Zur Berechnung der Amplituden gibt es eine Reihenentwickung, die mit einer Serie von Feynman-Diagrammen und mit eindeutigen Rechenregeln für jede Linie und jeden Knoten in diesen Graphen erfolgt. Man kann sich die Graphen vorstellen als die Terme von Potenzreihen in den kleinen Parametern Feinstrukturkonstante α und Wirkungsquantum h. Die Zahl der Knoten (oder Vertizes) eines Graphen ist die Ordnung in α; die Zahl der Maschen (oder Schleifen, der unabhängigen geschlossenen Wege) ist die Ordnung oder Potenz in h.

Die Feynman-Graphen erlauben es uns, die Prozesse ein wenig intuitiv zu verstehen. Die einlaufenden und auslaufenden Linien eines Graphen entsprechen den freien Elektronen, Positronen und Photonen. Sie werden mathematisch mit ebenen De-Broglie-Wellen bedacht, die peinlich genau die Energie-Impuls-Masse-Relation der Teilchen respektieren. Das sind die freien, reellen Teilchen. An jedem Knoten treffen zwei Fermion-Linien und eine Photon-Linie zusammen. Der Knoten steht für einen elementaren Schritt: ein Elektron oder Positron fängt ein Photon ein oder spuckt eines aus; oder ein Elektron und ein Positron verschmelzen zu einem Photon; oder ein Photon zerfällt in ein Elektron-Positron-Paar.

An jedem Knoten herrscht strenge Erhaltung von Energie, Impuls, Ladung, Drehimpuls. Ist das Diagramm ein Baumgraph ohne Maschen, dann gehört es zu einer klassischen Approximation von gekoppelten Wellenfeldern, in der das Wirkungsquantum h verschwindet. Aber sobald wir immer mehr Maschen, Schleifen, geschlossene Wege dazu nehmen, also die volle Quantenmechanik, tritt ein ganzer Schauer von kurzlebigen Zwischenteilchen auf die Bühne, die am Ende der Reaktion wieder weg sind.

Die inneren Linien der Diagramme sind nicht ganz als reelle Teilchen zu begreifen, denn sie verlassen ihre 'Massenschale'. Sie heißen virtuelle Teilchen oder Zwischenzustände. Die zugehörigen mathematischen Wellenfunktionen (Feynman-Propagatoren) verschwinden nicht, wenn zuviel oder zuwenig Energie im Vergleich zum reellen Teilchen da ist. Im Rahmen der Heisenbergschen Unschärfe kann ein virtuelles Teilchen seine Energien und Impulse aus dem Vakuum borgen oder ans Vakuum verleihen. Wichtig ist nur, dass die Summe der Diagramme, gemessen an den äußeren Linien, alle Erhaltungssätze der Physik strikt einhält. Ganz innen im Tumult der Reaktion tunneln die Teilchen auch durch Wege, die ihnen klassisch verwehrt wären.

Die schwache Wechselwirkung ist nur deshalb schwach bei niedriger Energie, weil ein sehr schweres Zwischenteilchen, das W-Boson, darin verwickelt ist. Ein Neutron spaltet sich in ein Proton und dieses Boson, welches dann in Elektron und Neutrino zerplatzt. Dieser Beta- Zerfall geht langsam, denn der Auftritt des W-Bosons ist klassisch energetisch unmöglich. Aber der stark gedämpfte quantenphysikalische Ausläufer in seinem Propagator bietet sozusagen einen Schleichweg oder Tunnel für die Reaktion an.

Zwei Eingabe-Parameter stecken in den Feynman-Regeln, die Masse und die Ladung des Elektrons, letztere bevorzugt in Gestalt der Feinstrukturkonstante. Damit das System der Streu-Amplituden in sich schlüssig bleibt, sind auch alle Graphen mit nur einer eingehenden und ausgehenden Elektron- oder Photonlinie zu berechnen. Das freifliegende Elektron entwickelt eine Wolke von virtuellen Photonen und sekundären Elektron-Positron-Paaren um sich herum. Auch das Photon macht da unterwegs kleine Blasen mit Elektron-Positron-Schleifen. Diese Graphen sollten nur eine Renormierung bewirken. Eingegeben werden als Unbekannte die nackte Masse und Ladung, heraus kommen die physikalisch gemessenen 'angezogenen' Elektronen und Photonen.

