Einführung in die Funktionentheorie/ Druckversion

Einführung in die Funktionentheorie

Siegfried Petry

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Folgen und Reihen mit komplexen Gliedern

Einleitung

Die Lehre von den Zahlenfolgen gehört schon "im Reellen" nicht gerade zu den unterhaltsamsten und aufregendsten Gebieten der Mathematik, und daran ändert sich auch nichts, wenn man sie auf komplexe Zahlen ausdehnt. Aber erst durch die theoretische Durchdringung der Zahlenfolgen ist eine gründliche und sichere Grundlegung der Analysis (Differential- und Integralrechnung) und der Funktionentheorie (Analysis komplexer Funktionen) möglich geworden. Auch haben dadurch die Analysis und die Funktionentheorie erst die begriffliche Schärfe und die Konsistenz der Beweisführung gewonnen, die seit Euklid für die älteren Gebiete der Mathematik so kennzeichnend sind und als unerlässlich gelten.

Um den Umfang dieses Buches nicht zu groß werden zu lassen, habe ich schweren Herzens auf die Beweise der Lehrsätze verzichtet, obwohl ich weiß, dass dadurch ein Teil fehlt, der für die Schulung mathematischen Denkens unverzichtbar ist. Ich erwäge jedoch, bei Interesse und entsprechender Nachfrage die Beweise in einem Anhang zusammenzustellen.

Das Studium der komplexen Zahlen hat gezeigt, dass man mit ihnen wie mit reellen Zahlen rechnen kann. Dabei gibt es lediglich zwei Ausnahmen:

• Bei Potenzen mit irrationalen Exponenten gelten die bekannten Rechenregeln nicht,
• die Kleiner/Größer-als-Relation kann nur auf die Beträge

$r_{n}=\left|{z_{n}}\right|$

der komplexen Zahlen angewendet werden.

Im Übrigen aber gilt, dass es bei allen mit Buchstabengrößen angestellten Berechnungen gleichgültig ist, ob ein darin auftretender Buchstabe z eine reelle oder eine komplexe Zahl darstellt.

So gelten z. B. der binomische Lehrsatz, die Lehre von den Determinanten und die Verfahren zur Lösung von Systemen linearer Gleichungen unverändert auch "im Komplexen".

Dies lässt vermuten, dass auch andere Gebiete der Mathematik auf komplexe Zahlen ausgedehnt werden können. Dass dies tatsächlich der Fall ist, wird in diesem Buch zunächst für die unendlichen Zahlenfolgen und Reihen gezeigt. Damit wird – wie sich erweisen wird – der Mathematik ein neues und überaus fruchtbares Gebiet erschlossen, das auch von großer praktischer Bedeutung ist.

Oft ist mit der Zulassung komplexer Zahlen auch eine erhebliche Vereinfachung und Abrundung der Theorie verbunden. Beispiele dafür sind die (nun) unbeschränkte Gültigkeit des Fundamentalsatzes der Algebra und die Tatsache, dass das Wurzelziehen ausnahmslos möglich ist, wenn man das Zahlensystem um die komplexen Zahlen erweitert.

Schließlich werden sich im Folgenden überraschende Zusammenhänge zwischen wichtigen Zahlen (e und π) sowie zwischen ganz unterschiedlichen Funktionen zeigen.

 

Unendliche Zahlenfolgen mit komplexen Gliedern

Definition Zahlenfolge

Wenn durch irgendeine Vorschrift jeder natürlichen Zahl 1, 2, 3, ... eine bestimmte Zahl z₁, z₂, z₃, ... zugeordnet ist, so bilden diese Zahlen eine (unendliche) Zahlenfolge.

Eine Zahlenfolge (kurz auch Folge genannt) wird bezeichnet mit

$\left({x_{1},\;x_{2},\;...}\right)\;{\mbox{oder}}\;\left({x_{n}}\right).$

Beispiele für komplexe Zahlenfolgen sind:

$\left({z_{n}}\right)=\left({\frac {1+i}{n}}\right),\quad \quad \left({z_{n}}\right)=\left({\left({1+i}\right)^{n}}\right),\quad \quad \left({z_{n}}\right)=\left({\frac {1+ni}{n!}}\right).$

Eine Zahlenfolge (z_n) heißt beschränkt, wenn es eine positive Zahl S gibt, sodass für alle n

$\left|{z_{n}}\right|\leq S$

ist.

S heißt dann eine Schranke für die Beträge der Glieder der Folge.

Zur Veranschaulichung einer Zahlenfolge kann die dazu gehörige Punktfolge in der komplexen Zahlenebene dienen.

Nullfolgen

Definition Nullfolge

Eine Zahlenfolge wie z. B.

$\left({1+i,\quad {\frac {1+i}{2}},\quad {\frac {1+i}{3}},\;\ldots \;}\right)=\left({\frac {1+i}{n}}\right),$

deren Glieder mit wachsender Nummer n sich unbeschränkt der Null nähern, heißt eine Nullfolge. Doch was bedeutet "sich unbeschränkt der Null nähern"? Es gibt einige sehr viel schlechtere Beschreibungsweisen des damit gemeinten Sachverhalts, aber nur eine bessere, die wirklich aussagekräftig ist und sich durchgesetzt hat. Diese lautet:

Eine Zahlenfolge (z_n) heißt Nullfolge, wenn sich für jede positive Zahl ε immer eine Zahl n₀ angeben lässt, sodass für

${\mbox{alle }}n\geq n_{0}\quad \quad \left|{z_{n}}\right|<\varepsilon$

ist.

Im obigen Beispiel ist

$\left|{z_{n}}\right|={\frac {\sqrt {2}}{n}},$

und es ist

${\frac {\sqrt {2}}{n_{0}}}<\varepsilon ,\quad {\mbox{wenn}}\quad n_{0}>{\frac {\sqrt {2}}{\varepsilon }}$

ist. Diese Gleichung liefert für jeden Wert von ε - und sei er noch so klein - eine Nummer n₀, von der an stets

$\left|{z_{n}}\right|<\varepsilon$

ist.

Die zu den Zahlen z_n mit n >= n₀ gehörigen Punkte der Zahlenebene liegen alle "innerhalb einer ε-Umgebung von 0", das heißt, innerhalb eines Kreises um 0 mit dem Radius ε.

Sätze über Nullfolgen

Es gelten im Wesentlichen die gleichen Sätze wie für reelle Nullfolgen. Sie lassen sich mit etwas "Epsilontik" leicht beweisen.

1. Jede Nullfolge ist eine beschränkte Zahlenfolge.

2. Ist (z_n) eine Nullfolge und (y_n) irgendeine beschränkte Zahlenfolge, so ist auch die Folge (z '_n) mit den Gliedern

$z'_{n}=y_{n}\cdot z_{n}$

eine Nullfolge.

3. Es sei (z_n) eine Nullfolge und (z '_n) eine zu untersuchende Zahlenfolge. Ferner sei die Ungleichung

$\left|{z'_{n}}\right|\leq K\left|{z_{n}}\right|,$

wobei K eine bestimmte positive Zahl ist, für "fast alle n " (das soll heißen: für alle n >= n₀) erfüllt, dann ist auch (z '_n)eine Nullfolge.

4. Sind (z_n) und (z '_n) zwei Nullfolgen, so sind auch die Folgen mit den Gliedern

$z_{n}\pm z'_{n}\quad {\mbox{und}}\quad z_{n}\cdot z'_{n}$

Nullfolgen. Dafür sagt man kurz: Nullfolgen dürfen gliedweise addiert, subtrahiert und multipliziert werden.

Definition Konvergenz einer Zahlenfolge

Eine Zahlenfolge (z_n), zu der es eine Zahl ζ von der Art gibt, dass die Folge

$\left({z_{n}-\zeta }\right)$

eine Nullfolge ist, heißt konvergent mit dem Grenzwert (oder Limes) ζ. Diesen Sachverhalt beschreibt man auch so:

$z_{n}\to \zeta \quad {\mbox{wenn}}\;n\to \infty \quad {\mbox{oder}}\quad \lim _{n\to \infty }z_{n}=\zeta .$

(Der erste Teil wird gelesen: z_n geht gegen ζ, wenn n gegen unendlich geht, das heißt: unbeschränkt wächst.)

