Einführung in die Funktionentheorie/ Druckversion

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Einführung in die Funktionentheorie


Siegfried Petry
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Folgen und Reihen mit komplexen Gliedern[Bearbeiten]

Einleitung[Bearbeiten]

Die Lehre von den Zahlenfolgen gehört schon "im Reellen" nicht gerade zu den unterhaltsamsten und aufregendsten Gebieten der Mathematik, und daran ändert sich auch nichts, wenn man sie auf komplexe Zahlen ausdehnt. Aber erst durch die theoretische Durchdringung der Zahlenfolgen ist eine gründliche und sichere Grundlegung der Analysis (Differential- und Integralrechnung) und der Funktionentheorie (Analysis komplexer Funktionen) möglich geworden. Auch haben dadurch die Analysis und die Funktionentheorie erst die begriffliche Schärfe und die Konsistenz der Beweisführung gewonnen, die seit Euklid für die älteren Gebiete der Mathematik so kennzeichnend sind und als unerlässlich gelten.

Um den Umfang dieses Buches nicht zu groß werden zu lassen, habe ich schweren Herzens auf die Beweise der Lehrsätze verzichtet, obwohl ich weiß, dass dadurch ein Teil fehlt, der für die Schulung mathematischen Denkens unverzichtbar ist. Ich erwäge jedoch, bei Interesse und entsprechender Nachfrage die Beweise in einem Anhang zusammenzustellen.

Das Studium der komplexen Zahlen hat gezeigt, dass man mit ihnen wie mit reellen Zahlen rechnen kann. Dabei gibt es lediglich zwei Ausnahmen:

  • Bei Potenzen mit irrationalen Exponenten gelten die bekannten Rechenregeln nicht,
  • die Kleiner/Größer-als-Relation kann nur auf die Beträge



der komplexen Zahlen angewendet werden.

Im Übrigen aber gilt, dass es bei allen mit Buchstabengrößen angestellten Berechnungen gleichgültig ist, ob ein darin auftretender Buchstabe z eine reelle oder eine komplexe Zahl darstellt.

So gelten z. B. der binomische Lehrsatz, die Lehre von den Determinanten und die Verfahren zur Lösung von Systemen linearer Gleichungen unverändert auch "im Komplexen".

Dies lässt vermuten, dass auch andere Gebiete der Mathematik auf komplexe Zahlen ausgedehnt werden können. Dass dies tatsächlich der Fall ist, wird in diesem Buch zunächst für die unendlichen Zahlenfolgen und Reihen gezeigt. Damit wird – wie sich erweisen wird – der Mathematik ein neues und überaus fruchtbares Gebiet erschlossen, das auch von großer praktischer Bedeutung ist.

Oft ist mit der Zulassung komplexer Zahlen auch eine erhebliche Vereinfachung und Abrundung der Theorie verbunden. Beispiele dafür sind die (nun) unbeschränkte Gültigkeit des Fundamentalsatzes der Algebra und die Tatsache, dass das Wurzelziehen ausnahmslos möglich ist, wenn man das Zahlensystem um die komplexen Zahlen erweitert.

Schließlich werden sich im Folgenden überraschende Zusammenhänge zwischen wichtigen Zahlen (e und π) sowie zwischen ganz unterschiedlichen Funktionen zeigen.

 

Unendliche Zahlenfolgen mit komplexen Gliedern[Bearbeiten]

Definition Zahlenfolge[Bearbeiten]

Wenn durch irgendeine Vorschrift jeder natürlichen Zahl 1, 2, 3, ... eine bestimmte Zahl z1, z2, z3, ... zugeordnet ist, so bilden diese Zahlen eine (unendliche) Zahlenfolge.

Eine Zahlenfolge (kurz auch Folge genannt) wird bezeichnet mit



Beispiele für komplexe Zahlenfolgen sind:



Eine Zahlenfolge (zn) heißt beschränkt, wenn es eine positive Zahl S gibt, sodass für alle n


ist.

S heißt dann eine Schranke für die Beträge der Glieder der Folge.

Zur Veranschaulichung einer Zahlenfolge kann die dazu gehörige Punktfolge in der komplexen Zahlenebene dienen.

Nullfolgen[Bearbeiten]

Definition Nullfolge[Bearbeiten]

Eine Zahlenfolge wie z. B.



deren Glieder mit wachsender Nummer n sich unbeschränkt der Null nähern, heißt eine Nullfolge. Doch was bedeutet "sich unbeschränkt der Null nähern"? Es gibt einige sehr viel schlechtere Beschreibungsweisen des damit gemeinten Sachverhalts, aber nur eine bessere, die wirklich aussagekräftig ist und sich durchgesetzt hat. Diese lautet:

Eine Zahlenfolge (zn) heißt Nullfolge, wenn sich für jede positive Zahl ε immer eine Zahl n0 angeben lässt, sodass für


ist.

Im obigen Beispiel ist



und es ist



ist. Diese Gleichung liefert für jeden Wert von ε - und sei er noch so klein - eine Nummer n0, von der an stets


ist.