Feynman und Kollegen hatten zuerst das Problem, dass beim Bekleiden Unendlich herauskam. Dann haben sie einen gesteuerten Grenzprozess der Integration erfunden, grob wie beim Hauptwert-Integral unter Zwangsbedingungen, so dass gleichzeitig die angekleidete Ladung und Masse erreicht und, o Wunder, alle Feynman-Graphen endlich wurden. Die nackten Eingabewerte divergieren dabei, aber keinen stört es. Die Quantenfeldtheorie wurde renormierbar. Nur die Feldgleichungen, bei denen ein solcher Algorithmus funktioniert, sind später in das Standardmodell der Elementarteilchen eingeflossen. Eine Quantentheorie der Gravitation scheitert massiv daran, dass sie nicht renormierbar ist.

Elektromagnetische Konstanten und Einheiten[Bearbeiten]

Es sind immer noch zwei Einheitensysteme im Gebrauch, das offizielle SI/MKSA-System der Praktiker und das alte Gauß-cgs-System, mit dem die Theoretikerinnen weniger Schreibarbeit haben.

Wo liegen genauer die Unterschiede? Der pädagogische Nährwert besteht darin zu sehen, dass allein die Lichtgeschwindigkeit hier eine wichtige Konstante ist, aber und Vakuumimpedanz nur Konventionalwerte, die eine Einheitenwahl wegwischen kann.

Im cgs fehlen Volt, Ampere oder Coulomb. Kombinationen aus Masse, Zeit und Länge ersetzen sie. Die Kapazität etwa hat die Einheit cm.

Im cgs hat Gauß höchstpersönlich die Einheit der Ladung so definiert, dass die Coulomb-Kraft lautet, ohne irgendeinen Faktor. Es folgt die Dimensionsgleichung

Die elektrostatische Einheit in g,cm,s heißt 'esu'.

Das SI misst Ladungen in As und hat den Betrag der Coulomb-Kraft

.

Im SI haben die Maxwell-Gleichungen im leeren Raum zwei Konstanten , die man alternativ als das Paar aus Lichtgeschwindigkeit und Vakuum-Impedanz formulieren kann. Bei cgs gibt es nur die Lichtgeschwindigkeit, die dann in hochfliegender Theorie sowieso mit c=1 weggeeicht wird, und die Wellenimpedanz ist ebenfalls Eins.

Die Gleichungen im cgs-System für die Felder :

Gleichungen im SI/MKSA-System:

  • Permeabilität des Vakuums Vs/Am
  • Dielektrizität des Vakuums As/Vm

Im Vergleich sieht man, dass gelten muss.

Im cgs haben die Felder die gleiche Maßeinheit und gleiche Wellenamplituden.

Im SI hat das elektrische Feld es mit Volt/Meter und das magnetische mit Ampere/Meter zu tun. Das Verhältnis beider hat dort die Dimension Widerstand, es ist die Vakuumimpedanz

bei ebenen Wellen jeder Frequenz.

Mit Ladungen und Strömen werden die Gleichungen der zweiten Zeilen für elektrische Felder inhomogen, wegen Beiträgen aus den externen Quellenfeldern ρ der Ladungsdichte und der Stromdichte.

  • cgs:
  • SI:

--Gluedrop 15:42, 1. Okt. 2021 (CEST)[Antworten]

Wo die Lichtgeschwindigkeit im cgs-System steckt[Bearbeiten]

Bei den Magneten gibt es keine magnetische Ladung, die sich abtrennen lässt wie die elektrische Ladung. Dennoch tritt bei (möglichst langen) Stabmagneten eine Polstärke auf an den Enden, die sich wie in Coulombs Gesetz benimmt. Die Kraft, mit der die Pole sich anziehen oder abstoßen, ist proportional zu einem Produkt der Polstärken, geteilt durchs Quadrat der Entfernung. Die Einheit der Polstärke kann wie in der Elektrostatik nach Gaußschem Muster so gesetzt werden, dass die Kraftformel keinen Faktor braucht. Elektrische und magnetische 'Ladung' haben so dieselbe seltsame Dimension, nennen wir sie . Die Dimension der Kraft sei .

Ist eine von zwei Ladungen eine kleine Probeladung q verglichen zur anderen, dann wirkt auf sie eine Kraft proportional zu q, und diese Kraft steckt nach Faraday in einem "Feld" das von der dominierenden Ladung erzeugt wird. Die Feldstärke hat die Dimension F/Q, Kraft durch Ladung. Wieder in Elektrostatik und Magnetostatik die gleiche Einheit! In cgs-System wurde sie als Oersted bekannt.

Beim Transport der Probeladung ändert sich ihre potenzielle Energie mit der Arbeit, Kraft mal Weg, also Ladung mal (Feldstärke mal Weg). Die Summe bzw. das Integral aus (Feldstarke mal Weg) ergibt das Potenzial des Feldes, mit der Einheit FL/Q = Q/L. Die Umrechnung von Oersted-cm in modernes Volt und von der Q-Einheit (esu) in moderne Coulomb (As) unterschlagen wir hier. Eine Kapazität in cgs jedenfalls, Ladung geteilt durch Potenzial, hat die schlichte Einheit L der Länge.