Ersetzt man oben den Begriff der Nullfolge durch deren Definition, so kann man auch sagen:

Eine Zahlenfolge (z_n) konvergiert gegen ζ, wenn man für jede beliebige (oder beliebig kleine) positive Zahl ε eine Zahl n₀ angeben lässt, sodass für alle n >= n₀ (oder "für fast alle n ")

$\left|{z_{n}-\zeta }\right|<\varepsilon$

ist.

Sätze über konvergente Zahlenfolgen

1. Wenn eine Zahlenfolge gegen eine Zahl ζ konvergiert, kann sie nicht gleichzeitig gegen eine andere Zahl η konvergieren (Eindeutigkeit der Konvergenz).

2. Eine konvergente Zahlenfolge ist stets eine beschränkte Zahlenfolge.

3. Sind (z_n) und (z '_n) konvergente Folgen mit den Grenzwerten ζ bzw. ζ', so sind auch die Folgen (z_n + z '_n) und (z_n - z '_n) konvergent mit den Grenzwerten ζ + ζ' bzw. ζ - ζ'. Kurzfassung: Aus

$z_{n}\to \zeta \quad {\mbox{und}}\quad z'_{n}\to \zeta '\quad \Rightarrow \quad z_{n}\pm z'_{n}\to \zeta \pm \zeta '.$

4. Unter den gleichen Voraussetzungen wie oben gilt ferner

$z_{n}\cdot z'_{n}\to \zeta \cdot \zeta '$

und wenn außerdem alle

$z'_{n}\neq 0\quad {\mbox{und}}\quad \zeta '\neq 0\quad {\mbox{gilt}}\quad {\frac {z_{n}}{z'_{n}}}\to {\frac {\zeta }{\zeta '}}.$

5. Jede durch Umordnung einer konvergenten Zahlenfolge (z_n) entstandene Zahlenfolge und jede Teilfolge (z '_n) von (z_n) ist ebenfalls konvergent und hat denselben Grenzwert wie diese.

6. Eine Zahlenfolge (z_n) werde in zwei Teilfolgen (z '_n) und (z ' '_n) zerlegt. Wenn diese beiden konvergent sind und denselben Grenzwert ζ haben, so ist auch (z _n) konvergent mit dem Grenzwert ζ.

7. Ist (z_n) eine konvergente Zahlenfolge mit dem Grenzwert ζ und geht die Folge (z '_n) aus ihr durch endlich viele Änderungen hervor, so ist auch (z '_n) konvergent mit dem Grenzwert ζ.

Definition divergente Zahlenfolgen

Jede Zahlenfolge (z_n), die nicht gegen einen bestimmten (endlichen) Wert ζ konvergiert, heißt divergent.

Konvergenzkriterien

1. Eine Zahlenfolge

$\left({z_{n}}\right)=\left({x_{n}+i\,y_{n}}\right),$

wobei (x_n) und (y_n) reelle Zahlenfolgen sind, ist genau dann konvergent, wenn sowohl (x_n) als auch (y_n) konvergent sind. Dann ist

$\lim \left({z_{n}}\right)=\lim \left({x_{n}}\right)+i\,\lim \left({y_{n}}\right).$

2. Eine Zahlenfolge (z_n) ist genau dann konvergent, wenn sich für (jede noch so kleine) positive Zahl ε eine Zahl n₀ angeben lässt, sodass

$\left|{z_{n'}-z_{n}}\right|<\varepsilon$

ist, wenn

$n{\mbox{ und }}n'\geq n_{0}{\mbox{ sind}}{\mbox{.}}$

 

Unendliche Reihen mit komplexen Gliedern

Unter einer unendlichen Reihe versteht man – wie im Reellen – eine Summe mit unbeschränkt vielen Summanden, die nach einer bestimmten Vorschrift (Bildungsgesetz) berechnet wurden. Diese Summanden sind jetzt komplexe Zahlen:

$\sum _{n=1}^{\infty }{z_{n}}\equiv z_{1}+z_{2}+\cdots +z_{n}+\cdots .$

Da eine Summe mit unbeschränkt vielen Summanden nicht berechnet werden kann, ist dieser Ausdruck zunächst unbestimmt. Zur Behebung dieser Schwierigkeit wird der Begriff der Teilsumme der unendlichen Reihe eingeführt. Die Teilsummen sind der Reihe nach:

$s_{1}=z_{1},\quad s_{2}=z_{1}+z_{2},\quad s_{3}=z_{1}+z_{2}+z_{3}=s_{2}+z_{3},\;\;\ldots \;\;s_{n}=s_{n-1}+z_{n}.$

Sodann wird die Folge der Teilsummen auf ihre Konvergenz hin untersucht und gegebenenfalls ihr Grenzwert bestimmt. (Auf diese Weise wird das Problem der Summation von unbeschränkt vielen Summanden auf die Grenzwertbestimmung einer Zahlenfolge zurückgeführt.)

Wenn die Folge der Teilsummen

$\left({s_{1},\;s_{2},\;s_{3},\ldots }\right)$

gegen einen Grenzwert S konvergiert, dann bezeichnet man die unendliche Reihe als konvergent, anderenfalls als divergent. Im ersten Fall nennt man den Grenzwert S der Folge den "Wert der unendlichen Reihe" und schreibt dies:

$\sum _{n=1}^{\infty }{z_{n}}=S.$

Eine unendliche Reihe komplexer Zahlen besteht aus einer unendlichen Reihe reeller Zahlen (den Realteilen der Glieder der Reihe) und aus einer unendlichen Reihe imaginärer Zahlen (den mit i multiplizierten Imaginärteilen der Glieder):

$\sum _{n=1}^{\infty }{z_{n}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\Re (z_{n})}+\sum _{n=1}^{\infty }{i\Im }(z_{n}).$

Daher gilt:

Eine Reihe mit komplexen Gliedern ist genau dann konvergent, wenn die aus den reellen bzw. aus den imaginären Teilen ihrer Glieder gebildeten Reihen konvergent sind. Wenn die Werte der beiden Teilreihen s bzw. s 'sind, hat die ursprüngliche Reihe den Wert S = s + i s' .

Ein analoger Satz gilt für die absolute Konvergenz einer Reihe mit komplexen Gliedern. (Eine Reihe mit komplexen Gliedern heißt absolut konvergent, wenn auch die Reihe konvergiert, deren Glieder gleich dem Betrag der entsprechenden Glieder der ursprünglichen Reihe sind. – Die neue Reihe hat lauter positive reelle Glieder.)

Komplexe Potenzreihen

Eine komplexe Potenzreihe ist eine Reihe von der Art

$\sum _{n=0}^{\infty }{a_{n}\left({z-z_{0}}\right)^{n}}\equiv a_{0}+a_{1}\left({z-z_{0}}\right)+a_{2}\left({z-z_{0}}\right)^{2}+\cdots ,$

wobei die Koeffizienten a_n sowie z und z₀ beliebige komplexe Zahlen sind. Dabei werden die Koeffizienten a_n sowie die Zahl z₀ als konstant angesehen, z dagegen als variabel.

Diese Reihe wird auch als Potenzreihe in (z – z₀) bezeichnet oder als Potenzreihe mit dem Mittelpunkt z₀.

Ob eine Potenzreihe (oder die Folge ihrer Teilsummen) konvergiert, hängt einerseits von den Koeffizienten a_n, andererseits im Allgemeinen auch von z ab. Ein Wert (oder ein Punkt) z, für den die Potenzreihe konvergiert, heißt Konvergenzpunkt; ein Wert, für den sie divergiert, heißt Divergenzpunkt der Reihe. Es gibt Reihen, die überall (d. h. für alle Werte z oder in jedem Punkt der Zahlenebene) konvergieren und solche, die nirgends (außer in z₀) konvergieren.

