Einführung in die Logik/ Einleitung

Einleitung

Was heißt "Logik"?

In der Neuzeit hatte sich die Auffassung durchgesetzt, Logik sei die Kunst des (formal) richtigen Denkens. So sagt Kant etwa: Logik ist die "Wissenschaft von den notwendigen Gesetzen des Verstandes und er Vernunft überhaupt oder, welches einerlei ist, von der bloßen Form des Denkens überhaupt".

Demgegenüber war in der moderne Logik lange Zeit der Auffassung vorherrschend, Logik sei die Lehre des "formal" richtigen Schließens. Diese beiden Grunddefinitionen wollen wir nun zusammendenken und in einer einzigen Synthese zusammenzuführen. Die dabei entstehende folgende Definition ist heute die allgemein gebräuchliche:

Logik ist die Lehre des formal richtigen Denkens und Schließens.

Der Begriff "Aussage"

Eine "Aussage" ist eine Ansammlung von Zeichen, Lauten oder Ähnlichem, bei der man auf Grundlage von anderen Ansammlungen von Zeichen oder Ähnlichem entscheiden kann, ob sie wahr ist.

Eine Aussage wäre: "Es regnet oder es regnet nicht." Den Wahrheitsgehalt solcher Aussagen kann man allerdings auch ohne andere Aussagen bestimmen, da sie immer wahr sind. Wenn es nicht regnet, kann es nicht regnen, und wenn es nicht nicht regnet, muss es regnen. So etwas nennt man eine "Tautologie".

Befehle, Fragen oder Ausrufe sind zum Beispiel keine Aussagen. Man kann von so etwas wie "Lass es regnen!", "Regnet es?" oder "Ah!" keinen Wahrheitswert bestimmen. Ausrufe wie "Regen!" sind natürlich auch keine Aussagen. Wenn man so etwas im Alltag sagt, schwingt aber immer eine Aussage mit. In der Logik wird man sich jedoch nicht mit mitschwingenden Aussagen beschäftigen.

Außerdem sind Sätze mit falscher Grammatik keine Aussagen, denn es ist unmöglich, etwas wie „Ich Katze unwahr nicht sein du zu“ einen Wahrheitswert zuordnen. Durch Rechtschreibfehler bleibt eine Aussage generell eine Aussage, denn es sind in der Logik sowieso keine Wörter außer Junktoren und Quantoren definiert. Lediglich wenn es dadurch zu einer falschen Grammatik kommt, wären sie verboten.

Der Begriff "Urteil" ist so heute nicht mehr gebräuchlich. Er findet zumeist nur dann Anwendungen, wenn es um Kant und die Kritik der reinen Vernunft (KdrV) geht. Der Begriff "Urteil" ist also eigentlich nur in einem historischen Kontext von Bedeutung.

Name Beispiel Mitschwingende Aussage

Befehl Fahr langsamer! Ich will, dass du langsamer fährst.

Frage Wie heißt du? Ich will, dass du mir sagst, wie du heißt.

Ausruf (streng genommen grammatikalisch nicht korrekt) Häh? Ich verstehe das nicht.

Feuer! Da ist Feuer.

Grammatikalisch nicht Korrektes Das ist Tom seins. Das ist Toms.

Elementaraussagen

Der Begriff "Elementarsatz" geht unmittelbar auf Wittgensteins für die Entwicklung der Aussagnelogik wichtigen Tractatus logico-philosophicus zurück. Unter einem Elementarsatz oder einer Elementaraussage versteht man die kleinste sprachliche Einheit, die noch einen Wahrheitswert annehmen und somit wahr oder falsch sein kann.

Variablen

Eine "Variable" ist in der formalen Logik ein sprachliches Zeichen, für das beliebige Ausdrücke einer bestimmten Art eingesetzt werden können. Im Gegensatz zu logischen Konstanten haben Variablen keine selbständige Bedeutung. und sind bedeutungsleere Zeichen, die nur dazu dienen, die Stellen anzuzeigen, an denen die bedeutungsvollen Konstanten ... einzusetzen sind.