Ein stationärer Strom macht ein Magnetfeld, das senkrecht zur Stromrichtung um den Leiter herumkreist. Und dessen Stärke natürlich proportional zum Strom ist. Genauer und immer noch in historischen cgs-Einheiten argumentiert: Das angesammelte 'Magnetpotenzial' bei einem Umlauf des Leiters, Dimension Feldstärke*Weg = (magnetische)Ladung/Weg, ist proportional zum Strom, Dimension (elektrische)Ladung/Zeit.

Wenn unsere "Ladungen" dieselbe Einheit Q tragen, muss die Konstante der Proportionalität eine Geschwindigkeit sein. Wen überrascht es, mitten im 19. Jahrhundert war es so und es kam heraus: das ist die Lichtgeschwindigkeit. Sie steckt bereits in statischen bwz. stationären elektromagnetischen Vorgängen! Maxwell war die Tatsache bekannt, sie hat ihn zu seinen dynamischen Gleichungen beflügelt.

--Gluedrop 12:44, 2. Okt. 2021 (CEST)[Antworten]

Weiteres zum cgs-System[Bearbeiten]

Das Gauß-cgs-System war nicht praxistauglich, die Einheiten lagen zu weit vom Schuss. Die Spannung einer Batteriezelle liegt nun mal um 1 Volt herum und der Strom von 1 Ampere ist nötig, damit ein Motörchen anfängt, sich zu drehen. Theoretisch aber war der geniale Gauß seiner Zeit weit voraus, er setzte die moderne Forderung nach Datensparsamkeit um. Statt neue Einheiten einzuführen, ließ er die Natur die Arbeit machen mit Kombinationen aus den alten Einheiten. Dann gibt es automatisch weniger Konstanten im Formelkram.

Noch ein paar Beispiele zu den cgs-Einheiten und eine Umrechnung.

Die Dimension der Spannung ist Q/L, die des Stromes ist Q/T. Folglich hat ein Widerstand Spannung/Strom die Dimension T/L, eine reziproke Geschwindigkeit.

Die Dimension der Kapazität Ladung/Spannung ist Q/(Q/L) = L, die Länge. Geometrisch ist die Einheitskapazität die eines Würfelkondensators aus zwei Platten von 1 cm²im Abstand von 1 cm.

Die Dimension der Induktivität ist Spannung durch Strom-Änderung, (Q/L) / (Q/T²) = L/T², also der Kehrwert einer Beschleunigung.

Was prima klappt: ein Produkt RC hat Dimension T einer Zeitkonstante, ein Produkt LC die Dimension T², Kehrwert des Quadrats einer Frequenz.

Ist etwa unsere Vakuumimpedanz im cgs einfach der Kehrwert der Lichtgeschwindigkeit? Genau, von trivialen Faktoren mit π drin mal abgesehen. Ausrechnung folgt.

Für Ort, Zeit, Masse, Kraft... bleiben wir beim MKS und konzentrieren uns allein auf die Unterschiede bei elektrischen Dingen.

Bezeichnen wir die nach SI gemessenen Ladungen, Spannungen, Ströme, Widerstände mit Großbuchstaben Q,U,I,R und die cgs-Größen mit q,u,i,r.

Die Kraft zwischen zwei gleichen Ladungen bei Abstand x:

Das Potenzial um eine Ladung herum:

Widerstand als Quotient Spannung/Strom:

Die Vakuumimpedanz z, wenn der MKSA-Wert Z vorgegeben ist:

Quantelung der magnetischen Ladung[Bearbeiten]

Gibt es magnetische Ladungen, also Monopole und nicht nur Dipole? P.A.M. Dirac hat eine Quantenbedingung für die elementare magnetische Ladung gefunden, nämlich qg = 2nπ, wo q eine elektrische und g eine magnetische Elementarladung, n eine ganze Zahl bedeutet und wo in Theoretiker-Manier Faktoren mit h und c unter den Tisch fallen. Woher kommt dieser Produktzwang? Es folgt keine saubere Herleitung, nur ein Blick hinter die Kulissen, wo ein Eichprinzip regiert.

Die Ursache der Quanten einer eventuellen magnetischen Ladung ist die sogenannte Eichkopplung zwischen Elektronen- und Photonenfeldern.

Im SI hat die Ladung q die Dimension [As] und der Fluss Φ eines magnetischen B-Feldes die Dimension [Vs]. Das Produkt ist also eine Wirkung wie h. Wird die Magnetladung gemessen mit dem von ihr erzeugten Fluss, besagt die Quantisierung wohl in praktischen Einheiten: qΦ = n * 2π * (h/2π) = n * h.