Die zu den Zahlen zn mit n >= n0 gehörigen Punkte der Zahlenebene liegen alle "innerhalb einer ε-Umgebung von 0", das heißt, innerhalb eines Kreises um 0 mit dem Radius ε.


Sätze über Nullfolgen[Bearbeiten]

Es gelten im Wesentlichen die gleichen Sätze wie für reelle Nullfolgen. Sie lassen sich mit etwas "Epsilontik" leicht beweisen.


1. Jede Nullfolge ist eine beschränkte Zahlenfolge.


2. Ist (zn) eine Nullfolge und (yn) irgendeine beschränkte Zahlenfolge, so ist auch die Folge (z 'n) mit den Gliedern



eine Nullfolge.


3. Es sei (zn) eine Nullfolge und (z 'n) eine zu untersuchende Zahlenfolge. Ferner sei die Ungleichung



wobei K eine bestimmte positive Zahl ist, für "fast alle n " (das soll heißen: für alle n >= n0) erfüllt, dann ist auch (z 'n)eine Nullfolge.


4. Sind (zn) und (z 'n) zwei Nullfolgen, so sind auch die Folgen mit den Gliedern



Nullfolgen. Dafür sagt man kurz: Nullfolgen dürfen gliedweise addiert, subtrahiert und multipliziert werden.

Definition Konvergenz einer Zahlenfolge[Bearbeiten]

Eine Zahlenfolge (zn), zu der es eine Zahl ζ von der Art gibt, dass die Folge



eine Nullfolge ist, heißt konvergent mit dem Grenzwert (oder Limes) ζ. Diesen Sachverhalt beschreibt man auch so:



(Der erste Teil wird gelesen: zn geht gegen ζ, wenn n gegen unendlich geht, das heißt: unbeschränkt wächst.)

Ersetzt man oben den Begriff der Nullfolge durch deren Definition, so kann man auch sagen:

Eine Zahlenfolge (zn) konvergiert gegen ζ, wenn man für jede beliebige (oder beliebig kleine) positive Zahl ε eine Zahl n0 angeben lässt, sodass für alle n >= n0 (oder "für fast alle n ")


ist.

Sätze über konvergente Zahlenfolgen[Bearbeiten]

1. Wenn eine Zahlenfolge gegen eine Zahl ζ konvergiert, kann sie nicht gleichzeitig gegen eine andere Zahl η konvergieren (Eindeutigkeit der Konvergenz).


2. Eine konvergente Zahlenfolge ist stets eine beschränkte Zahlenfolge.


3. Sind (zn) und (z 'n) konvergente Folgen mit den Grenzwerten ζ bzw. ζ', so sind auch die Folgen (zn + z 'n) und (zn - z 'n) konvergent mit den Grenzwerten ζ + ζ' bzw. ζ - ζ'. Kurzfassung: Aus



4. Unter den gleichen Voraussetzungen wie oben gilt ferner



und wenn außerdem alle



5. Jede durch Umordnung einer konvergenten Zahlenfolge (zn) entstandene Zahlenfolge und jede Teilfolge (z 'n) von (zn) ist ebenfalls konvergent und hat denselben Grenzwert wie diese.


6. Eine Zahlenfolge (zn) werde in zwei Teilfolgen (z 'n) und (z ' 'n) zerlegt. Wenn diese beiden konvergent sind und denselben Grenzwert ζ haben, so ist auch (z n) konvergent mit dem Grenzwert ζ.


7. Ist (zn) eine konvergente Zahlenfolge mit dem Grenzwert ζ und geht die Folge (z 'n) aus ihr durch endlich viele Änderungen hervor, so ist auch (z 'n) konvergent mit dem Grenzwert ζ.

Definition divergente Zahlenfolgen[Bearbeiten]

Jede Zahlenfolge (zn), die nicht gegen einen bestimmten (endlichen) Wert ζ konvergiert, heißt divergent.


Konvergenzkriterien[Bearbeiten]

1. Eine Zahlenfolge



wobei (xn) und (yn) reelle Zahlenfolgen sind, ist genau dann konvergent, wenn sowohl (xn) als auch (yn) konvergent sind. Dann ist



2. Eine Zahlenfolge (zn) ist genau dann konvergent, wenn sich für (jede noch so kleine) positive Zahl ε eine Zahl n0 angeben lässt, sodass


ist, wenn


 

Unendliche Reihen mit komplexen Gliedern[Bearbeiten]

Unter einer unendlichen Reihe versteht man – wie im Reellen – eine Summe mit unbeschränkt vielen Summanden, die nach einer bestimmten Vorschrift (Bildungsgesetz) berechnet wurden. Diese Summanden sind jetzt komplexe Zahlen:



Da eine Summe mit unbeschränkt vielen Summanden nicht berechnet werden kann, ist dieser Ausdruck zunächst unbestimmt. Zur Behebung dieser Schwierigkeit wird der Begriff der Teilsumme der unendlichen Reihe eingeführt. Die Teilsummen sind der Reihe nach:



Sodann wird die Folge der Teilsummen auf ihre Konvergenz hin untersucht und gegebenenfalls ihr Grenzwert bestimmt. (Auf diese Weise wird das Problem der Summation von unbeschränkt vielen Summanden auf die Grenzwertbestimmung einer Zahlenfolge zurückgeführt.)