Welche Ausdrücke für eine Variable eingesetzt werden dürfen, wird durch eine vorgegebene Menge von Elementen bestimmt. Diese wird Grund-, Objekt-, Definitions- oder Variabilitätsbereich oder Extension einer Variablen genannt.

Die Ausdrücke, die für bestimmte Variable eingesetzt werden dürfen, heißen auch Werte dieser Variablen. Variablen repräsentieren ihre Werte. Man sagt auch, dass die Variablen die Menge der Gegenstände, die durch die Konstanten (ihre Werte) bezeichnet werden, durchlaufen."

Junktoren

Ein "Junktor" (von lat. iungere „verknüpfen, verbinden“) ist eine logische Verknüpfung zwischen Aussagen innerhalb der Aussagenlogik, also ein logischer Operator. Junktoren werden auch Konnektive, Konnektoren, Satzoperatoren, Satzverknüpfer, Satzverknüpfungen, Aussagenverknüpfer, logische Bindewörter, Verknüpfungszeichen oder Funktoren genannt und als logische Partikel klassifiziert. Sprachlich wird zwischen der jeweiligen Verknüpfung selbst (zum Beispiel der Konjunktion) und dem sie bezeichnenden Wort beziehungsweise Sprachzeichen (zum Beispiel dem Wort "und" beziehungsweise dem Zeichen "∧") oft nicht unterschieden.

Quantoren

Ein "Quantor" oder "Quantifikator", die Re-Latinisierung des von C. S. Peirce eingeführten Ausdrucks "quantifier", ist ein Operator der Prädikatenlogik. Neben den Junktoren sind die Quantoren Grundzeichen der Prädikatenlogik. Allen Quantoren gemeinsam ist, dass sie Variablen binden.

Die beiden gebräuchlichsten Quantoren sind der Existenzquantor (in natürlicher Sprache zum Beispiel als "mindestens ein" ausgedrückt) und der Allquantor (in natürlicher Sprache zum Beispiel als "alle" oder "jede/r" ausgedrückt). Andere Arten von Quantoren sind Anzahlquantoren wie "ein" oder "zwei", die sich auf Existenz- beziehungsweise Allquantor zurückführen lassen, und Quantoren wie "manche", "einige", "wenige" oder "viele", die auf Grund ihrer Unbestimmtheit in der klassischen Logik nicht verwendet werden.

Die logische Form

(1) Die einfachste aussagenlogische Form einer Aussage erhält man durch Einsetzung von Aussagenvariablen für alle elementaren Teilaussagen der Aussage, durch Einsetzung von Junktoren für die grammatischen Konjunktionen der Aussage sowie durch Klammerung zur sinngemäßen Gliederung komplexer Aussagen.

(2) Die einfachste prädikatenlogische Form einer Aussage erhält man durch Einsetzung von Prädikatorvariablen für alle Prädikatoren der Aussage, durch Einsetzung von Quantoren für die Ausdrücke "alle", "einige" und "keines" mit geeigneter Quantifizierung sowie durch geeignete Klammersetzung zur sinngemäßen Gliederung komplexer Aussagen. Folgerungen, Argumente, Schlüsse

Ein Argument (ein Schluss) besteht auf einer Menge von Prämissen und einer Konklusion, wobei Prämissen und Konklusionen stets Aussagen sind. Das Argument ist wahr, wenn die Konklusion logisch aus den Prämissen folgt. Die Folgerung (das Argument, der Schluss) muss wahr sein, wenn die Prämissen und Bedeutungen von Junktoren und Quantoren sowie evtl. Details der Sprache, aber nichts anderes gegeben sind. Es gibt zwei Arten von Folgerungen:

Semantische Folgerungen

In dieser Folgerungsart guckt man sich alle möglichen Kombinationen der Wahrheitswerte der Elementaraussagen an. Damit das Argument wahr ist, muss die Konklusion bei allen Belegungen mit Wahrheitswerten der Elementaraussagen wahr sein. Syntaktische Ableitungen

Bei der syntaktischen Ableitung leitet man mit Hilfe eines Kalküls ab. Ein Kalkül besteht aus Axiomen und Transformationsregeln. Die Axiome sind Aussagen, die man zu den Prämissen hinzufügen kann. Die Transformationsregeln sind Aussagen, bei denen aber manchmal Platzhalter statt Teilaussagen stehen. Dadurch sind sie keine Aussagen mehr. Wie die Axiome kann man die Transformationsregeln beliebig zu den Prämissen hinzufügen und entfernen. Allerdings muss man zuvor die Platzhalter durch Prämissen oder Folgerungen von Prämissen ersetzt haben. Durch diese beiden Aktionen kann man Konklusionen ableiten. Ein Kalkül ist in der Regel so, dass die Ableitung nach diesem Kalkül den gleichen Wahrheitswert hat wie eine semantische Folgerung mit den gleichen Prämissen und der gleichen Konklusion, wenn keine Quantoren in den Prämissen oder der Konklusion enthalten sind. Bei Quantoren ist so etwas in einigen Fällen gar nicht möglich. Wann genau, werden wir später sehen.

Der Begriff "Gültigkeit" (logische Wahrheit)

Eine Aussage ist gültig, wenn sie unabhängig davon, wie die Wörter bzw. Zeichen in ihr definiert sind, wahr ist. Eine gültige Aussage (logische Wahrheit) wird auch Tautologie genannt. Logische Wahrheiten sind somit immer tautologisch.

Bedeutungen von Aussagen

In der Logik ist es nicht möglich, eine Menge von Prämissen so zu gestalten, dass eine Aussage eine einzelne echte Bedeutung erhält, also wirklich für etwas in der realen Welt steht, denn dafür müsste man sie eindeutig definieren.

Aber wenn ich ein Wort definiere, dann kommen in der Definition weitere Wörter vor. Diese müssen in den Prämissen wieder definiert werden. In der Definition kommen wieder Wörter vor, die definiert werden müssen. Irgendwann haben wir keine andere Möglichkeit mehr, als ein Wort in der Definition zu benutzen, dessen Bedeutung von eben dieser Definition abhängt, da unser Wortschatz endlich ist. Man versucht, ein Wort mit sich selbst zu erklären. Das führt zu einem Zirkelschluss.

Als Einwand könnte man jetzt einbringen, Junktoren und Quantoren seien ja bereits mit einer Bedeutung versehen. Aber Junktoren und Quantoren verknüpfen nur Teilaussagen, deren Bedeutung auch gegeben sein muss, damit die Aussage eine Bedeutung erhält.

So hat jede Aussage der Logik eine unendliche oder leere (wenn sie widersprüchlich ist) Menge an möglichen Bedeutungen. Allerdings gibt es in er Regel Bedeutungen, die eine Aussage nicht haben kann, sogar unendlich viele. Also gibt es meistens unendlich viele mögliche und unendlich viele nicht mögliche echte Bedeutungen der Aussagen.

Probleme mit der natürlichen Sprache

Wenn man Logik betreibt, benutzt man in der Regel nicht die natürliche Sprache, sondern eine für die Logik entwickelte.