Magnetisch aufgebauschte Maxwell-Gleichungen könnten vielleicht voll symmetrisch sein mit elektrischen Ladungsdichten und Stromdichten (ρ,j) und zusätzlich magnetischen, etwa (σ,k) :

(Gerümpel wie konstante Koeffizienten wurde schludrig hinfort geeicht.)

Wenn das zutrifft, sind die Gleichungen symmetrisch unter einer Vierteldrehung, die die Felder vertauscht:

Die Potenzialtheorie des Elektromagnetismus baut aber darauf auf, dass die magnetischen Quellen Null sind. Dies erlaubt uns, zu integrieren.

Ohne Magnetladung hat das elektromagnetische Feld F, die relativistisch kovariante Kombination beider Felder, nämlich ein Vierervektor- Potenzial , also ein Paar aus skalarem und Vektorpotenzial, aus dem es durch Ableitungen hervorgeht. Mathematisch hat man einen Operator 'd', genannt äußere Ableitung: die homogenen Feldgleichungen sagen dF=0, und die Potenzialgleichung sagt F=dA. Das gilt wie gesagt nur, wenn magnetische Ladungen und Ströme Null sind.

Objekte mit verallgemeinerten Ableitungen in beliebigen Dimensionen heißen 'alternierende Differenzialformen' und die zweimalige Anwendung des d-Operators verschwindet immer. Also F=dA impliziert dF=0. Doch der Umkehrschluss, die Existenz von A wenn dF=0, geht nicht auf, wenn die Topologie des Gebietes verschnörkelt ist, etwa mehrfach zusammenhängend wie ein Krug mit drei oder vier Henkeln. Bei einfach 'sternförmigen' Gebieten lässt sich die Integration von F nach A durchführen, nach einem Lemma von Poincaré allgemein für beliebige Dimensionen n und für Formen jeden Grades k. Natürlich gibt es viel Freiheit bei der Wahl von A, denn jedes A' = A + dZ mit einer beliebigen Form Z, einen Grad kleiner, tut denselben Job wegen ddZ = 0. Das spezielle elektromagnetische F gehört zur Klasse der Zwei-Formen in vier Dimensionen, n=4, k=2.

Obwohl weder A noch die komplexen Wellen der Quantenmechanik direkt beobachtbare Größen sind, muss die Kopplung der beiden unbedingt so sein, dass die Neuwahl A' = A + dZ mit einer Phasentransformation der Welle einher geht, φ' = exp(i q Z) φ. Man nennt das eine Eichtransformation. Über die Elementarladung q verknüpft sie die beiden Felder. Und darauf fußt das Argument Diracs, wenn er sich eine (scharf konzentrierte) magnetische Ladung am Ursprung vorstellt.

Am Ort des Monopols bricht die Gleichung dF=0 zusammen, nur im Restraum außerhalb dieses neuartigen Lochs gilt sie. Der Magnetfluss, Integral des Magnetfelds über eine Kugelfläche, soll dem Wert der zentralen Magnetladung g entsprechen. Man unternimmt es nun, ein Vektorpotenzial A aus zwei Teilen zusammenzubauen, eins vom Norden und eins vom Süden aus integriert. In ringförmigen Gebiet, wo sie überlappen, will die Differenz eine Form dZ sein, denn die äußere Ableitung der A-Differenz ist Null. Doch solches Z ist stetig bis auf wohl eine Naht, weil das Gebiet nicht einfach ist. Poincaré eckt an. Wegen der Eichkopplung nun müssen zwingend die Phasen exp(iqZ) um den Ring herum nahtlos verlaufen, damit stetige Elektronen-Wellen existieren. Die Unstetigkeit von qZ muss ein Vielfaches von 2π sein. Daraus erwächst die Quantenbedingung für den Fluss und für dessen Ursache, die gesuchte magnetische Ladung: gq=2nπ. Dies wird als eine "topologische Quantisierung" vermarktet.

Eichtheorien.[Bearbeiten]

In dem Standarmodell der Elementarteilchen stecken die fundamentalen Kräfte in Gestalt von Eichfeldern. Hier kommt ein oberflächlicher Versuch zu erläutern, was ein Eichmodell ist. Naiv denken wir uns hier 'Felder' als vielkomponentige Funktionen der Raumzeit, wo letztendlich die Komponenten Zahlen sind. Wahre Quantenfelder sind komplizierter, sind operator-wertig...