Für jede Reihe der oben angegebenen Art, die weder überall noch nirgends (außer in z₀) konvergiert, gibt es eine bestimmte positive Zahl r derart, dass die Reihe für jedes z,

für das

$\left|{z-z_{0}}\right|<r{\mbox{ ist}}{\mbox{, absolut konvergiert}}{\mbox{,}}$

für jedes z, für das

$\left|{z-z_{0}}\right|>r{\mbox{ ist}}{\mbox{, divergiert}}{\mbox{.}}$

Die den Zahlen z entsprechenden Punkte liegen innerhalb bzw. außerhalb des Kreises um z₀ mit dem Radius r. Dieser Kreis heißt der Konvergenzkreis der Reihe, sein Radius heißt Konvergenzradius.

Für die Punkte auf dem Rand des Konvergenzkreises sind keine allgemeinen Aussagen möglich. Sie erfordern von Fall zu Fall eine eigene Untersuchung.

Der Wert einer Potenzreihe ist eine Funktion der Variablen z; ihr Definitionsbereich ist der Konvergenzkreis der Reihe. Darüber mehr im 2. Teil.

Funktionen einer komplexen Veränderlichen

Definitionen

Funktion einer komplexen Veränderlichen

Einer Menge M von komplexen Zahlen z sei durch eine bestimmte Rechenvorschrift f je genau eine komplexe Zahl w zugeordnet. Dann bezeichnet man die Größe w als eine Funktion der Größe z und schreibt dies:

$\quad w=f(z).$

Die Menge M heißt Definitionsbereich D der Funktion f(z). Die Menge aller Zahlen, welche die "abhängige Variable" w annimmt, wenn die "unabhängige Variable" z alle Werte des Definitionsbereichs durchläuft, heißt Wertebereich W der Funktion. Die Zahl w, die durch die Funktion einer Zahl z zugeordnet ist, heißt der zu z gehörige Funktionswert w(z).

Es sei f eine Funktion von z und w der Funktionswert von z. Setzen wir

$z=x+i\,y\quad {\mbox{und}}\quad w=u+i\,v,$

so sind u und v reelle Funktionen der beiden reellen Variablen x und y:

$u=u(x,y),\quad v=v(x,y).$

Man nennt u den reellen und v den imaginären Teil der Funktion f(z). (Der zweite Name ist natürlich nicht ganz korrekt, denn der "imaginäre Teil" ist ja eine reelle Funktion - genauso wie der "Imaginärteil" einer komplexen Zahl eine reelle Zahl ist. Aber diese Namenskonventionen sind bequem und haben sich daher durchgesetzt.)

Da wir es bei Funktionen einer komplexen Veränderlichen mit vier Variablen (x, y, u, v) zu tun haben, ist eine bequeme Veranschaulichung, wie wir sie von reellen Funktionen mit zwei oder auch drei Variablen kennen, nicht möglich. Bei einer Funktion f(x, y) von zwei reellen unabhängigen Variablen lässt sich ein Funktionswert z = f(x, y) als "Höhe" eines Punktes über der XY-Ebene darstellen, und die Gesamtheit der Funktionswerte bildet eine Fläche (ein "Gelände") im Raum. Bei Funktionen einer komplexen Variablen dagegen sind die Funktionswerte ebenfalls komplexe Zahlen, die sich als Punkte in der UV-Ebene darstellen lassen. Diese Punkte müssen dann auf irgendeine Weise mit den jeweils dazugehörigen Punkten der XY-Ebene verknüpft werden. Dies kann etwa dadurch geschehen, dass man für eine Anzahl von Kurven in der XY-Ebene (z. B. für die Geraden eines Gitternetzes) die dazugehörigen Bildkurven in der UV-Ebene konstruiert und zusätzlich eine Auswahl einander entsprechenden Punkten markiert.

Beispiel:

$f(z)=e^{z}=e^{x+i\,y}=e^{x}\cdot e^{i\,y}=e^{x}\left({\cos y+i\sin y}\right)$

 

Grenzwert einer Funktion einer komplexen Veränderlichen

Wie bei den reellen Funktionen spielt auch hier der Begriff des Grenzwerts eine wichtige Rolle, und er wird hier analog wie dort definiert:

Dem Definitionsbereich D einer Funktion f werde eine Zahlenfolge (z_n) entnommen, die dem Grenzwert ζ zustrebt und deren Glieder sämtlich von ζ verschieden seien. Wenn für alle solche Zahlenfolgen die Folge (w_n) der dazu gehörigen Funktionswerte w_n = f(z_n) demselben Grenzwert ω zustrebt, dann sagt man, es sei der Grenzwert von f(z) für z gegen ζ gleich ω, und schreibt dies:

$\lim _{z\to \zeta }f(z)=\omega .$

Dieser Sachverhalt kann auch so ausgedrückt werden:

Für jede (noch so kleine) positive Zahl ε lässt sich stets eine andere positive Zahl δ angeben, so dass für

$\left|{z-\zeta }\right|<\delta \quad {\mbox{stets}}\quad \left|{f(z)-\omega }\right|<\varepsilon \quad {\mbox{ist}}{\mbox{.}}\quad \quad \left({z\in D}\right)$

 

Stetigkeit

Eine Funktion f(z) einer komplexen Veränderlichen z ist an der Stelle z = ζ stetig, wenn stets

$\lim _{z\to \zeta }f(z)=f(\zeta )$

ist. ("Stets" bedeutet hier: für jeden beliebigen Weg der Annäherung an den Wert ζ.)

Anders ausgedrückt: An einer Stelle, an der die Funktion stetig ist, fällt der Grenzwert der Funktion bei Annäherung an die Stelle ζ stets mit dem Funktionswert an der Stelle ζ zusammen.

Ist eine Funktion an jeder Stelle des Definitionsbereichs D stetig, so sagt man, sie sei im ganzen Definitionsbereich stetig.

Wie bei den reellen Funktionen gilt:

• Jedes Polynom einer komplexen Veränderlichen z ist in der ganzen z-Ebene stetig.

• Eine rationale Funktion von z ist überall dort stetig, wo sie definiert ist.

• Eine Funktion f(z) = u(x, y) + i v(x, y) ist genau an den Stellen stetig, an denen die reellen Funktionen u und v stetig sind.

 

Potenzreihen als Funktionen einer komplexen Veränderlichen

Eine (komplexe) Potenzreihe (siehe 1. Teil)

$\sum _{n=0}^{\infty }{a_{n}\left({z-z_{0}}\right)^{n}}\equiv a_{0}+a_{1}\left({z-z_{0}}\right)+a_{2}\left({z-z_{0}}\right)^{2}+\cdots +a_{n}\left({z-z_{0}}\right)^{n}+\cdots$

mit dem Mittelpunkt z₀ und einem Konvergenzradius r > 0 hat für jeder Stelle z im Innern ihres Konvergenzkreises einen bestimmten Wert. Also wird durch die Potenzreihe jedem Wert z im Innern des Konvergenzkreises ein bestimmter Zahlenwert w zugeordnet. Genau dies ist aber das Kennzeichen einer Funktion. Also definiert die Potenzreihe im Innern ihres Konvergenzkreises eine bestimmte Funktion

$\quad w=f(z).$

Von dieser Funktion sagt man, sie sei durch die Potenzreihe dargestellt oder (in besonderen Fällen) sie sei in die Potenzreihe entwickelt.

Die durch Potenzreihen dargestellten oder darstellbaren Funktionen heißen analytische Funktionen.

Analytische Funktionen sind im Innern ihres Konvergenzkreises stetig und differenzierbar.

 

Polynomfunktionen

Eine Funktion $p:{\mathbb {C} }\to {\mathbb {C} }$, die durch einen Ausdruck der Form

$p(z)=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\cdots +a_{n}z^{n}$

gegeben ist, heißt Polynomfunktion. Man kann Polynomfunktionen auffassen als Potenzreihen, bei denen nur endlich viele Koeffizienten von null verschieden sind.

