Diskussion:Mathe für Nicht-Freaks: Supremum und Infimum

Definition Supremum in Halbordnungen

Warum verwendet der Artikel nicht die allgemein für Halbordnungen übliche Supremums- (etc.-) Definition, also: $s$ Supremum von $M$ wenn

• $\forall x\in M.\ x\leq s$ und
• für alle $t$, $(\forall x\in M.\ x\leq t)\implies s\leq t$?

Oder gar die ganz elegante und häufig praktische Form: $s$ ist Supremum von $M$, wenn für alle $t$:

• $s\leq t\Longleftrightarrow \forall x\in M.\ x\leq t$?

Was im Artikel steht, ist doch nur äquivalent, wenn man sich auf lineare Ordnungen und klassische Logik beschränkt!?

Da Unlernen so ungefähr das schwierigste überhaupt ist, und auf der anderen Seite wahrscheinlich nichts komplizierter wird (letzteres habe ich nicht im Detail geprüft), sollte m.E. die allgemeinere Definition verwendet werden. Zuallermindest sollte z.B. der dritte Punkt in geeigneter Weise als Übungsaufgabe auftauchen. --Daniel5Ko 22:41, 13. Sep. 2014 (CEST)

Ich verwende dieselbe Definition, wie sie der Königsberger in seinem Analysis 1-Buch verwendet und wie ich sie im Studium kennen gelernt habe. Funktioniert den die hier dargestellte Definition in Halbordnungen nicht? Stephan Kulla 23:01, 13. Sep. 2014 (CEST) PS: Forster verwendet die erste von dir genannte Definition

Nein, sie funktioniert für Posets nicht. Nimm das Poset $\{a<s>b\}$. $s$ ist hier Supremum von $\{a,b\}$, nach der im Artikel gegeben Definition jedoch nicht. --Daniel5Ko 20:41, 14. Sep. 2014 (CEST)

Dann überlege ich mir das mal für die Zukunft (habe eine Notiz auf Mathe für Nicht-Freaks: Aktuelle Aufgaben geschrieben). Jedoch habe ich das Gefühl, dass mit der anderen Definition die Beweise komplexer sind. Nehme zum Beispiel die Menge $\{{\tfrac {1}{n}}:n\in \mathbb {N} \}$. Um zu zeigen, dass 0 Infimum ist, müsste man zeigen, dass aus $t\leq {\tfrac {1}{n}}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ folgt, dass $t\leq 0$. Dies geht natürlich aus Grenzwertbetrachtungen, also aus $(\forall n\in \mathbb {N} :t\leq a_{n})\Rightarrow t\leq \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}$, aber für dieses Kapitel ist der Begriff der Konvergenz noch nicht bekannt und ich möchte ihn nicht zur Voraussetzung machen. Kann mir aber gut vorstellen, einen Abschnitt zu Halbordnungen zu schreiben, wo ich obige Definition unterbringe. Kann aber dauern, bis ich den Abschnitt schreiben werde... (Vielleicht hast du ja Lust  ). Viele Grüße, Stephan Kulla 03:58, 15. Sep. 2014 (CEST)

Naja, wenn irgendwas tatsächlich komplizierter wird, kann man ja zur Not auch irgendwo global bemerken, dass in linearen Ordnungen, um die es hier wohl hauptsächlich geht, $x<y$ und $y\not \leq x$ äquivalent sind. Die im Artikel gegebene Definition erhält man unter dieser Voraussetzung aus der "richtigen". Demzufolge funktionieren natürlich auch die vorhandenen Beweise in diesem Kontext. --Daniel5Ko 09:24, 15. Sep. 2014 (CEST)

Übrigens geht der Eindeutigkeitsnachweis mit der richtigen Definition trotz größerer Allgemeinheit viel kürzer und simpler als der vor kurzem eingefügte (vor allen Dingen kommen nicht gefühlte 100 Negationen vor):

Wenn $s_{1}$ und $s_{2}$ Suprema von $M$ sind, gilt für beliebige $t$:

$s_{1}\leq t\Longleftrightarrow (\forall x\in M.\ x\leq t)\Longleftrightarrow s_{2}\leq t$.

Mit $t=s_{1}$ folgt $s_{2}\leq s_{1}$, und mit $t=s_{2}$ folgt $s_{1}\leq s_{2}.\quad \square$

--Daniel5Ko 21:49, 20. Sep. 2014 (CEST)

Zunächst arbeiten wir ja alles nur schön und brav für $\mathbb {R}$ aus, da sind beide Definitionen völlig äquivalent. Aber du hast Recht, dass deine Definition sehr häufig auftritt, wahrscheinlich häufiger sogar als die im Artikel verwendete...

Ich werd mir mal die Tage den Spaß machen, diese Äquivalenz als Satz auf der Seite einzubringen und zu beweisen. Dann kann man beide Darstellungen verwenden und spätere Aussagen mit derjenigen beweisen, die ienfacher zu handhaben ist...

Danke für die Anmerkung. :)

--Paul Stapor 20:13, 21. Sep. 2014 (CEST)

@Paul Stapor: Man könnte ja einen Abschnitt mit dem Namen „Suprema in Halbordnungen“ erstellen, wo man diesen Satz beweist. Hier sollte man kurz erklären, was Halbordnungen sind, und wieso die andere Definition hier nicht funktioniert und welche Besonderheiten gelten (bspw. sind maximale Elemente keine Suprema mehr). Grüße Stephan Kulla 13:39, 24. Sep. 2014 (CEST)

Algemeines Feedback zum Projekt, Januar 2015

Hi Mädels, warum heisst das eigentlich Mathe für Nicht-Freaks? Wieso Nicht-Freaks? Auch kommt es mir vor als würde die Seite seit 50 Jahren die selben Themen behandeln, wie wärs mal mit "Analysis 2" oder etwas ähnlich absurd abstraktes. Zusätzlich kann man viele der Erklärten Konzepte hier in ca. einem halben Satz verständlich erklären anstatt über 500 Seitige monologe mit farbigen ablenkenden Symbolen. So das wars. Danke für die Aufmerksamkeit.--Lexikon-Duff 01:59, 31. Jan. 2015 (CET)

@Lexikon-Duff: Dann lade ich dich ein, uns praktisch zu zeigen, dass du die hier besprochenen Konzepte wirklich mit wenigen Sätzen verständlich erklären kannst. Kürzungen sind immer gern gesehen, wenn dabei die Verständlichkeit erhalten bleibt. Ich bezweifle, dass du damit erfolgreich sein wirst, aber lasse mich gerne von dir vom Gegenteil überzeugen...   Viele Grüße, Stephan Kulla 03:42, 31. Jan. 2015 (CET) PS: Die Projektseite sollte deine ersten Fragen beantworten.

Fehler: weil das Supremum die kleinste aller „darüber liegenden“ Zahlen ist.

Gegenbeispiel: Im Intervall [0,1] ist 1 ein Maximum und laut Einleitung somit automatisch auch ein Supremum. Es ist aber nicht das "kleinste der darüber liegenden Zahlen", wie es in der Einleitung steht. --2003:6D:CF47:2C01:D9AC:CD63:99BF:7203 00:40, 7. Apr. 2015 (CEST)

Hallo, Danke für dein Feedback. Ich habe die Einleitung gerade angepasst. Passt es jetzt aus deiner Sicht? -- Stephan Kulla 23:25, 7. Apr. 2015 (CEST)