Die Quantenmechanik hat sich Wellenfelder ausgedacht, die die Materie repräsentieren sollen. Diese haben oft mehrere Komponenten, im Minimalfall einen Realteil und einen Imaginärteil, anders gesagt eine Amplitude und eine Phase. Aber es können ruhig mehr sein. So hat man etwa Tripletts von Quarks zu einem Feld kombiniert. In gewisser Weise sind sie redundant, denn es gibt bei festgehaltenen Raumzeit- Punkten lineare Neumischungen der Feldkomponenten, nach denen die Gleichungen der Modelle sich nicht oder nur wenig ändern. Solche linearen Transformationen sind die Gruppen von inneren Symmetrien der Felder. Wenn man die Funktion in der Schrödinger-, Dirac- oder Klein-Gordon-Gleichung global mit demselben komplexen Faktor vom Betrag Eins malnimmt (man ändert die Phase), bleibt so eine Gleichung erhalten.

Was passiert, wenn man die Feldtransformation von Punkt zu Punkt verschieden wählt, natürlich glatt und stetig variabel? Ganz trivial kann es nicht sein, denn die Ableitungen in den Feldgleichungen verbinden benachbarte Orte. Man kann dennoch invariante Gleichungen erzwingen, indem man den Ableitungen kompensatorische Potenzialfelder beifügt. Die koppeln allgemein linear, als Matrizen, ans Wellenfeld an. Sie driften ab: jede ortsvariablen Symmetrietransformation wirkt darauf linear-inhomogen, also mit additivem Beiwerk. Steriler Formalismus, oder verbergen sich da neue physikalische Freiheitsgrade? Das Paar von Umrechnungsformeln des Materiefeldes und des Potenzialfeldes, das die Gleichungen invariant lässt, heißt Eichtransformation.

Ein beliebig vorgegebenes Potenzialfeld lässt sich nur dann durch Eichtransformationen auf Null herunterrechnen, wenn es gewisse Differenzialgleichungen erfüllt. Mit den Ableitungen kombiniert sind es eich-kovariante Größen, genannt Krümmungen, die wegfallen sollten. Eine Krümmung ungleich Null, da ist der Punkt, wo der Hebel anzusetzen wäre! Die neuen Freiheitsgrade stecken in nichtverschwindenden Krümmungen, die wir verwegen als Kraftfelder bezeichnen. Sie sind es, die die inneren Freiheitsgrade der Materie von Ort zu Ort, oder Zeit zu Zeit, aneinander koppeln. Mit diesen Kräften gewinnt man mehr neue Freiheitsgrade als die, welche man anfangs durch innere Symmetrie der Materiefelder aufgegeben hatte. Die Potenziale haben Redundanz, kein Problem, das kennt man aus allen Bereichen der Physik.

Das angereicherte Modell besteht also aus zwei gekoppelten Welten, den Kraftfeldern (die quantenmechanisch zu Bosonen werden) und den Materiefeldern (die aus Fermionen bestehen). Die Kraftfelder bekommen dadurch eine wellenschlagende Eigendynamik, dass man mit den Krümmungen relativistisch- und eich-invariante Ausdrücke aufbaut, die einfachsten die man finden kann. Die Potenziale allein lassen sich mit Eichtransformationen sehr vielseitig verschieben. Mit einer klug gewählten Eichung werden die Gleichungen einfacher.

Speziell kann die Elektrodynamik 'hergeleitet' werden als die logische Bereicherung eines einfachen komplexen Wellenfeldes mit Eichsymmetrie. Die Phasentranformationen werden kompensiert mit einen Vektorpotenzial, dessen Krümmungen genau die elektromagnetischen Felder sind. Welchselbe zwingend die Maxwell-Gleichungen erfüllen. Die Elektron-Photon-Kopplung sieht dann einfach so aus, dass jeder ursprüngliche Gradient einer Welle zu einer kovarianten Ableitung wird: man addiert zu ihm einen Imaginärteil Ladung mal Vektorpotenzial mal Elektronwelle. Es funktioniert.

Analog zur Elektrodynamik aus Elektronen und Photonen gibt es für die starke Wechselwirkung eine Chromodynamik aus Quarks und Gluonen. Die innere Symmetrie ist reicher als die simplen Phasenfaktoren. Es ist eine Matrizengruppe mit acht Parametern. Diese Matrizen kommutieren nicht. Die Krümmungen, die Kraftfelder aus Gluonen, werden daher nichtlinear in den Potenzialen. Also erheblich kompliziertere Gleichungen. Die Eichinvarianz erzwingt immerhin, dass die Gluonen die Masse Null haben.