Der Fundamentalsatz der Algebra

Jedes Polynom in $\mathbb {C} [z]$

$p(z)=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\cdots +a_{n}z^{n}$

dessen Grad $n\geq 1$ ist, hat mindestens eine Nullstelle. Das heißt: Wenn n eine natürliche Zahl ist und $a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}$ beliebige komplexe Zahlen sind und $n\geq 1$ ist, so gibt es mindestens eine komplexe Zahl ζ, für die

$p\left(\zeta \right)=a_{0}+a_{1}\zeta +a_{2}\zeta ^{2}+\cdots +a_{n}\zeta ^{n}=0$

ist.

Zerlegung ganzer rationaler Funktionen in Linearfaktoren

Gegeben sei eine ganze rationale Funktion n-ten Grades der komplexen Veränderlichen z

$p(z)=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_{0},\quad \quad \left({a_{n}\neq 0,\quad n\geq 1}\right)$

und es sei z₁ eine Nullstelle des Polynoms.

Dann ist, wie man leicht zeigen kann, dieses Polynom durch (z – z₁) ohne Rest teilbar. Die Division ergibt ein neues Polynom p₁(z) von (n – 1). Grad, sodass

$\quad p(z)=(z-z_{1})p_{1}(z),$

wobei der Koeffizient des höchsten Gliedes z^n-1 wiederum a_n ist.

Wenn n > 1 ist, so ist (n – 1) > 0, und man kann auf p₁ wiederum den Fundamentalsatz anwenden, wonach auch dieses Polynom mindestens eine Nullstelle z₂ hat, woraus folgt

$\quad p_{1}=(z-z_{2})p_{2}(z),$

und so weiter. Schließlich erhält man für das ursprüngliche Polynom (und die ursprüngliche ganze rationale Funktion) die "Produktdarstellung"

$p(z)=a_{n}\left({z-z_{1}}\right)\left({z-z_{2}}\right)\cdots \left({z-z_{n}}\right).$

Also gilt:

Jedes Polynom n-ten Grades (n>= 1) kann als Produkt von n Polynomen 1. Grades (sog. Linearfaktoren) und des Koeffizienten a_n dargestellt werden.

Daraus folgt sofort, dass ein Polynom n-ten Grades genau n Nullstellen hat, die aber nicht alle verschieden sein müssen. Vielmehr können jeweils mehrere der Nullstellen und damit jeweils mehrere der Linearfaktoren gleich sein.

Bezeichnen wir die voneinander verschiedenen Nullstellen mit ζ₁, ζ₂,..., ζ_k und die Häufigkeit ihres Auftretens der Reihe nach mit ν₁, ν₂,...,ν_k, so können wir die Produktdarstellen des Polynoms so schreiben:

$p(z)=a_{n}\left({z-\zeta _{1}}\right)^{\nu _{1}}\left({z-\zeta _{2}}\right)^{\nu _{2}}\cdots \left({z-\zeta _{k}}\right)^{\nu _{k}}.$

Reelle Polynome einer komplexen Veränderlichen

Ein Polynom einer komplexen Veränderlichen, dessen Koeffizienten a_k alle reell sind, wird ein reelles Polynom genannt.

Hat ein reelles Polynom p(z) eine nicht reelle Nullstelle

$z_{1}=x_{1}+iy_{1},\quad \quad (y_{1}\neq 0)$

so ist auch die zu z₁ konjugierte komplexe Zahl

${\bar {z}}_{1}=x_{1}-iy_{1}$

eine Nullstelle von p(z).

(Dieser Sachverhalt kann so begründet werden, dass beim Ausmultiplizieren der Linearfaktoren die Entstehung eines nicht reellen Koeffizienten nur dann verhindert wird, wenn komplexe Nullstellen paarweise konjugiert komplex auftreten.)

Das reelle Polynom p(z) ist dann durch das reelle Polynom zweiten Grades

$\left[{z-\left({x_{1}+iy_{1}}\right)}\right]\left[{z-\left({x_{1}-iy_{1}}\right)}\right]=\left({z-x_{1}}\right)^{2}+y_{1}^{2}$

ohne Rest teilbar. Der Quotient ist dann wiederum ein reelles Polynom, usw.

Folglich gilt:

Jedes reelle Polynom einer Veränderlichen, dessen Grad größer als 1 ist, kann in ein Produkt reeller Polynome ersten oder zweiten Grades zerlegt werden.

 

Rationale Funktionen

Sind $P$ und $Q\neq 0$ zwei Polynome in ${\mathbb {C} }[X]$, so liefert der Quotient $P/Q$ eine Funktion, die außerhalb der (endlich vielen) Nullstellen von $Q$ definiert ist. Eine solche Funktion nennt man rationale Funktion. Da Potenzreihen in einem Punkt mit einem von null verschiedenen Wert invertierbar sind, die inverse Funktion also selbst durch eine Potenzreihe beschreibbar ist, sind rationale Funktionen analytisch.

Transzendente Funktionen einer komplexen Veränderlichen

Die Exponentialfunktion

Die Potenzreihe

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\;,$

worin x eine reelle Variable ist, ist beständig konvergent und definiert daher eine für alle Werte x stetige Funktion, die mit der Exponentialfunktion e^x identisch ist.

Sie wird nun dazu benutzt, die Exponentialfunktion für komplexe Variable zu definieren. Da eine Potenz mit komplexem Exponenten von sich aus keinerlei Bedeutung hat, dürfte man diese ganz beliebig definieren. Eine solche Definition sollte jedoch nicht willkürlich geschehen, sondern die Zweckmäßigkeit und die Kontinuität berücksichtigen. Das bedeutet in diesem Fall, dass die Definition der Exponentialfunktion mit komplexem Exponenten für den Sonderfall eines reellen Exponenten (der ja auch eine komplexe Zahl ist) mit der Definition für reelle Exponenten übereinstimmt und dass die bisher gültigen Rechengesetze allenfalls erweitert, aber nicht außer Kraft gesetzt werden. Diese (und weitere Gesichtspunkte) berücksichtigt folgende Definition: Es ist

$e^{z}=\exp z=1+{\frac {z}{1!}}+{\frac {z^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {z^{n}}{n!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.$

Zunächst erkennt man, dass die Definition für den Fall, dass z eine reelle Zahl ist, mit der eingangs angegebenen Definition übereinstimmt.

Ferner lässt sich zeigen, dass das Additionstheorem für die Exponentialfunktion weiterhin gilt, d. h. es ist

$e^{z_{1}}\cdot e^{z_{2}}=e^{z_{1}+z_{2}}.$

Ferner wird verabredet, dass für eine reelle Zahl a gelten soll:

$a^{z}\equiv \left({e^{\ln a}}\right)^{z}=e^{z\cdot \ln a}.$

Für eine reelle Zahl y folgt aus der Definition

$e^{iy}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\left({i\,y}\right)^{n}}{n!}}=1+{\frac {i\,y}{1!}}+{\frac {\left({i\,y}\right)^{2}}{2!}}+{\frac {\left({i\,y}\right)^{3}}{3!}}+\cdots ,$

$e^{iy}=1-{\frac {y^{2}}{2!}}+{\frac {y^{4}}{4!}}-{\frac {y^{6}}{6!}}+-\cdots \quad +i\left[{{\frac {y}{1!}}-{\frac {y^{3}}{3!}}+{\frac {y^{5}}{5!}}-{\frac {y^{7}}{7!}}+-\cdots }\right],$

woraus folgt

$\quad e^{iy}=\cos y+i\sin y,$

oder in der meist benutzten Form

$e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi .$

Speziell folgt daraus

$e^{2\pi \,i}=1\,,\quad e^{\pi \,i}=-1\,,\quad e^{{\frac {\pi }{2}}\,i}=i\,,\quad e^{-{\frac {\pi }{2}}\,i}=-i\;.$

Setzt man z = x +i y, so ist

$e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}\cdot e^{iy}=e^{x}\left({\cos y+i\sin y}\right).$

Aus dieser Gleichung kann der Wert von e^z für jedes z berechnet werden.