Das liegt zum ersten daran, dass die natürliche Sprache einfach unpraktisch ist. Junktoren und Quantoren stechen nicht aus der Sprache heraus, und es gibt seltsame Fälle wie: „Katzen und Hunde sind süß“. Hier verbindet das „und“ das Wort „Katzen“ mit der Aussage „Hunde sind süß“. Junktoren verbinden aber immer nur Aussagen. Streng genommen ist der Satz nur eine Abkürzung für „Katzen sind süß und Hunde sind süß“, trotzdem macht man es sich unnötig schwer. Die Satzstruktur muss manchmal umgestellt werden, was die Arbeit auch nicht gerade erleichtert. In der natürlichen Sprache haben auch andere Wörter als Junktoren und Quantoren eine Bedeutung; diese ist in Argumenten allerdings nicht definiert. Es kann allerdings schwer sein, sich diese wegzudenken. Außerdem liegt es an Mehrdeutigkeiten im Satzbau (die in den Wörtern selbst behebt die formale Sprache auch nicht).

Beispiele für Mehrdeutigkeiten:

(Satz - Interpretationsmöglichkeiten)

Alle haben einen Stein.

Jeder hat genau einen Stein.

Jeder hat mindestens einen Stein.

Alle haben denselben Stein und sonst keinen.

Alle haben denselben Stein, eventuell auch andere.

Man kann leben und nicht leben.

Es ist möglich zu leben und es ist möglich, nicht zu leben.

E s ist möglich, gleichzeitig zu leben und nicht zu leben.

Es regnet oder es schneit.

Es regnet, es schneit oder beides.

Entweder es regnet oder es schneit.

Sie sieht Markus auf dem Berg mit einem Fernrohr.

Sie sieht Markus, der auf dem Berg ist, und sie benutzt dafür ein Fernrohr.

Sie sieht Markus, der ein Fernrohr hat und der auf dem Berg ist.

Sie sieht Markus, der auf dem Berg ist, und der Berg ist mit einem Fernrohr ausgestattet.

Sie sieht Markus, sie benutzt dafür ein Fernrohr und ist auf dem Berg.

Sie sieht Markus, der ein Fernrohr hat, und ist auf dem Berg.

Sie sieht Markus und ist auf dem Berg, der mit einem Fernrohr ausgestattet ist.

Arten von Logik

Die "normale" Logik ist die sogenannte klassische Logik. Solche klassichen Logiken sind die Aussagenlogik, die Prädikatenlogik und die Syllogistik. Bei allen übrigen Logiken spricht man von nichtklassischen Logiken

Darüber hinaus unterscheidet man ganz grundsätzlich zwischen zweiwertiger Logik und Mehrwertiger Logik.

Aussagenlogik

Die "Aussagenlogik" geht vor allem auf Frege zurück. Frege arbeitete sie in seiner berühmten Begriffsschrift aus. Die Aussagenlogik wurde später von Russel weiterentwickelnt, noch später von Wittgenstein im Tractatus logico-philosophicus. Mit diesem neuen Teilgebiet der Logik beginnt die moderne Logik, die auch mathematische oder Symbollogik genannt wird. Bei der Aussagenlogik geht es um Verknüpfungen von Elementarsätzen (Wittgenstein), die durch symbolische Variablen ersetzt werden, mittels so genannter "Junktoren", den Aussageverknüpfungen. Auf diese Weise kann man die Wahrheitswerte komplexer Aussagen immer genau bestimmten, wenn die Wahrheitswerte der Elementaraussagen bekannt sind. Die Wahrheitswerte bestimmt man mit Hilfe so genannter Wahrheitstafeln. Um die Aussagenlogik soll es in Kapitel 3 gehen.

Prädikatenlogik

Die "Prädikatenlogik" bzw. "Quantorenlogik" wurde unabhängig voneinander von Frege in seiner berühmten Begriffsschrift und von Peirce entwickelt. Genau genommen handelt es sich um eine ganze Familie von Theorien, die ein Wichtiges Teilgebiet der Logik, aber auch der Mathematik darstellt. Bei der Prädikatenlogik zerlegt man, anders als in der Aussagenlogik, elementare Aussagensätze (Wittgenstein) in Subjekt und Prädikat, für die je ein eigenes Symbol gewählt wird. Das Besondere ist, dass man diese symbolischen Elementaraussagen durch so genannte "Quantoren" ergänzt. Man unterscheidet einen Allquantor ("Alle Menschen sind sterblich") und einen Existenzqunator ("Einige Äpfel sind grün"). Auf diese Weise sind differenziertere logische Aussagen möglich als mit der bloßen Aussagenlogik, und daher stellt die Prädikatenlogik auch eine Erweiterung der Aussagenlogik dar. Um die Prädikatenlogik soll es in Kapitel 4 gehen.