Wenn die Folge der Teilsummen



gegen einen Grenzwert S konvergiert, dann bezeichnet man die unendliche Reihe als konvergent, anderenfalls als divergent. Im ersten Fall nennt man den Grenzwert S der Folge den "Wert der unendlichen Reihe" und schreibt dies:



Eine unendliche Reihe komplexer Zahlen besteht aus einer unendlichen Reihe reeller Zahlen (den Realteilen der Glieder der Reihe) und aus einer unendlichen Reihe imaginärer Zahlen (den mit i multiplizierten Imaginärteilen der Glieder):



Daher gilt:

Eine Reihe mit komplexen Gliedern ist genau dann konvergent, wenn die aus den reellen bzw. aus den imaginären Teilen ihrer Glieder gebildeten Reihen konvergent sind. Wenn die Werte der beiden Teilreihen s bzw. s 'sind, hat die ursprüngliche Reihe den Wert S = s + i s' .


Ein analoger Satz gilt für die absolute Konvergenz einer Reihe mit komplexen Gliedern. (Eine Reihe mit komplexen Gliedern heißt absolut konvergent, wenn auch die Reihe konvergiert, deren Glieder gleich dem Betrag der entsprechenden Glieder der ursprünglichen Reihe sind. – Die neue Reihe hat lauter positive reelle Glieder.)


Komplexe Potenzreihen[Bearbeiten]

Eine komplexe Potenzreihe ist eine Reihe von der Art



wobei die Koeffizienten an sowie z und z0 beliebige komplexe Zahlen sind. Dabei werden die Koeffizienten an sowie die Zahl z0 als konstant angesehen, z dagegen als variabel.

Diese Reihe wird auch als Potenzreihe in (zz0) bezeichnet oder als Potenzreihe mit dem Mittelpunkt z0.

Ob eine Potenzreihe (oder die Folge ihrer Teilsummen) konvergiert, hängt einerseits von den Koeffizienten an, andererseits im Allgemeinen auch von z ab. Ein Wert (oder ein Punkt) z, für den die Potenzreihe konvergiert, heißt Konvergenzpunkt; ein Wert, für den sie divergiert, heißt Divergenzpunkt der Reihe. Es gibt Reihen, die überall (d. h. für alle Werte z oder in jedem Punkt der Zahlenebene) konvergieren und solche, die nirgends (außer in z0) konvergieren.

Für jede Reihe der oben angegebenen Art, die weder überall noch nirgends (außer in z0) konvergiert, gibt es eine bestimmte positive Zahl r derart, dass die Reihe für jedes z,

für das


für jedes z, für das



Die den Zahlen z entsprechenden Punkte liegen innerhalb bzw. außerhalb des Kreises um z0 mit dem Radius r. Dieser Kreis heißt der Konvergenzkreis der Reihe, sein Radius heißt Konvergenzradius.

Für die Punkte auf dem Rand des Konvergenzkreises sind keine allgemeinen Aussagen möglich. Sie erfordern von Fall zu Fall eine eigene Untersuchung.

Der Wert einer Potenzreihe ist eine Funktion der Variablen z; ihr Definitionsbereich ist der Konvergenzkreis der Reihe. Darüber mehr im 2. Teil.

Funktionen einer komplexen Veränderlichen[Bearbeiten]

Definitionen[Bearbeiten]

Funktion einer komplexen Veränderlichen[Bearbeiten]

Einer Menge M von komplexen Zahlen z sei durch eine bestimmte Rechenvorschrift f je genau eine komplexe Zahl w zugeordnet. Dann bezeichnet man die Größe w als eine Funktion der Größe z und schreibt dies:



Die Menge M heißt Definitionsbereich D der Funktion f(z). Die Menge aller Zahlen, welche die "abhängige Variable" w annimmt, wenn die "unabhängige Variable" z alle Werte des Definitionsbereichs durchläuft, heißt Wertebereich W der Funktion. Die Zahl w, die durch die Funktion einer Zahl z zugeordnet ist, heißt der zu z gehörige Funktionswert w(z).

Es sei f eine Funktion von z und w der Funktionswert von z. Setzen wir



so sind u und v reelle Funktionen der beiden reellen Variablen x und y:



Man nennt u den reellen und v den imaginären Teil der Funktion f(z). (Der zweite Name ist natürlich nicht ganz korrekt, denn der "imaginäre Teil" ist ja eine reelle Funktion - genauso wie der "Imaginärteil" einer komplexen Zahl eine reelle Zahl ist. Aber diese Namenskonventionen sind bequem und haben sich daher durchgesetzt.)