In der trigonometrischen (oder goniometrischen) Form geschrieben, ist

$e^{z}=r(\cos \varphi +i\sin \varphi ).$

Durch Vergleich der letzten beiden Gleichungen ergibt sich dann

$r=\left|{e^{z}}\right|=e^{x}=e^{\Re (z)}\quad {\mbox{und}}\quad \varphi =y=\Im (z).$

Nach dem Additionstheorem der Exponentialfunktion ist

$e^{z+2\pi \,i}=e^{z}\cdot e^{2\pi \,i},$

und wegen exp (2πi) = exp (k 2π i) = 1 ist

$e^{z+k2\pi \,i}=e^{z},$

wobei k irgendeine ganze (möglicherweise auch negative) Zahl ist.

Die Exponentialfunktion ist also periodisch mit der Periode 2πi. Daher folgt aus

$\quad e^{u}=e^{v},$

dass

$u=v+k\,2\pi \,i$

ist.

Die trigonometrischen Funktionen

Analog zur Exponentialfunktion werden auch die Funktionen sin z und cos z für komplexe Argumente z durch die aus dem Reellen bekannten Potenzreihen eindeutig definiert:

$\cos z=1-{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}-+\cdots ,$

$\sin z=z-{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{5}}{5!}}-+\cdots .$

Ferner wird definiert

$\tan z={\frac {\sin z}{\cos z}}\quad \quad (\cos z\neq 0)$

und

$\cot z={\frac {\cos z}{\sin z}}\quad \quad (\sin z\neq 0).$

Ähnliche Überlegungen und Untersuchungen wie oben bei der Exponentialfunktion bestätigen die Zweckmäßigkeit dieser Definitionen. Insbesondere lässt sich aus den Definitionen herleiten:

Die Eulerschen Formeln gelten auch für komplexe Zahlen z:

$e^{iz}=\cos z+i\sin z,\quad \quad e^{-iz}=\cos z-i\sin z,$

$\sin z={\frac {1}{2i}}\left({e^{iz}-e^{-iz}}\right),\quad \quad \cos z={\frac {1}{2}}\left({e^{iz}+e^{-iz}}\right).$

Die Additionstheoreme für Sinus und Kosinus gelten auch für komplexe Zahlen w und z:

$\sin \left({w\pm z}\right)=\sin w\cos z\pm \cos w\sin z,$

$\cos \left({w\pm z}\right)=\cos w\cos z\mp \sin w\sin z.$

Ebenso gilt

$\quad \sin ^{2}z+\cos ^{2}z=1.$

Durch Anwendung des Additionstheorems auf sin z = sin (x + i y) erhält man zunächst

$\sin \left({x+iy}\right)=\sin x\cos iy+\cos x\sin iy.$

Ersetzt man dann cos iy und sin iy durch die entsprechenden Exponentialfunktionen, so ergibt sich

$\sin \left({x+iy}\right)=\sin x{\frac {1}{2}}\left({e^{-y}+e^{y}}\right)+\cos x{\frac {1}{2i}}\left({e^{-y}-e^{y}}\right)$

und dann – unter Vorgriff auf die Hyperbelfunktionen -

$\sin \left({x+iy}\right)=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y,$

und ebenso

$\cos \left({x+iy}\right)=\cos x\cosh y-i\sin x\sinh y.$

Die Hyperbelfunktionen

Ebenso wie bei den trigonometrischen Funktionen werden bei den Hyperbelfunktionen die Definitionen einfach auf komplexe Argumente übertragen:

$\sinh z={\frac {e^{z}-e^{-z}}{2}},\quad \quad \cosh z={\frac {e^{z}+e^{-z}}{2}}.$

Durch Vergleich ergibt sich auch

$\sinh z={\frac {1}{i}}\sin(iz)\quad \quad {\mbox{und}}\quad \quad \cosh z=\cos(iz).$

Über die Reihenentwicklung der jeweils rechts stehenden trigonometrischen Funktionen ergeben sich die beständig konvergenten Potenzreihen

$\sinh z=z+{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{5}}{5!}}+\cdots \quad {\mbox{und}}\quad \cosh z=1+{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}+\cdots \;.$

 

Differentialrechnung von Funktionen einer komplexen Variablen

Differenzierbarkeit einer Funktion einer komplexen Variablen

Eine Funktion $f$ einer komplexen Variablen sei in einem Gebiet $G$ der Zahlenebene definiert, und es sei $z_{0}$ eine Stelle im Inneren dieses Gebietes.

Wenn der Differenzenquotient

${\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r} \quad z\to z_{0}$

oder – was dasselbe ist – der Differenzenquotient

${\frac {f\left(z_{0}+\Delta z\right)-f\left(z_{0}\right)}{\Delta z}}\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r} \quad \Delta z\to 0$

konvergiert, dann heißt die Funktion $f$ an der Stelle $z_{0}$ differenzierbar. Der Grenzwert heißt (Wert der) Ableitung oder Differentialquotient der Funktion $f$ an der Stelle $z_{0}$. Gebräuchlich sind dafür folgende Bezeichnungen

$f'(z_{0})\quad {\mbox{und}}\quad \quad \left({\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} z}}f\right)_{z_{0}}.$

Beispiel einer Funktion, bei der dies nicht der Fall ist:

$f(z):=\left|z\right|^{2}=x^{2}+y^{2},\ z=x+iy\ .$

$f\left({z+\Delta z}\right)=\left({x+\Delta x}\right)^{2}+\left({y+\Delta y}\right)^{2}\ ,\ \Delta z=\Delta x+i\Delta y\ .$

${\frac {f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}}={\frac {2x\,\Delta x+\left({\Delta x}\right)^{2}+2y\,\Delta y+\left({\Delta y}\right)^{2}}{\Delta z}}={\frac {2x\,\Delta x+\left({\Delta x}\right)^{2}+2y\,\Delta y+\left({\Delta y}\right)^{2}}{\Delta x+i\,\Delta y}}\ .$

Für $\Delta x=0$ (längs der Vertikalen) ist

$\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}}={\frac {2y}{i}}\ ,$

für $\Delta y=0$ (längs der Horizontalen) ist

$\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}}=2x\ ,$

für $\Delta y=\Delta x$ (längs der unter 45° geneigten Geraden) ist

$\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}}={\frac {2x+2y}{1+i}}\ .$

Es gilt ${\frac {2y}{i}}=2x={\frac {2x+2y}{1+i}}$ für (reelle) $x,y$ dann und nur dann, wenn $x=y=0$. Also kann der Grenzwert $\lim _{\Delta z\rightarrow 0}{\frac {f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}}$ für $z\neq 0$ nicht existieren, d. h., $f$ ist in keinem Punkt $z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$ differenzierbar. Für den Nullpunkt gilt die Betrachtung

${\frac {f(\Delta z)-f(z)}{\Delta z}}={\frac {|\Delta z|^{2}}{\Delta z}}={\frac {(\Delta z)({\overline {\Delta z}})}{\Delta z}}={\overline {\Delta z}}\rightarrow 0\ \mathrm {f{\ddot {u}}r} \quad \Delta z\to 0\ .$

Also ist $f$ im Nullpunkt differenzierbar mit $f'(0)=0$.

Ist die Funktion $f$ in einem Gebiet definiert und an jeder Stelle des Gebietes differenzierbar (kurz: „in diesem Gebiet differenzierbar“), dann ist auch die Ableitung der Funktion eine in diesem Gebiet definierte Funktion. Sie wird bezeichnet mit

$f'(z),\quad {\frac {\operatorname {d} f(z)}{\operatorname {d} z}},\quad {\frac {\operatorname {d} f}{\operatorname {d} z}}\ {\mbox{oder}}\ {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} z}}f(z).$

Jede in einem Punkt $z_{0}$ differenzierbare Funktion ist dort auch stetig, aber nicht jede dort stetige Funktion ist auch differenzierbar (siehe unten).

