Diskussion:Mathe für Nicht-Freaks: Binomialkoeffizient

Fehlerhaftes Layout im PDF-Export

Hallo, beim Durchsehen meines ausgedruckten PDF-Exports sind mir in diesem (Unter-)kapitel zwei Satzfehler aufgefallen. Es werden nämlich zwei Formeln, die am Zeilenende stehen, über den Textrand hinaus gesetzt. Und das obwohl sie eigentlich komplett in die jeweils nächste Zeile gehören würden. --Mr N 11:30, 13. Apr. 2014 (CEST)

Kannst du mir sagen um welche Formeln es sich handelt? Habe im PDF-Export eine Formel gefunden, die ich gerade umgebrochen habe, die anderen sahen in Ordnung aus. Grüße Stephan Kulla 20:17, 13. Apr. 2014 (CEST)

Wahrscheinlichkeit, beim Lotto sechs Richtige zu ziehen, ändert sich nicht

Hallo alle zusammen,

der folgende Satz:

»Wenn jemand im Jahr öfters Lotto spielt, dann ist seine Gewinnwahrscheinlichkeit auch größer als $7,15\cdot 10^{-8}$.«

ist definitiv falsch. Die Lottokugeln liegen bei jeder Ziehung wieder neu in der Trommel. Im Prinzip ist es so, wie beim Würfeln: neues Spiel, neues Glück. Wenn ich einmal würfele, beträgt die Wahrscheinlichkeit, eine 3 zu würfeln, genau ein Sechstel. Wenn ich 1000 mal gewürfelt habe, beträgt die Wahrscheilichkeit, beim 1001. Wurf eine 3 zu würfeln, genau ein Sechstel – und zwar unabhängig davon, ob ich in den 1000 Würfen vorher keinmal, etwa 167 mal oder 1000 mal eine 3 gewürfelt habe.

Die Wahrscheinlichkeit, sechs Richtige im Lotto zu haben, ändert sich genausowenig, wie die Wahrscheinlichkeit, beim nächsten Wurf mit einem Würfel eine 3 zu würfeln, völlig unabhängig davon, wie häufig ich bereits vorher Lotto gespielt oder gewürfelt habe.

Zu unterscheiden wäre nämlich in jedem Fall zwischen der Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Ereignisses (bei der nächsten Ziehung sechs Richtige im Lotto zu haben oder beim nächsten Wurf eine 3 zu würfeln) und der kombinierten Wahrscheinlichkeit (zum Beispiel, dass bei einer Millionen Ziehungen nie die Zahlenfolge 1,2,3,4,5,6 gezogen wird oder ich bei 1000 Würfen nie eine 3 würfele). Die kombinierten Wahrscheinlichkeiten sind reine Aggregate und haben keinen Einfluss auf die Einzelwahrscheinlichkeiten – zum Beispiel darauf, was bei der nächsten Lottoziehung oder beim nächsten Wurf mit einem Würfel geschieht.

Das alles gilt, solange es sich, wie beim Würfeln oder beim Lotto, um »ziehen mit zurücklegen« handelt. Anders ist es, wenn ich beispielsweise aus einem Kartenspiel mit 32 Karten eine Karte ziehe, schaue, ob es sich um einen Kreuz Buben handelt und wenn nicht die Karte beiseite lege, um dann die nächste Karte aus dem Stapel, der jetzt nur noch aus 31 Karten besteht, zu ziehen (»ziehen ohne zurücklegen«). Hier verändern sich die Wahrscheinilichkeiten, einen Kreuz Buben zu ziehen: beim ersten Mal beträgt sie   ${\frac {1}{32}}$, beim zweiten Mal   ${\frac {1}{31}}$   usw.

Soweit erst mal an dieser Selle.

Viele Grüße --Jake2042 09:45, 14. Mär. 2016 (CET)

@Jake2042: Danke für dein Kommentar. Der von dir zitierte Satz meint die kombinierte Wahrscheinlichkeit, dass bei mehreren Teilnahmen beim Lotto der Spieler mindestens einmal gewinnt, die höher als die Einzelwahrscheinlichkeit ist. Ich werde mal schauen, dass ich den entsprechenden Satz verändere... -- Stephan Kulla 10:13, 14. Mär. 2016 (CET)

@Jake2042: Zur Info: Der Satz ist nun geändert. -- Stephan Kulla 18:57, 14. Mär. 2016 (CET)

OK, so ist deutlicher, wie es gemeint ist. Grüße --Jake2042 22:43, 14. Mär. 2016 (CET)