Da wir es bei Funktionen einer komplexen Veränderlichen mit vier Variablen (x, y, u, v) zu tun haben, ist eine bequeme Veranschaulichung, wie wir sie von reellen Funktionen mit zwei oder auch drei Variablen kennen, nicht möglich. Bei einer Funktion f(x, y) von zwei reellen unabhängigen Variablen lässt sich ein Funktionswert z = f(x, y) als "Höhe" eines Punktes über der XY-Ebene darstellen, und die Gesamtheit der Funktionswerte bildet eine Fläche (ein "Gelände") im Raum. Bei Funktionen einer komplexen Variablen dagegen sind die Funktionswerte ebenfalls komplexe Zahlen, die sich als Punkte in der UV-Ebene darstellen lassen. Diese Punkte müssen dann auf irgendeine Weise mit den jeweils dazugehörigen Punkten der XY-Ebene verknüpft werden. Dies kann etwa dadurch geschehen, dass man für eine Anzahl von Kurven in der XY-Ebene (z. B. für die Geraden eines Gitternetzes) die dazugehörigen Bildkurven in der UV-Ebene konstruiert und zusätzlich eine Auswahl einander entsprechenden Punkten markiert.

Beispiel:



FThX1.PNG
FThY.PNG

 

Grenzwert einer Funktion einer komplexen Veränderlichen[Bearbeiten]

Wie bei den reellen Funktionen spielt auch hier der Begriff des Grenzwerts eine wichtige Rolle, und er wird hier analog wie dort definiert:

Dem Definitionsbereich D einer Funktion f werde eine Zahlenfolge (zn) entnommen, die dem Grenzwert ζ zustrebt und deren Glieder sämtlich von ζ verschieden seien. Wenn für alle solche Zahlenfolgen die Folge (wn) der dazu gehörigen Funktionswerte wn = f(zn) demselben Grenzwert ω zustrebt, dann sagt man, es sei der Grenzwert von f(z) für z gegen ζ gleich ω, und schreibt dies:



Dieser Sachverhalt kann auch so ausgedrückt werden:

Für jede (noch so kleine) positive Zahl ε lässt sich stets eine andere positive Zahl δ angeben, so dass für



 

Stetigkeit[Bearbeiten]

Eine Funktion f(z) einer komplexen Veränderlichen z ist an der Stelle z = ζ stetig, wenn stets


ist. ("Stets" bedeutet hier: für jeden beliebigen Weg der Annäherung an den Wert ζ.)


FTh02.PNG


Anders ausgedrückt: An einer Stelle, an der die Funktion stetig ist, fällt der Grenzwert der Funktion bei Annäherung an die Stelle ζ stets mit dem Funktionswert an der Stelle ζ zusammen.

Ist eine Funktion an jeder Stelle des Definitionsbereichs D stetig, so sagt man, sie sei im ganzen Definitionsbereich stetig.

Wie bei den reellen Funktionen gilt:

  • Jedes Polynom einer komplexen Veränderlichen z ist in der ganzen z-Ebene stetig.
  • Eine rationale Funktion von z ist überall dort stetig, wo sie definiert ist.
  • Eine Funktion f(z) = u(x, y) + i v(x, y) ist genau an den Stellen stetig, an denen die reellen Funktionen u und v stetig sind.

 

Potenzreihen als Funktionen einer komplexen Veränderlichen[Bearbeiten]

Eine (komplexe) Potenzreihe (siehe 1. Teil)



mit dem Mittelpunkt z0 und einem Konvergenzradius r > 0 hat für jeder Stelle z im Innern ihres Konvergenzkreises einen bestimmten Wert. Also wird durch die Potenzreihe jedem Wert z im Innern des Konvergenzkreises ein bestimmter Zahlenwert w zugeordnet. Genau dies ist aber das Kennzeichen einer Funktion. Also definiert die Potenzreihe im Innern ihres Konvergenzkreises eine bestimmte Funktion



Von dieser Funktion sagt man, sie sei durch die Potenzreihe dargestellt oder (in besonderen Fällen) sie sei in die Potenzreihe entwickelt.

Die durch Potenzreihen dargestellten oder darstellbaren Funktionen heißen analytische Funktionen.

Analytische Funktionen sind im Innern ihres Konvergenzkreises stetig und differenzierbar.

 

Polynomfunktionen[Bearbeiten]

Eine Funktion , die durch einen Ausdruck der Form

gegeben ist, heißt Polynomfunktion. Man kann Polynomfunktionen auffassen als Potenzreihen, bei denen nur endlich viele Koeffizienten von null verschieden sind.

Der Fundamentalsatz der Algebra[Bearbeiten]

Jedes Polynom in

dessen Grad ist, hat mindestens eine Nullstelle. Das heißt: Wenn n eine natürliche Zahl ist und beliebige komplexe Zahlen sind und ist, so gibt es mindestens eine komplexe Zahl ζ, für die

ist.

Zerlegung ganzer rationaler Funktionen in Linearfaktoren[Bearbeiten]

Gegeben sei eine ganze rationale Funktion n-ten Grades der komplexen Veränderlichen z



und es sei z1 eine Nullstelle des Polynoms.

Dann ist, wie man leicht zeigen kann, dieses Polynom durch (zz1) ohne Rest teilbar. Die Division ergibt ein neues Polynom p1(z) von (n – 1). Grad, sodass



wobei der Koeffizient des höchsten Gliedes zn-1 wiederum an ist.