Lässt man in Gedanken die Quarks weg und versucht eine Quantentheorie des reinen Leims aus Gluonen, dann treten seltsame Gebilde auf. In Computersimulationen mit einem Gittermodell finden sich masse-behaftete glueballs oder Leimballen, ein diskretes Spektrum davon. Quanten mit Masse entstehen aus dem Nichts, aus skaleninvarianten Gleichungen, die ganz massefrei waren. Zu beweisen, dass so eine dynamische Symmetriebrechung mathematisch sauber aus der Gluodynamik folgt, und dass die Yang-Mills- Eichtheorien mit Quantenfeldern überhaupt im Sinne der Mathematik existieren, wäre etwas, das sich lohnt. Ein Preis in Millionenhöhe steht noch offen...

Der Bohm-Aharonov-Effekt[Bearbeiten]

Es geht um die Fortbewegung von Elektronen im elektromagnetischen Feld. Der theoretisch durchdachte Effekt wurde später vom Experiment bestätigt. Die Konfiguration dabei sperrt den Raum, in dem die Elektronenwellen wandern dürfen, hermetisch ab vom Raum, wo ein Magnetfeld auftritt. Beide Felder überlappen sich nicht, wo das eine auftritt, ist das andere Null. Trotzdem lenkt messbar das Magnetfeld die Elektronen um. Wie funktioniert das? Die klassische Lorentzkraft sieht nichts dergleichen vor.

Der Aufbau ist der Doppelspaltversuch für Materiewellen. Die Zweiteilung des Spaltes übernimmt nicht ein Draht oder Blech, sondern ein langer dünner Stabmagnet, besser eine lange dünne Spule. Das Magnetfeld bleibt im Innenraum der Spule, die Elektronen haben den Außenraum drum herum. Die Interferenz der Elektronenwellen erzeugt die bekannten Streifen auf dem Detektor-Schirm, bei Magnetfeld Null ganz zentral natürlich den hellsten Streifen. Wird das Magnetfeld eingeschaltet, verschiebt sich das Streifenmuster nach rechts oder links, je nach Polarität und proportional zur Feldstärke.

Zur Ausrechnung des Effekts nimmt man das Vektorpotenzial des Magnetfeldes und setzt es ein in die Schrödinger-Gleichung in Gestalt dieser kovarianten Ableitung oder Eich-Kopplung. Prompt ergibt sich eine Phasenverschiebung zwischen Wellen, die rechts und links an der Spule vorbei laufen, und der quantitativ richtige Ruck der Streifen.

Aber wurde uns nicht eingehämmert, dass das Vektorpotenzial keine Physik enthalte und nur eine Rechenhilfe sei, dazu noch verformbar mit beliebigen Gradienten? Kritisch analysiert liefert die Berechnung folgendes Urteil ab: Vom Vektorpotenzial fließen nur ein seine Integrale über geschlossene Wege um die Spule herum. Das Rundweg-Integral eines jeden Gradienten ist Null, jede Wahl also des Vektorpotenzials führt zum selben Ergebnis. Das Potenzial als solches geht nicht messbar ein, nur aus ihm abgeleitete eichinvariante Größen.

Das Fazit ist wieder einmal, dass in der Quantenmechanik nicht-lokale Dinge passieren, die die klassische Physik nicht kennt. Beide Werkzeuge zu Berechnungen, Wellenfunktionen und Vektorpotenziale, sind nie an Testpunkten etwa beobachtbar, geschweige denn messbar. Was man sieht, entspricht irgendwie ausmultiplizierten und aufsummierten Werten davon. Nicht ganz das Ideal Heisenbergs, der nur Beobachtbares in die Theorie hereinlassen wollte.

Ausflug ins Mathematische. Der Satz von Stokes.[Bearbeiten]

Mit Vektorfeldern und Skalarfeldern in drei Dimensionen gibt es drei Regeln der Integralrechnung. Sie sind vom Strickmuster: Summe oder Integral eines Feldes über den Rand einer Struktur gleich Integral einer Ableitung über das Innere der Struktur.

Seien f,g Skalarfelder und Vektorfelder.

  • Sei V ein Volumen, sei F seine glatte Oberfläche. Dann gilt
Raumintegral der Divergenz des Feldes = Flächenintegral.
  • Sei F eine umrandete Fläche, sei C die geschlossene Randkurve. Dann
Flächenintgral der Rotation eines Feldes = Kurvenintegral.
  • Sei C eine nicht geschlossene Kurve mit Endpunkten P,Q. Dann
Kurvenintegral eines Gradienten = Differenz der Randwerte.

Das Kurvenintegral eines Vektorfeldes ist dabei der Grenzwert, wenn die Summe aus Linienstücken mal Parallelkomponente des Feldes immer feiner gerastert wird. Das Flächenintegral eines Vektorfeldes ist der Grenzwert, wenn eine Summe aus kleinen dreieckigen oder quadratischen Kacheln mal Senkrechtkomponente des Feldes feiner gerastert wird.