Ich denke gerade über folgendes nach: Wenn ich mehrere Tipps bei einer Ziehung abgebe, dann erhöht sich tatsächlich die Wahrscheinlichkeit, dass einer dieser Tipps ein Sechser ist. Das kann ich natürlich auf die Spitze treiben: wenn ich 13 983 816 verschiedene Tipps bei einer Ziehung abgebe, dann ist meine Wahrscheinlichkeit, dass ein Sechser darunter ist, genau 1 bzw. 100 %. Ich glaube nicht, dass das erlaubt ist (ganz abgesehen von der Frage, ob der Gesamtgewinn, den ich bekomme, nicht niedriger ausfällt, als der Preis für die annähernd 14 Millionen Tippscheine).

Der zweite Punkt ist folgender: wenn ich Lotto spiele, ist für mich immer nur die nächste Ziehung wichtig – und da ändern sich die Wahrscheinlichkeiten nicht, egal, wie häufig ich vorher bereits gespielt habe. Wenn ich zum Beispiel 600 mal mit einem Würfel würfele, dann kann ich erwarten, dass ich etwa 100 mal eine 3 würfele. Bei 1000 Würfen kann ich etwa 167 Würfe mit einer 3 erwarten, bei 3000 Würfen etwa 500 etc. Bei 3000 Würfen keine einzige 3 zu würfeln, ist ein extrem unwahrscheinliches Ereignis, aber dennoch möglich. Nur erhöht sich dadurch eben nicht die Wahrscheinlichkeit, beim nächsten Wurf eine 3 zu würfeln – die liegt nach wie vor bei einem Sechstel.

Es gibt viele Lottospieler, die Woche für Woche dieselbe Zahlenkombination tippen, weil sie denken, irgendwann müsse sie ja kommen. Nein, muss sie nicht. Bei jeder Ziehung hat jede beliebige Zahlenkombination wieder dieselbe Wahrscheinlichkeit, gezogen zu werden: 1 von 13 983 816. Das ändert sich nicht, auch wenn ich eine Zahlenkombination noch so häufig tippe.

Viele Grüße

--Jake2042 23:38, 14. Mär. 2016 (CET)

@Jake2042: Ja, bei deinen Ergänzungen hast du natürlich recht. Dies ist eine Tatsache, die gerne vernachlässigt/übersehen wird. -- Stephan Kulla 00:48, 15. Mär. 2016 (CET)

Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Hallo Stephan,

streng genommen, führt das Blitzschlag-Beispiel (das aber ansonsten didaktisch gut ist) zu der heiklen Definition der Wahrscheinlichkeit als Grenzwert der beobachteten Häufigkeit eines Ereignisses für den Fall, das unendlich viele Beobachtungen zur Verfügung stehen. Bei Glücksspielen wie dem Lotto oder dem Würfeln kann man ohne großes Nachdenken davon ausgehen, dass die erwarteten Häufigkeiten für bestimmte Ereignisse sich auch tatsächlich einstellen und so als Wahrscheinlichkeiten betrachtet werden dürfen, z.B. dass die Wahrscheinlichkeit, eine 6 zu würfeln, 1/6 ist. Die Wahrscheinlichkeit eines Blitzschlages lässt sich nicht in gleicher Weise intuitiv erahnen, und die von Dir zitierten Beispiele zeigen, wie weit die vorhandenen Schätzungen voneinander abweichen, weil die Häufigkeit des Ereignisses extrem gering ist.--Michael Oestreicher 19:43, 29. Nov. 2016 (CET)

Wo ist die Herleitung?

In der Überschrift steht zwar "Herleitung und Definition", die Herleitung fehlt aber.

In diesem Abschnitt findest du die Herleitung der Formel ${\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!\cdot (n-k)!}}$. Darauf bezieht sich die Überschrift. Welche Herleitung meinst du? -- Stephan Kulla 13:44, 22. Feb. 2017 (CET)

"vom Blitz getroffen"

Die Erklärung vom Blitz getroffen zu werden ist etwas unglücklich. Aufgrund der hohen Energieeinwirkung bei einem Blitzeinschlag in den menschlichen Körper ist davon auszugehen, dass dieser den Blitzeinschlag nicht überlebt. Die Menschen die einen Blitzschlag überleben, wurden mit Sicherheit nicht von diesem direkt getroffen. Ein Einschlag kann hier "nur" in näherer Umgebung stattgefunden haben.