Syllogistik

Als "Syllogistik" wird allgemein die Lehre von den Syllogismen bezeichnet. Die klassische Logik untersuchte insbesondere, unter welchen Voraussetzungen Syllogismen gültig sind. Syllogismen sind immer nach dem gleichen Muster aufgebaut. Jeweils zwei Prämissen (Voraussetzungen), Obersatz und Untersatz genannt, führen zu einer Konklusion (Schlussfolgerung). Die Prämissen und die Konklusion sind Aussagen von einem bestimmten Typ, in denen jeweils einem Begriff, dem syllogistischen Subjekt, ein anderer Begriff, das syllogistische Prädikat (nicht gleichbedeutend mit Subjekt und Prädikat in der Grammatik), in bestimmter Weise zu- oder abgesprochen wird. In Abhängigkeit von der Stelle, an der sie im Syllogismus auftreten, werden die vorkommenden Begriffe Oberbegriff, Mittelbegriff und Unterbegriff genannt. Um die Syllogistik soll es abschließend in Kapitel 5 gehen.

Modallogik

Die "Modallogik" untersucht die formale Darstellbarkeit und die logischen und linguistischen Gehalte von Modalsätzen. Dabei spielen die folgenden schon von Kant her bekannten Modalitäten eine zentrale Rolle: "möglich", "nicht mögliche" (unmöglich) "notwendig" und "nicht notwendig" (zufällig). Genau genommen handelt es sich bei der Modallogik um eine ganze Familie von logischen Systemen. Die Modallogik wurde historisch auf ganz unterschiedliche Weise ausgearbeitet. Erst 1963 konnte Saul A. Kripke die Modallogik als ein einheitliches System grundlegen. Dennoch gibt es auch weiterhin verschiedene Subsysteme, die teilweise im Widerspruch zueinander stehen.

Deontische Logik

Die "deontische Logik untersucht die formale Darstellbarkeit und die logischen und linguistischen Gehalte normativer (deontischer) Sätze.

Epistemische Logik

"Die "epistemische Logik" (von griechisch 'Wissen'), auch Wissenslogik, untersucht die formale Darstellbarkeit und die logischen und linguistischen Gehalte von Glaubenssätzen. Die epistemische Logik fällt zumeist mit der doxologischen Logik zusammen.

Temporale Logik

Die "temporale Logik" oder "Zeitenlogik" untersucht die formale Darstellbarkeit und die logischen und linguistischen Gehalte zeitenlogischer Sätze. Die temporale Logik ist eine mehrwertige Logik.

Fuzzylogik

Die "Fuzzylogik" ("unscharfe Logik", "unscharfe Theorie") ist eine Logik,, die versucht, auch Unsicherheiten wie "ein bisschen", "ziemlich", "stark", "sehr" usw. formal darzustellen. Die Fuzzylogik ist eine mehrwertige Logik.

Interogativlogik

Die "Interogativlogik" oder "erotetische Logik" untersucht die formale Darstellbarkeit und die logischen und linguistischen Gehalte von Fragesätzen. Beispiel: Frage: p? Antwort: p!

Quantenlogik

Die Quantenlogik untersucht die Frage, ob die Struktur mikrophysikalischer bzw. quantenphysikalischer Prozesse eine andersgeartete, neue Logik notwendig macht. Stichworte sind hier die "Superposition" und die "Verschränkung" von Teilchen. Außerdem wird der Stellenwert der Quantenphysik im Weltganzen untersucht, der mit dem neuen ontologischen Status verbunden ist.