Die Verallgemeinerung der Beziehung zwischen Feld-Ableitungen und Umrandungen auf Mannigfaltigkeiten beliebiger Dimension ist der Satz von Stokes. Nur in drei Dimensionen kommt man mit Skalaren und Vektoren aus als Integranden. Das System von Integranden, das für höhere Dimensionen passgenau erfunden wurde, sind die (äußeren oder alternierenden) Differenzialformen.

Will man in n Dimensionen etwas aufsummieren über die Strukturen der niedrigeren Dimension k, braucht man folgendes. An jedem Punkt hat man infinitesimale Würfelchen mit den Kantenlängen . Für jede Auswahl von k dieser Indizes ist ein Koeffizient nötig, der in das Integral einfließt, mit den Längen der Kanten-Teilmenge zu multiplizieren. Man macht die lineare Fortsetzung auf beliebig schief liegende k-achsige Parallelepipede. Kombinatorisch haben wir n!/k!/(n-k)! Koeffizientenfelder, die alle zusammen den Integranden ausmachen: Eine k-Form in n Dimensionen. k darf von 1 bis n variieren.

In Dimension n=3 hat die Kette der k-Formen die Dimensionen 1-3-3-1, in Dimension vier wird die Kette 1-4-6-4-1. Berücksichtigt man das Verhalten bei der Spiegelung von Koordinaten, liest man es do:

  • n=3 : Skalar - Vektor - Axialvektor - Pseudoskalar.
  • n=4 : Skalar - Vektor - Antisym.Tensor - Axialvektor - Pseudoskalar.

Damit es linear und multilinear richtig funktioniert, ist die Orientierung der Koordinaten wichtig und bei einer Paarvertauschung von Indizes klappt das Vorzeichen der Form-Koeffizienten um. Daher kriegt beispielsweise eine Drei-Form für n=4 die Keil-Produkt-Notation:

Das Keilprodukt zweier Formen der Grade j,k hat den Grad j+k (maximal n) und die fundamentale Rechenregel (Grassmann-Produkt) besagt:

Sind j,k beide ungerade, kommt bei Vertauschung ein Minuszeichen, ansonsten ist das Produkt kommutativ.

Eine k-Form ist dargestellt als ein Satz von differzierbaren reellwertigen Feldern. Aus all deren partiellen Ableitungen kombiniert man eine Form vom Grad (k+1), indem man Antisymmetrie bei Indextausch erzwingt. Diese Konstruktion ist der Operator 'd' der äußeren Ableitung. Er hat zwei schöne Eigenschaften. Er ist nilpotent, die zweimalige Anwendung ergibt Null. Er ist koordinaten-unabhängig, also resistent gegen beliebige krummlinige Transformation von Koordinaten. Wenn wir eine Form f in neuen Koordinaten zu f' umrechnen und dort d(f') bilden, gibt uns die umgekehrte Ordnung (df)' das Gleiche.

Bei normalen Ableitungen von allgemeinen Tensoren gilt sowas nicht. Solche erfordern ein zusätzliches Mathematik-Spektakel von kovarianten Ableitungen, affinen Zusammenhängen, Metriken,...

Die Spezialfälle des d-Operators im dreidimensionalen Raum heißen Gradient, Rotation und Divergenz.

Die Haupteigenschaft des d-Operators ist nun der Satz von Stokes. Im n-dimensionalen Raum sei gegeben eine 'Kartoffel' K der Dimension (k+1) und ihr Rand, ihre 'Oberflache', der Dimension k. Dann ist das (Rand-)Integral einer k-Form f über die Oberfläche gleich dem Integral der äußeren Ableitung, der (k+1)-Form (df), über das Innere:

Die Form f soll natürlich auf ganz K stetig differenzierbar sein.

Fluss-Quantelung in supraleitenden Ringen[Bearbeiten]

Experimentell wurden noch keine magnetischen Ladungen gefunden. Aber man entdeckte 1961 einen gequantelten magnetischen Fluss, der 1950 vorhergesagt wurde und sich ausbildet, wenn man einen Ring aus supraleitendem Material dem Magnetfeld aussetzt. Das soll hier kurz erklärt werden.

Ein Supraleiter hat die Tendenz, kein Magnetfeld in sich hinein zu lassen. Er kann (bis zu einem gewissen Maximum) verlustfreie Ströme in seinem Inneren kreisen lassen. Kommt ein Magnet in die Nähe, entwickelt der Körper innere Wirbelströme, deren Magnetfeld das von außen kommende Feld innen drin genau kompensiert.