Wenn n > 1 ist, so ist (n – 1) > 0, und man kann auf p1 wiederum den Fundamentalsatz anwenden, wonach auch dieses Polynom mindestens eine Nullstelle z2 hat, woraus folgt


und so weiter. Schließlich erhält man für das ursprüngliche Polynom (und die ursprüngliche ganze rationale Funktion) die "Produktdarstellung"



Also gilt:

Jedes Polynom n-ten Grades (n>= 1) kann als Produkt von n Polynomen 1. Grades (sog. Linearfaktoren) und des Koeffizienten an dargestellt werden.

Daraus folgt sofort, dass ein Polynom n-ten Grades genau n Nullstellen hat, die aber nicht alle verschieden sein müssen. Vielmehr können jeweils mehrere der Nullstellen und damit jeweils mehrere der Linearfaktoren gleich sein.

Bezeichnen wir die voneinander verschiedenen Nullstellen mit ζ1, ζ2,..., ζk und die Häufigkeit ihres Auftretens der Reihe nach mit ν1, ν2,...,νk, so können wir die Produktdarstellen des Polynoms so schreiben:


Reelle Polynome einer komplexen Veränderlichen[Bearbeiten]

Ein Polynom einer komplexen Veränderlichen, dessen Koeffizienten ak alle reell sind, wird ein reelles Polynom genannt.

Hat ein reelles Polynom p(z) eine nicht reelle Nullstelle



so ist auch die zu z1 konjugierte komplexe Zahl



eine Nullstelle von p(z).

(Dieser Sachverhalt kann so begründet werden, dass beim Ausmultiplizieren der Linearfaktoren die Entstehung eines nicht reellen Koeffizienten nur dann verhindert wird, wenn komplexe Nullstellen paarweise konjugiert komplex auftreten.)

Das reelle Polynom p(z) ist dann durch das reelle Polynom zweiten Grades



ohne Rest teilbar. Der Quotient ist dann wiederum ein reelles Polynom, usw.

Folglich gilt:

Jedes reelle Polynom einer Veränderlichen, dessen Grad größer als 1 ist, kann in ein Produkt reeller Polynome ersten oder zweiten Grades zerlegt werden.


 

Rationale Funktionen[Bearbeiten]

Sind und zwei Polynome in , so liefert der Quotient eine Funktion, die außerhalb der (endlich vielen) Nullstellen von definiert ist. Eine solche Funktion nennt man rationale Funktion. Da Potenzreihen in einem Punkt mit einem von null verschiedenen Wert invertierbar sind, die inverse Funktion also selbst durch eine Potenzreihe beschreibbar ist, sind rationale Funktionen analytisch.

Transzendente Funktionen einer komplexen Veränderlichen[Bearbeiten]

Die Exponentialfunktion[Bearbeiten]

Die Potenzreihe

worin x eine reelle Variable ist, ist beständig konvergent und definiert daher eine für alle Werte x stetige Funktion, die mit der Exponentialfunktion ex identisch ist.

Sie wird nun dazu benutzt, die Exponentialfunktion für komplexe Variable zu definieren. Da eine Potenz mit komplexem Exponenten von sich aus keinerlei Bedeutung hat, dürfte man diese ganz beliebig definieren. Eine solche Definition sollte jedoch nicht willkürlich geschehen, sondern die Zweckmäßigkeit und die Kontinuität berücksichtigen. Das bedeutet in diesem Fall, dass die Definition der Exponentialfunktion mit komplexem Exponenten für den Sonderfall eines reellen Exponenten (der ja auch eine komplexe Zahl ist) mit der Definition für reelle Exponenten übereinstimmt und dass die bisher gültigen Rechengesetze allenfalls erweitert, aber nicht außer Kraft gesetzt werden. Diese (und weitere Gesichtspunkte) berücksichtigt folgende Definition: Es ist



Zunächst erkennt man, dass die Definition für den Fall, dass z eine reelle Zahl ist, mit der eingangs angegebenen Definition übereinstimmt.

Ferner lässt sich zeigen, dass das Additionstheorem für die Exponentialfunktion weiterhin gilt, d. h. es ist



Ferner wird verabredet, dass für eine reelle Zahl a gelten soll:



Für eine reelle Zahl y folgt aus der Definition



woraus folgt



oder in der meist benutzten Form



Speziell folgt daraus



Setzt man z = x +i y, so ist



Aus dieser Gleichung kann der Wert von ez für jedes z berechnet werden.

In der trigonometrischen (oder goniometrischen) Form geschrieben, ist



Durch Vergleich der letzten beiden Gleichungen ergibt sich dann



Nach dem Additionstheorem der Exponentialfunktion ist



und wegen exp (2πi) = exp (ki) = 1 ist



wobei k irgendeine ganze (möglicherweise auch negative) Zahl ist.

Die Exponentialfunktion ist also periodisch mit der Periode 2πi. Daher folgt aus



dass



ist.