 

Die Differentialgleichungen von Cauchy-Riemann

Es soll nun untersucht werden, unter welchen Bedingungen eine Funktion einer komplexen Variablen differenzierbar ist.

Die Funktion w(z) = f(z) sei in einem Gebiet G definiert und in einem Punkt z₀ im Innern dieses Gebietes differenzierbar.

Es sei

$z=x+i\,y\quad {\mbox{und}}\quad z_{0}=x_{0}+i\,y_{0}.$

Wenn wir die Funktion f(z) wie oben (siehe 2. Teil) in ihren reellen und ihren imaginären Teil zerlegen, so erhalten wir

$f(x+i\,y)=u+i\,v=u(x,y)+i\,v(x,y),$

wobei u und v reelle Funktionen von z und somit auch von x und y sind.

Beispiel:

$w=z^{2}=\left({x+i\,y}\right)^{2}=\underbrace {x^{2}-y^{2}} _{u}+i\,\underbrace {2xy} _{v}.$

 

Wenn die Funktion f(z) an der Stelle z₀ differenzierbar ist, so heißt das, dass der Differenzenquotient

${\frac {f\left({z_{0}+\Delta z}\right)-f\left({z_{0}}\right)}{\Delta z}}$

für Δz gegen 0 einem Grenzwert G zustrebt. Gemäß der Definition der Konvergenz bedeutet dies, dass es für jede (noch so kleine) positive reelle Zahl δ eine reelle Zahl ε gibt, sodass

$\left|{{\frac {f\left({z_{0}+\Delta z}\right)-f\left({z_{0}}\right)}{\Delta z}}-G}\right|<\delta$

wird, wenn

$\left|{\Delta z}\right|<\varepsilon$

ist.

Wir bezeichnen die von Δz abhängige, gegen 0 strebende (komplexe) Differenz zwischen dem Differenzenquotienten und G mit Δ:

${\frac {f\left({z_{0}+\Delta z}\right)-f\left({z_{0}}\right)}{\Delta z}}-G=\Delta \quad \quad (1)$

und stellen auch Δ und G als komplexe Zahlen dar:

$\Delta =\Delta _{1}+i\,\Delta _{2}\quad \quad \left({\Delta _{1},\,\Delta _{2}\quad {\mbox{reell}}}\right),$

$G=G_{1}+i\,G_{2}\quad \quad \left({G_{1},G_{2}\;{\mbox{reell}}}\right).$

Setzen wir ferner

$f(z_{0})=u_{0}+i\,v_{0}\quad {\mbox{und}}\quad f\left({z_{0}+\Delta z}\right)=\left({u_{0}+\Delta u}\right)+i\,\left({v_{0}+\Delta v}\right),$

,

so wird aus Gleichung (1):

${\frac {\left[{u_{0}+\Delta u+i\,\left({v_{0}+\Delta v}\right)}\right]-(u_{0}+i\,v_{0})}{\Delta z}}-\left({G_{1}+i\,G_{2}}\right)=\Delta _{1}+i\,\Delta _{2}.$

Wir multiplizieren nun diese Gleichung mit Δz = Δx + i Δy und trennen dann Realteil und Imaginärteil:

$\left[{u_{0}+\Delta u+i\,\left({v_{0}+\Delta v}\right)}\right]-(u_{0}+i\,v_{0})=\left({\Delta x+i\,\Delta y}\right)\left[{\left({G_{1}+i\,G_{2}}\right)+\Delta _{1}+i\,\Delta _{2}}\right],$

Realteil:

$\Delta u=\Delta x\,G_{1}-\Delta y\,G_{2}+\Delta x\,\Delta _{1}-\Delta y\,\Delta _{2}\quad \quad (2)$

Imaginärteil:

$\Delta v=\Delta x\,G_{2}+\Delta y\,G_{1}+\Delta x\,\Delta _{2}+\Delta y\,\Delta _{1}\quad \quad (3)$

Setzt man in (2) Δy = 0, lässt also nur Veränderungen in x-Richtung zu, und teilt dann durch Δx, so erhält man den partiellen Differenzenquotienten (nach x)

$\left({\frac {\Delta u}{\Delta x}}\right)_{y=konst.}=G_{1}+\Delta _{1}.$

Für Δx gegen 0 geht auch Δ₁ gegen 0, und man erhält die partielle Ableitung nach x

${\frac {\partial u}{\partial x}}\equiv u_{x}=G_{1}.$

Setzt man dagegen in (2) Δx = 0, so erhält man analog die partielle Ableitung nach y

${\frac {\partial u}{\partial y}}\equiv u_{y}=-G_{2}.$

Entsprechend findet man aus (3)

${\frac {\partial v}{\partial x}}\equiv v_{x}=G_{2},\quad \quad {\frac {\partial v}{\partial y}}\equiv v_{y}=G_{1}.$

Durch Vergleich der entsprechenden Gleichungen ergeben sich die Differentialgleichungen von Cauchy-Riemann

$u_{x}=v_{y},\quad \quad u_{y}=-v_{x}.$

 

Aus (1) folgt für Δz gegen 0:

${\frac {\operatorname {d} f}{\operatorname {d} z}}\equiv f'(z)=G\equiv G_{1}+i\,G_{2}$

und weiter

$f'(z)=u_{x}+i\,v_{x}={\frac {1}{i}}\left({u_{y}+i\,v_{y}}\right).$

Die Ableitung f '(z) kann also auf zwei verschiedene Weisen berechnet werden, die nicht notwendig zum selben Wert führen müssen, da die Funktionen u und v voneinander unabhängig sind.

Hieraus folgt: Sind u(x, y) und v(x, y) zwei beliebige , im Gebiet G definierte Funktionen der reellen Veränderlichen x und y, so ist die Funktion

$f(z)=u(x,y)+i\,v(x,y)$

der komplexen Veränderlichen z = x + i y im Allgemeinen nicht differenzierbar, auch wenn die Funktionen u(x, y) und v(x, y) überall in G nach x und y differenzierbar ("vollständig differenzierbar") sind. Für die Differenzierbarkeit von f(z) ist nämlich erforderlich, dass die Differentialgleichungen von Cauchy-Riemann erfüllt sind. Außerdem unterliegen die Funktionen u und v noch weiteren Beschränkungen, auf die gleich eingegangen wird.

Der reelle und der imaginäre Teil einer Funktion können also nicht unabhängig voneinander gewählt werden, wenn die Funktion differenzierbar sein soll. Aber auch jeder dieser Teile für sich ist noch besonderen Beschränkungen unterworfen. Darüber mehr im nächsten Kapitel.

 

Die Laplacesche Differentialgleichung

Wenn eine Funktion f(z) einer komplexen Veränderlichen in einem Gebiet G einmal differenzierbar ist, so ist sie – anders als bei Funktionen reeller Veränderlicher – dort auch ein zweites Mal differenzierbar. (Hier zunächst ohne Beweis aufgeführt.) Aus der Existenz von f '(z) in einem Gebiet folgt also die Existenz von f "(z) in diesem Gebiet, daraus wieder die Existenz von f "'(z) usw. Also gilt:

Jede in einem Gebiet einmal differenzierbare Funktion einer komplexen Veränderlichen ist dort beliebig oft differenzierbar.

