Diskussion:Mathe für Nicht-Freaks: Summe und Produkt

"Eselsbrücke" bei leeren Summen und Produkten

Was soll das mit der unsäglichen Eselsbrücke bei leeren Produkten und Summen? Man kann das doch viel sinnvoller erklären: Hier mal für Produkte: Hinzunahme eines Faktors zu einem Produkt entspricht der Multiplikation des vorherigen Produkts mit dem neuen Faktor. Umgekehrt entspricht der Wegnahme eines Faktors eine Division durch den weggenommenen Faktor. Startet man nun bei einem Produkt aus nur einem Faktor (das als Ergebnis diesen Faktor hat), ergibt sich der Wert des leeren Produkts ganz natürlich. Man braucht weder mit aus der Luft gezauberten Eselsbrücken, noch mit den darin enthaltenen neutralen Elementen zu argumentieren. Damit muss man erst in abstrakteren Fällen anfangen, wo man beispielsweise keine Division hat. --Daniel5Ko 23:32, 17. Feb. 2011 (CET)

Hallo Daniel5Ko,

Danke für dein Feedback. Ich nehme erst einmal ein Beispiel, um zu überprüfen, ob ich dich richtig verstanden habe. Um zu erklären, dass $\prod _{k=1}^{0}2=1$ ist, würdest du folgendermaßen argumentieren: $\prod _{k=1}^{1}2=2$. Wenn man nun den Endwert des Produkts von 1 auf 0 vermindert, so muss man das ursprüngliche Ergebnis mit zwei dividieren. So erhält man $\prod _{k=1}^{0}2={\frac {\prod _{k=1}^{1}2}{2}}={\frac {2}{2}}=1$.

Hier sehe ich nun folgendes Problem: Nach dieser Argumentation müsste dann $\prod _{k=1}^{-1}2={\frac {\prod _{k=1}^{0}2}{2}}={\frac {1}{2}}$ sein, obwohl (meines Wissens nach) $\prod _{k=1}^{-1}2=1$ ist. Kannst du dies so nachvollziehen? Grüße, --Stephan Kulla 00:17, 18. Feb. 2011 (CET)

Ohne Produktzeichen, sondern mit Malpunkten wär's vermutlich am besten nachzuvollziehen. Vielleicht auch mit 3 Faktoren anfangen und dann immer mehr wegnehmen. Vielleicht auch nicht mit konkreten Zahlen, sondern mit Variablen als Faktoren arbeiten. Dass da das neutrale Element 'rauskommt, kann man vielleicht danach erwähnen (Weil Division das selbe wie Mult. mit dem Reziproken ist etc., und weil Inverse ja gerade durch ihren Bezug zum neutralen Element und der Operation definiert werden)

Nur mal so'n paar Ideen... --Daniel5Ko 20:54, 18. Feb. 2011 (CET)

Okay. Ich denke aber, dass ich dies nicht in das Buch aufnehmen werde. Zum einen, wegen der vorgestellten Problematik, dass mit dieser Methode nicht alle leeren Produkte und Summen korrekt ausgerechnet werden ($\prod _{k=1}^{-1}2$ wäre dann ${\tfrac {1}{2}}$ und nicht 1). Zum anderen sehe ich beim Produkt Probleme, wenn 0 irgendwie als Faktor im Produkt auftritt (0 besitzt kein multiplikatives Inverse). So hätte das Produkt $\prod _{k=1}^{0}(1-k)$ keinen wohldefinierten Wert. Aber trotzdem Danke für deine Idee. Grüße Stephan Kulla 00:26, 20. Feb. 2011 (CET)

Es ist überhaupt nichts an $\prod _{k=1}^{-1}2={\tfrac {1}{2}}$ auszusetzen. Es entspricht lediglich nicht der gängigen Konvention. Und erwähnen muss man das ja nicht, wenn man erklären will, warum das leere Produkt 1 ist. Die 0 ist natürlich ein Problem, aber das ist eh klar. $\prod _{k=1}^{0}(1-k)$ hat aber übrigens einen wohldefinierten Wert: 1. Das leere Produkt ist das leere Produkt, auch wenn man über dessen Faktoren alles mögliche aussagen kann. Das leere Produkt, in dem alle Faktoren 2 sind, ist das selbe wie das, wo alle Faktoren 0 sind. (Man beachte, dass ein gewaltiger Unterschied entsteht, wenn man vom leeren Produkt, in dem ein Faktor 0 vorkommt, spricht. Sowas existiert nicht.) Gruß, --Daniel5Ko 20:57, 20. Feb. 2011 (CET)