Die trigonometrischen Funktionen[Bearbeiten]

Analog zur Exponentialfunktion werden auch die Funktionen sin z und cos z für komplexe Argumente z durch die aus dem Reellen bekannten Potenzreihen eindeutig definiert:




Ferner wird definiert



und



Ähnliche Überlegungen und Untersuchungen wie oben bei der Exponentialfunktion bestätigen die Zweckmäßigkeit dieser Definitionen. Insbesondere lässt sich aus den Definitionen herleiten:

Die Eulerschen Formeln gelten auch für komplexe Zahlen z:




Die Additionstheoreme für Sinus und Kosinus gelten auch für komplexe Zahlen w und z:




Ebenso gilt



Durch Anwendung des Additionstheorems auf sin z = sin (x + i y) erhält man zunächst



Ersetzt man dann cos iy und sin iy durch die entsprechenden Exponentialfunktionen, so ergibt sich



und dann – unter Vorgriff auf die Hyperbelfunktionen -



und ebenso


Die Hyperbelfunktionen[Bearbeiten]

Ebenso wie bei den trigonometrischen Funktionen werden bei den Hyperbelfunktionen die Definitionen einfach auf komplexe Argumente übertragen:



Durch Vergleich ergibt sich auch



Über die Reihenentwicklung der jeweils rechts stehenden trigonometrischen Funktionen ergeben sich die beständig konvergenten Potenzreihen



 

Differentialrechnung von Funktionen einer komplexen Variablen[Bearbeiten]

Differenzierbarkeit einer Funktion einer komplexen Variablen[Bearbeiten]

Eine Funktion einer komplexen Variablen sei in einem Gebiet der Zahlenebene definiert, und es sei eine Stelle im Inneren dieses Gebietes.

Wenn der Differenzenquotient

oder – was dasselbe ist – der Differenzenquotient

konvergiert, dann heißt die Funktion an der Stelle differenzierbar. Der Grenzwert heißt (Wert der) Ableitung oder Differentialquotient der Funktion an der Stelle . Gebräuchlich sind dafür folgende Bezeichnungen

Beispiel einer Funktion, bei der dies nicht der Fall ist:



FTh04.PNG

Für (längs der Vertikalen) ist

für (längs der Horizontalen) ist

für (längs der unter 45° geneigten Geraden) ist

Es gilt für (reelle) dann und nur dann, wenn . Also kann der Grenzwert für nicht existieren, d. h., ist in keinem Punkt differenzierbar. Für den Nullpunkt gilt die Betrachtung

Also ist im Nullpunkt differenzierbar mit .

Ist die Funktion in einem Gebiet definiert und an jeder Stelle des Gebietes differenzierbar (kurz: „in diesem Gebiet differenzierbar“), dann ist auch die Ableitung der Funktion eine in diesem Gebiet definierte Funktion. Sie wird bezeichnet mit

Jede in einem Punkt differenzierbare Funktion ist dort auch stetig, aber nicht jede dort stetige Funktion ist auch differenzierbar (siehe unten).

 

Die Differentialgleichungen von Cauchy-Riemann[Bearbeiten]

Es soll nun untersucht werden, unter welchen Bedingungen eine Funktion einer komplexen Variablen differenzierbar ist.

Die Funktion w(z) = f(z) sei in einem Gebiet G definiert und in einem Punkt z0 im Innern dieses Gebietes differenzierbar.

Es sei


Wenn wir die Funktion f(z) wie oben (siehe 2. Teil) in ihren reellen und ihren imaginären Teil zerlegen, so erhalten wir



wobei u und v reelle Funktionen von z und somit auch von x und y sind.


Beispiel:


 


Wenn die Funktion f(z) an der Stelle z0 differenzierbar ist, so heißt das, dass der Differenzenquotient



für Δz gegen 0 einem Grenzwert G zustrebt. Gemäß der Definition der Konvergenz bedeutet dies, dass es für jede (noch so kleine) positive reelle Zahl δ eine reelle Zahl ε gibt, sodass



wird, wenn



ist.

Wir bezeichnen die von Δz abhängige, gegen 0 strebende (komplexe) Differenz zwischen dem Differenzenquotienten und G mit Δ:



und stellen auch Δ und G als komplexe Zahlen dar:




Setzen wir ferner


,


so wird aus Gleichung (1):



Wir multiplizieren nun diese Gleichung mit Δz = Δx + i Δy und trennen dann Realteil und Imaginärteil:



Realteil:



Imaginärteil:



Setzt man in (2) Δy = 0, lässt also nur Veränderungen in x-Richtung zu, und teilt dann durch Δx, so erhält man den partiellen Differenzenquotienten (nach x)



Für Δx gegen 0 geht auch Δ1 gegen 0, und man erhält die partielle Ableitung nach x



Setzt man dagegen in (2) Δx = 0, so erhält man analog die partielle Ableitung nach y



Entsprechend findet man aus (3)



Durch Vergleich der entsprechenden Gleichungen ergeben sich die Differentialgleichungen von Cauchy-Riemann


 


Aus (1) folgt für Δz gegen 0:



und weiter



Die Ableitung f '(z) kann also auf zwei verschiedene Weisen berechnet werden, die nicht notwendig zum selben Wert führen müssen, da die Funktionen u und v voneinander unabhängig sind.