Wir betrachten nun wieder eine Funktion

$f(z)=f(x+i\,y)=u(x,y)+i\,v(x,y)$

und nehmen an, dass in einem Gebiet G sowohl die partiellen Ableitungen erster Ordnung als auch alle partiellen Ableitungen höherer Ordnung der Funktionen u(x, y) und v(x, y) existieren (was durchaus nicht selbstverständlich ist, da es sich ja hier um Funktionen reeller Veränderlicher handelt.). Dann erhält man aus den in G geltenden Gleichungen

$\quad u_{x}=v_{y}$

durch nochmaliges partielles Differenzieren nach x die Gleichungen

$u_{xx}=v_{yx}\quad {\mbox{und}}\quad u_{yy}=-v_{xy}\,.$

Da nach dem Satz von SCHWARZ

$\quad v_{yx}=v_{xy}$

ist, gilt

$\,u_{xx}+u_{yy}=0.$

Durch partielles Differenzieren der Ausgangsgleichung nach y findet man analog

$\,v_{xx}+v_{yy}=0.$

Es gilt daher der Satz:

Eine reelle Funktion u(x, y) kann nur dann der reelle oder der imaginäre Teil einer in einem Gebiet G differenzierbaren Funktion f(z) = f(x +i y) sein, wenn u in G alle partiellen Ableitungen erster und höherer Ordnung besitzt und wenn dort überall

$u_{xx}+u_{yy}\equiv {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0$

ist. Für die Summe der zweiten partiellen Ableitung schreibt man auch kurz Δu, wobei Δ der Laplacesche Operator ist. Die Gleichung

$\Delta u\equiv {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0$

heißt die Laplacesche Differentialgleichung.

 

Differentiationsregeln

Potenzfunktionen

Bei der Potenzfunktion einer komplexen Variablen

$\quad f(z)=z^{n}=(x+iy)^{n},$

wobei n eine positive ganze Zahl sein soll, ist

$f(z+\Delta z)=(z+\Delta z)^{n}=z^{n}+{n \choose 1}z^{n-1}\cdot \Delta z+{n \choose 2}z^{n-2}\cdot (\Delta z)^{2}+\cdots +(\Delta z)^{n}$

und daher

${\frac {\Delta f}{\Delta z}}={\frac {f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}}={n \choose 1}z^{n-1}+{n \choose 2}z^{n-2}\cdot \Delta z+\cdots +(\Delta z)^{n-1},$

und

$f'=\lim _{\Delta z\to 0}=n\,z^{n-1}.$

Offensichtlich kann der Grenzwert berechnet werden, ohne dass irgendwelche Annahmen über den Weg des Grenzgangs gemacht werden müssen. Das bedeutet, dass der Grenzwert vom Weg unabhängig ist. Folglich ist die Funktion in der ganzen Z-Ebene differenzierbar.

Es fällt auf, dass bei der Berechnung der Ableitung nirgends berücksichtigt werden muss, dass z eine komplexe Variable ist. Das bedeutet, dass auch die folgenden Differentiationsregeln einfach von den Funktionen reeller Variabler übernommen werden können. Insbesondere können Summen von Potenzfunktionen gliedweise differenziert werden. Dies gilt im Inneren ihres Konvergenzkreises auch für Potenzreihen.

Potenzreihen

Hat die Potenzreihe

$a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\cdots +a_{n}z^{n}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{a_{n}z^{n}},$

einen positiven Konvergenzradius, so stellt sie im Inneren ihres Konvergenzbereichs eine Funktion f(z) dar. Diese Funktion hat dort Ableitungen jeder Ordnung, die durch gliedweise Differentiation berechnet werden. Also ist

$f'(z)=\sum _{n=1}^{\infty }{n\,a_{n}z^{n-1}},$

$f''(z)=\sum _{n=2}^{\infty }{n\left({n-1}\right)}\,a_{n}z^{n-2},$

und

$f^{\left(k\right)}(z)=\sum _{n=k}^{\infty }{n\left({n-1}\right)\cdot \cdots \cdot \left({n-k+1}\right)}\,a_{n}z^{n-k}.$

Da

$n\left({n-1}\right)\cdot \cdots \cdot \left({n-k+1}\right)=k!{n \choose k}$

ist, kann man dafür auch schreiben

$f^{(k)}(z)=k!\sum _{n=k}^{\infty }{n \choose k}\,a_{n}z^{n-k}.$

Ersetzt man hierin n - k durch n und dementsprechend n durch n + k, so ergibt sich die zum Rechnen bequemere Formel:

$f^{(k)}(z)=k!\,\sum _{n=o}^{\infty }{k+n \choose k}\,a_{k+n}z^{n}.$

Hat eine Potenzreihe den Mittelpunkt z₀ (statt wie oben den Mittelpunkt 0):

$f(z)=a_{0}+a_{1}\left({z-z_{0}}\right)+\cdots +a_{n}\left({z-z_{0}}\right)^{n}+\cdots ,$

so kann sie durch die Koordinatentransformation ζ = z – z₀ auf die oben angegebene Form gebracht werden. Durch Rücktransformation ergibt sich für die k-te Ableitung dann

$f^{(k)}(z)=k!\,\sum _{n=o}^{\infty }{k+n \choose k}\,a_{k+n}(z-z_{0})^{n}.$

Potenzfunktionen und die durch Potenzreihen dargestellten Funktionen sind also (im Inneren ihres Konvergenzbereichs) reguläre (oder analytische) Funktionen.

Exponentialfunktion, trigonometrische und hyperbolische Funktionen

Die Funktionen exp z, sin z, cos z, sinh z und cosh z sind auch im Komplexen durch beständig konvergente Potenzreihen dargestellt. Sie sind daher in der ganzen Z-Ebene regulär (oder analytisch). Durch gliedweise Differentiation der Potenzreihen findet man

${\frac {\operatorname {d} e^{z}}{\operatorname {d} z}}=e^{z},\quad {\frac {\operatorname {d} \sin z}{\operatorname {d} z}}=\cos z,\quad {\frac {\operatorname {d} \cos z}{\operatorname {d} z}}=-\sin z,$

${\frac {\operatorname {d} \sinh z}{\operatorname {d} z}}=\cosh z,\quad {\frac {\operatorname {d} \cosh z}{\operatorname {d} z}}=\sinh z.$

Weitere wichtige Ableitungen gewinnt man über die Umkehrfunktionen.

Umkehrfunktionen und die Ableitungen weiterer Funktionen

In einem Gebiet G sei eine reguläre (und somit differenzierbare und stetige) Funktion w = f(z) definiert, und jeder zum Definitionsbereich der Funktion gehörige Funktionswert trete nur einmal auf.

Dann gibt es zu jedem auftretenden Funktionswert w genau eine Zahl z derart, dass w = f(z) ist. Somit kann die Variable z als eine Funktion der Variablen w aufgefasst werden, wobei dann w die unabhängige und z die abhängige Variable ist. Auch die Begriffe "Definitionsbereich" und Wertebereich vertauschen dann ihre Rollen.

Die so definierte Funktion z = g(w) heißt die Umkehrfunktion oder inverse Funktion zu w = f(z).

Der Differenzenquotient der inversen Funktion ist

${\frac {\Delta z}{\Delta w}}={\frac {1}{\frac {\Delta w}{\Delta z}}}$

ihr Differentialquotient ist

${\frac {\operatorname {d} g}{\operatorname {d} w}}=g'(z)=\lim _{\Delta w\to 0}{\frac {1}{\frac {\Delta w}{\Delta z}}}={\frac {1}{\lim _{\Delta w\to 0}{\frac {\Delta w}{\Delta z}}}}={\frac {1}{f'(z)}}\quad \quad \left({f'(z)\neq 0}\right).$

Die Umkehrfunktion g(z) ist also in ihrem Definitionsbereich und für f' (z) ungleich 0 ebenfalls differenzierbar.

Unter Benutzung der Umkehrfunktion können nun weitere Funktionen differenziert werden.