Nun sei der Leiter kein einfacher Klotz sondern ein Objekt mit einem Loch, idealerweiser ein Ring. Dann schaffen die Magnetfelder es immerhin, durch die Ringebene zu kommen. Aber nur in diskreten Schritten oder Flussquanten! Der Fluss des Feldes, definiert als das Flächenintegral des Vektorfeldes über die Scheibe, die vom Ring aufgespannt wird, muss ein Vielfaches eines Flussquantums sein. Die Wirbelströme pendeln sich derart ein, dass der Fluss so einrastet.

Dies Quantenphänomen hängt wieder mit Phasenfaktoren zusammen, die bei einem Umlauf um den Ring ein Vielfaches von 2π werden. Und mit der Eichkopplung über das Vektorpotenzial, die an den Phasen zerrt.

In klassischen Büchern kommen zwei Formeln vor für den Fluss Φ, je nachdem welches Einheitensystem den Vorzug hat.

(C. Kittel, Introduction to Solid State Physics),
(The Feynman Lectures on Physics III).

Der Faktor Ladung ist erstaunlicherweise die doppelte Elektronenladung.

Die Quantentheorie der Supraleitung lehrt uns, dass die Elektronen sich zu zweit aneinander binden zu Cooper-Paaren. Diese Paare sind die Einheiten des widerstandsfreien Stromtransports. Das erklärt den Faktor (2e). Elektromagnetisch stoßen Elektronen sich kräftig ab. In der Sprache der Feynman-Graphen tauschen sie virtuelle Photonen aus, die drücken statt zu ziehen. Aber im Supraleiter gibt es eine weitere Population von Quanten aller Energien. Die Phononen oder Quanten der Gitterschwingungen. Die Elektronen erleben einen Austausch von virtuellen Phononen, der auf sie anziehend wirkt. Weit genug entfernt überwiegt die Anziehung die Coulomb-Abstoßung und im Gleichgewichtsabstand binden sich die Paare.

Die Menge der Cooper-Paare bildet ein Kollektiv von Quasiteilchen. Diese sind Bosonen, nicht Fermionen wie einzelne Elektronen. Fermionen dürfen nicht zu zweit oder zu mehreren auf demselben Quantenzustand hocken. Deshalb sind die Atome geordnet in Schalen aufgebaut, weil jedes neue Elektron bei wachsender Kernladung den nächstgelegenen Platz einnimmt, der noch nicht belegt ist. Dagegen dürfen die Bosonen, ideal bei absoluter Temperatur Null, alle zugleich dieselbe Zustandswelle haben. Eine einzige Wellenfunktion dient als Modell für den ganzen Schwarm, ihr Betragsquadrat ist die Teilchendichte. Es gibt auch eine Bandlücke. Will ein einziges Cooper-Paar aus dem Kondensat ausreißen, kostet das einige Energie.

Die Dichte der Paare ist im Wesentlichen konstant, weil die konstant verteilte positive Ladung der Atomrümpfe was anderes unmöglich macht. Daher kann eine Gleichung für die Stromdichte aufgestellt werden, in der einzig die Variation der Phase der kollektiven Paar-Welle auftritt. Der Berechnung glauben wir mal. Danach ist der Strom proportional zu: (h/2π) mal Gradient der Phase, minus Ladung mal Vektorpotenzial A (Eichkopplung). In der Magnetostatik ist das Magnetfeld B die Rotation von A, und man darf das Vektorpotenzial A divergenzfrei wählen. Daraus folgt wegen der divergenzfreien Stromdichte, dass der Laplace-Operator der Phase zu Null wird. Weiter folgt, dass der Strom proportional zum A-feld wird und dass beide exponentiell von der Oberfläche ins Innere abfallen. Die Ströme, mit denen der Supraleiter ein Magnetfeld abwehrt, sind in einer Hautschicht konzentriert: Meissner-Effekt.

Insbesondere ist der Strom innen im Ring Null. Daraus folgt: (h/2π)* Gradient der Phase gleich qA. Hier ist A das Vektorpotenzial und q = 2e beträgt zwei Elektronenladungen. (h/2π) mal Phasenverschiebung einmal um den Ring herum, also das Kurvenintegral des Phasengradienten, ist gleich dem Kurvenintegral von qA. Die Phasen-Unstetigkeit muss ein Vielfaches von 2π sein, sonst wäre die Wellenfunktion kaputt. Nach einem dieser obigen Stokesschen Sätze ist das Wegintegral von qA gleich q mal Flächenintegral des Magnetfelds, wegen B = rot A. Das Flächenintegral ist genau der magnetische Fluss Φ durch die Fläche einer Seifenblase im Ring. Etwas größer, die Hautschicht muss auch erfasst werden. Sofort folgt die Quantelung: qΦ = 2eΦ = nh.

--Gluedrop 06:29, 8. Okt. 2021 (CEST)[Antworten]