Hieraus folgt: Sind u(x, y) und v(x, y) zwei beliebige , im Gebiet G definierte Funktionen der reellen Veränderlichen x und y, so ist die Funktion



der komplexen Veränderlichen z = x + i y im Allgemeinen nicht differenzierbar, auch wenn die Funktionen u(x, y) und v(x, y) überall in G nach x und y differenzierbar ("vollständig differenzierbar") sind. Für die Differenzierbarkeit von f(z) ist nämlich erforderlich, dass die Differentialgleichungen von Cauchy-Riemann erfüllt sind. Außerdem unterliegen die Funktionen u und v noch weiteren Beschränkungen, auf die gleich eingegangen wird.

Der reelle und der imaginäre Teil einer Funktion können also nicht unabhängig voneinander gewählt werden, wenn die Funktion differenzierbar sein soll. Aber auch jeder dieser Teile für sich ist noch besonderen Beschränkungen unterworfen. Darüber mehr im nächsten Kapitel.


 

Die Laplacesche Differentialgleichung[Bearbeiten]

Wenn eine Funktion f(z) einer komplexen Veränderlichen in einem Gebiet G einmal differenzierbar ist, so ist sie – anders als bei Funktionen reeller Veränderlicher – dort auch ein zweites Mal differenzierbar. (Hier zunächst ohne Beweis aufgeführt.) Aus der Existenz von f '(z) in einem Gebiet folgt also die Existenz von f "(z) in diesem Gebiet, daraus wieder die Existenz von f "'(z) usw. Also gilt:

Jede in einem Gebiet einmal differenzierbare Funktion einer komplexen Veränderlichen ist dort beliebig oft differenzierbar.


Wir betrachten nun wieder eine Funktion



und nehmen an, dass in einem Gebiet G sowohl die partiellen Ableitungen erster Ordnung als auch alle partiellen Ableitungen höherer Ordnung der Funktionen u(x, y) und v(x, y) existieren (was durchaus nicht selbstverständlich ist, da es sich ja hier um Funktionen reeller Veränderlicher handelt.). Dann erhält man aus den in G geltenden Gleichungen



durch nochmaliges partielles Differenzieren nach x die Gleichungen



Da nach dem Satz von SCHWARZ



ist, gilt



Durch partielles Differenzieren der Ausgangsgleichung nach y findet man analog



Es gilt daher der Satz:

Eine reelle Funktion u(x, y) kann nur dann der reelle oder der imaginäre Teil einer in einem Gebiet G differenzierbaren Funktion f(z) = f(x +i y) sein, wenn u in G alle partiellen Ableitungen erster und höherer Ordnung besitzt und wenn dort überall



ist. Für die Summe der zweiten partiellen Ableitung schreibt man auch kurz Δu, wobei Δ der Laplacesche Operator ist. Die Gleichung



heißt die Laplacesche Differentialgleichung.

 

Differentiationsregeln[Bearbeiten]

Potenzfunktionen[Bearbeiten]

Bei der Potenzfunktion einer komplexen Variablen



wobei n eine positive ganze Zahl sein soll, ist



und daher



und


Offensichtlich kann der Grenzwert berechnet werden, ohne dass irgendwelche Annahmen über den Weg des Grenzgangs gemacht werden müssen. Das bedeutet, dass der Grenzwert vom Weg unabhängig ist. Folglich ist die Funktion in der ganzen Z-Ebene differenzierbar.

Es fällt auf, dass bei der Berechnung der Ableitung nirgends berücksichtigt werden muss, dass z eine komplexe Variable ist. Das bedeutet, dass auch die folgenden Differentiationsregeln einfach von den Funktionen reeller Variabler übernommen werden können. Insbesondere können Summen von Potenzfunktionen gliedweise differenziert werden. Dies gilt im Inneren ihres Konvergenzkreises auch für Potenzreihen.


Potenzreihen[Bearbeiten]

Hat die Potenzreihe


einen positiven Konvergenzradius, so stellt sie im Inneren ihres Konvergenzbereichs eine Funktion f(z) dar. Diese Funktion hat dort Ableitungen jeder Ordnung, die durch gliedweise Differentiation berechnet werden. Also ist





und



Da



ist, kann man dafür auch schreiben



Ersetzt man hierin n - k durch n und dementsprechend n durch n + k, so ergibt sich die zum Rechnen bequemere Formel:



Hat eine Potenzreihe den Mittelpunkt z0 (statt wie oben den Mittelpunkt 0):



so kann sie durch die Koordinatentransformation ζ = zz0 auf die oben angegebene Form gebracht werden. Durch Rücktransformation ergibt sich für die k-te Ableitung dann



Potenzfunktionen und die durch Potenzreihen dargestellten Funktionen sind also (im Inneren ihres Konvergenzbereichs) reguläre (oder analytische) Funktionen.