Beispiel: Die Funktion

$w=e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}\cdot e^{iy}$

ist für

$-\pi <y\leq \pi$

in der ganzen Ebene umkehrbar eindeutig. Ihre Umkehrfunktion ist

$\quad z=\ln ^{*}w,$

das ist der Hauptwert des natürlichen Logarithmus. Wegen

${\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} w}}={\frac {1}{\frac {\operatorname {d} w}{\operatorname {d} z}}}={\frac {1}{e^{z}}}={\frac {1}{w}}$

ist

${\frac {\operatorname {d} (\ln ^{*}w)}{\operatorname {d} z}}={\frac {1}{w}}$

Durch Vertauschung der Variablen ergibt sich die übliche Schreibweise

${\frac {\operatorname {d} (\ln ^{*}z)}{\operatorname {d} z}}={\frac {1}{z}}.$

Konforme Abbildung

Konforme Abbildung durch analytische Funktionen

Gegeben sei eine analytische Funktion w = f(z) der komplexen Variablen z = x + i y:

$w=f(z)=u(x,y)+i\,v(x,y),$

wobei wie immer u und v Funktionen der reellen Variablen x und y sind.

Nun durchlaufe z in der Ebene eine Kurve K, die durch die Gleichung y = g(x) beschrieben sei (z. B. y = x²). Dann durchläuft die abhängige Variable w in ihrer Ebene eine Kurve K ', die beschrieben werden kann durch die Gleichung

$w_{K'}=u\,\left[{x,\,g(x)}\right]+i\,v\left[{x,g(x)}\right].$

Die Kurve K ' wird als das Bild oder als die Abbildung der Kurve K bezeichnet.

Die Steigung der Kurventangente in irgendeinem Punkt P mit z_P = ζ der Kurve y =g(x) ist dann

$\tan \tau =\lim _{\Delta x\to 0}\left({\frac {\Delta y}{\Delta x}}\right)_{\zeta }=g'(\zeta ).$

Dabei bedeutet der Index ζ, dass der Grenzwert an der Stelle z = ζ zu bilden ist.

Die Steigung der Bildkurve K ' im Bildpunkt P ' von P (unter der Voraussetzung, dass der auftretende Grenzwert existiert) ist

$\tan \omega =\lim _{\Delta u\to 0}\left({\frac {\Delta v}{\Delta u}}\right)_{\zeta }=\left({\frac {\operatorname {d} v}{\operatorname {d} u}}\right)_{\zeta }.$

Nun ist

$\operatorname {d} v={\frac {\partial v}{\partial x}}\operatorname {d} x+{\frac {\partial v}{\partial y}}\operatorname {d} y=v_{x}\operatorname {d} x+v_{y}\operatorname {d} y,$

und

$\operatorname {d} u={\frac {\partial u}{\partial x}}\operatorname {d} x+{\frac {\partial u}{\partial y}}\operatorname {d} y=u_{x}\operatorname {d} x+u_{y}\operatorname {d} y,$

also ist

${\begin{matrix}\tan \omega &=&\left({\frac {\operatorname {d} v}{\operatorname {d} u}}\right)_{\zeta }={\frac {\left({v_{x}}\right)_{\zeta }\operatorname {d} x+\left({v_{y}}\right)_{\zeta }\operatorname {d} y}{\left({u_{x}}\right)_{\zeta }\operatorname {d} x+\left({u_{y}}\right)_{\zeta }\operatorname {d} y}}={\frac {\left({v_{x}}\right)_{\zeta }+\left({v_{y}}\right)_{\zeta }\left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\right)_{\zeta }}{\left({u_{x}}\right)_{\zeta }+\left({u_{y}}\right)_{\zeta }\left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\right)_{\zeta }}}\\&=&{\frac {\left({v_{x}}\right)_{\zeta }+\left({v_{y}}\right)_{\zeta }\,g'(\zeta )}{\left({u_{x}}\right)_{\zeta }+\left({u_{y}}\right)_{\zeta }\,g'(\zeta )}},\end{matrix}}$

und wegen der Gültigkeit der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen

$\tan \omega ={\frac {-\left({u_{y}}\right)_{\zeta }+\left({u_{x}}\right)_{\zeta }\,g'\left(\zeta \right)}{\left({u_{x}}\right)_{\zeta }+\left({u_{y}}\right)_{\zeta }\,g'\left(\zeta \right)}}={\frac {-\left({\frac {u_{y}}{u_{x}}}\right)_{\zeta }+\tan \tau }{1+\left({\frac {u_{y}}{u_{x}}}\right)_{\zeta }\tan \tau }}.$

Zunächst ist festzustellen, dass der Grenzwert im Allgemeinen existiert und daher die Steigung der Tangente der Bildkurve einen definierten Wert besitzt. (Das Nullwerden des Nenners weist auf eine vertikale Tangente hin.)

Nun kann - da der Tangens jeden beliebigen Wert annehmen kann - jederzeit ein Winkel α so bestimmt werden, dass

$\tan \alpha =\left({\frac {u_{y}}{u_{x}}}\right)_{\zeta },$

ist, wobei

$-{\frac {\pi }{2}}<\alpha <{\frac {\pi }{2}}$

ist. Man kann dann schreiben

$\tan \omega ={\frac {-\tan \alpha +\tan \tau }{1+\tan \alpha \tan \tau }}=\tan \left({\tau -\alpha }\right).$

Folglich ist

$\omega =\left\{{\begin{matrix}{\tau -\alpha \,,\;{\mbox{wenn}}\;-{\frac {\pi }{2}}<\tau -\alpha <-{\frac {\pi }{2}}}\\{\tau -\alpha +\pi \,,\;{\mbox{wenn}}\;\;\tau -\alpha <-{\frac {\pi }{2}}}\;\;\;\\{\tau -\alpha -\pi \,,\;{\mbox{wenn}}\;\;\tau -\alpha <{\frac {\pi }{2}}}\quad \;\;\end{matrix}}\right.$

Wir betrachten nun eine weitere durch den Punkt P gehende Kurve, deren Steigung in P gleich

$\quad \tan \tau _{1}$

sei. Die Steigung ihrer Bildkurve im entsprechenden Bildpunkt ist dann

$\tan \omega _{1}=\tan \left({\tau _{1}-\alpha }\right)$

und folglich

$\quad \omega _{1}=\tau _{1}-\alpha ,$

wobei α den gleichen Wert wie oben haben soll.

Die beiden Tangenten der Bildebene bilden dann miteinander den Winkel

$\Delta \omega =\omega _{1}-\omega =\left({\tau _{1}-\alpha }\right)-\left({\tau -\alpha }\right)=\tau _{1}-\tau =\Delta \tau .$

Das heißt, die Tangenten bilden in beiden Ebenen den gleichen Winkel miteinander.

Eine Abbildung mit dieser Eigenschaft heißt winkeltreu. Die betrachtete reguläre Funktion w = f(z) erzeugt also eine winkeltreue Abbildung von Teilen der Z-Ebene in die W-Ebene.

Betrachten wir nun ein Dreieck PQR in der Ursprungsebene und seine Abbildung P'Q'R' . Die Abbildungen der Dreiecksseiten sind im Allgemeinen nicht geradlinige, sondern gekrümmte Kurvenstücke. Die Winkel zwischen den Tangenten dieser Kurven in den drei Eckpunkten stimmen jedoch mit den entsprechenden Dreieckswinkeln in der Z-Ebene überein.

Je kleiner man das ursprüngliche Dreieck macht, desto mehr nähert sich seine Abbildung einem Dreieck mit geraden Seiten an. Wegen der Gleichheit der Winkel sind diese beiden Dreiecke ähnlich und stimmen daher auch in den Seitenverhältnissen überein. Die winkeltreue Abbildung ist daher "im Kleinen" auch maßstabstreu. Eine solche Abbildung heißt konforme Abbildung.

Die reguläre Funktion erzeugt also eine konforme Abbildung.

Für eine hinreichend kleine Strecke Δz und ihre Abbildung Δw gilt wegen

$\Delta w\approx \operatorname {d} w=f'(\zeta )\,\operatorname {d} z\equiv f'(\zeta )\,\Delta z$

Also ist der

${\mbox{Abbildungsmassstab }}{\frac {\left|{\Delta w}\right|}{\left|{\Delta z}\right|}}\approx \left|{f'(\zeta )}\right|.$