Exponentialfunktion, trigonometrische und hyperbolische Funktionen[Bearbeiten]

Die Funktionen exp z, sin z, cos z, sinh z und cosh z sind auch im Komplexen durch beständig konvergente Potenzreihen dargestellt. Sie sind daher in der ganzen Z-Ebene regulär (oder analytisch). Durch gliedweise Differentiation der Potenzreihen findet man




Weitere wichtige Ableitungen gewinnt man über die Umkehrfunktionen.


Umkehrfunktionen und die Ableitungen weiterer Funktionen[Bearbeiten]

In einem Gebiet G sei eine reguläre (und somit differenzierbare und stetige) Funktion w = f(z) definiert, und jeder zum Definitionsbereich der Funktion gehörige Funktionswert trete nur einmal auf.

Dann gibt es zu jedem auftretenden Funktionswert w genau eine Zahl z derart, dass w = f(z) ist. Somit kann die Variable z als eine Funktion der Variablen w aufgefasst werden, wobei dann w die unabhängige und z die abhängige Variable ist. Auch die Begriffe "Definitionsbereich" und Wertebereich vertauschen dann ihre Rollen.

Die so definierte Funktion z = g(w) heißt die Umkehrfunktion oder inverse Funktion zu w = f(z).

Der Differenzenquotient der inversen Funktion ist



ihr Differentialquotient ist



Die Umkehrfunktion g(z) ist also in ihrem Definitionsbereich und für f' (z) ungleich 0 ebenfalls differenzierbar.

Unter Benutzung der Umkehrfunktion können nun weitere Funktionen differenziert werden.

Beispiel: Die Funktion


ist für



in der ganzen Ebene umkehrbar eindeutig. Ihre Umkehrfunktion ist



das ist der Hauptwert des natürlichen Logarithmus. Wegen


ist



Durch Vertauschung der Variablen ergibt sich die übliche Schreibweise


Konforme Abbildung[Bearbeiten]

Konforme Abbildung durch analytische Funktionen[Bearbeiten]

Gegeben sei eine analytische Funktion w = f(z) der komplexen Variablen z = x + i y:


wobei wie immer u und v Funktionen der reellen Variablen x und y sind.

Nun durchlaufe z in der Ebene eine Kurve K, die durch die Gleichung y = g(x) beschrieben sei (z. B. y = x2). Dann durchläuft die abhängige Variable w in ihrer Ebene eine Kurve K ', die beschrieben werden kann durch die Gleichung



Die Kurve K ' wird als das Bild oder als die Abbildung der Kurve K bezeichnet.


FTh30.PNG


Die Steigung der Kurventangente in irgendeinem Punkt P mit zP = ζ der Kurve y =g(x) ist dann



Dabei bedeutet der Index ζ, dass der Grenzwert an der Stelle z = ζ zu bilden ist.

Die Steigung der Bildkurve K ' im Bildpunkt P ' von P (unter der Voraussetzung, dass der auftretende Grenzwert existiert) ist



Nun ist



und


also ist



und wegen der Gültigkeit der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen



Zunächst ist festzustellen, dass der Grenzwert im Allgemeinen existiert und daher die Steigung der Tangente der Bildkurve einen definierten Wert besitzt. (Das Nullwerden des Nenners weist auf eine vertikale Tangente hin.)


Nun kann - da der Tangens jeden beliebigen Wert annehmen kann - jederzeit ein Winkel α so bestimmt werden, dass



ist, wobei



ist. Man kann dann schreiben



Folglich ist



Wir betrachten nun eine weitere durch den Punkt P gehende Kurve, deren Steigung in P gleich



sei. Die Steigung ihrer Bildkurve im entsprechenden Bildpunkt ist dann


und folglich



wobei α den gleichen Wert wie oben haben soll.


Die beiden Tangenten der Bildebene bilden dann miteinander den Winkel



Das heißt, die Tangenten bilden in beiden Ebenen den gleichen Winkel miteinander.

Eine Abbildung mit dieser Eigenschaft heißt winkeltreu. Die betrachtete reguläre Funktion w = f(z) erzeugt also eine winkeltreue Abbildung von Teilen der Z-Ebene in die W-Ebene.

Betrachten wir nun ein Dreieck PQR in der Ursprungsebene und seine Abbildung P'Q'R' . Die Abbildungen der Dreiecksseiten sind im Allgemeinen nicht geradlinige, sondern gekrümmte Kurvenstücke. Die Winkel zwischen den Tangenten dieser Kurven in den drei Eckpunkten stimmen jedoch mit den entsprechenden Dreieckswinkeln in der Z-Ebene überein.

Je kleiner man das ursprüngliche Dreieck macht, desto mehr nähert sich seine Abbildung einem Dreieck mit geraden Seiten an. Wegen der Gleichheit der Winkel sind diese beiden Dreiecke ähnlich und stimmen daher auch in den Seitenverhältnissen überein. Die winkeltreue Abbildung ist daher "im Kleinen" auch maßstabstreu. Eine solche Abbildung heißt konforme Abbildung.

Die reguläre Funktion erzeugt also eine konforme Abbildung.

Für eine hinreichend kleine Strecke Δz und ihre Abbildung Δw gilt wegen


Also ist der