Einführung in die Logik/ Klassische Syllogistik

Klassische Syllogistik

Urteile

Ein "Urteil" ist in der Logik die Form einer Feststellung, die in der sprachlichen Form eines Satzes ausgedrückt wird. Dabei wird das Urteil mit dem Vorgang der Bildung der Feststellung, ihrem propositionalen Gehalt oder der Bewertung dieses Gehalts identifiziert (ein Urteil bilden vs ein Urteil treffen vs ein Urteil fällen). Das Urteil wird als ein Grundbegriff der Logik nicht in jeder Theorie der Logik ausdrücklich definiert.

Unterschiedliche Standpunkte bestehen hinsichtlich der Frage, ob und inwiefern eine psychologische Betrachtung des Denkprozesses (etwa in Assoziationspsychologie) für die Urteilstheorie eine Rolle spielen bzw. daneben überhaupt eine selbstständige Urteilstheorie möglich ist (Psychologismus). Schließlich beeinflussen erkenntnistheoretische oder ontologische Annahmen (wie schon bei Aristoteles deutlich wird) mitunter sehr stark die Ausgestaltung einer jeden Logik-Konzeption.

In der traditionellen Logik ist „Urteil“ ein Grundbegriff, der eine bestimmte Sicht der logischen Aussage bezeichnet. Jede logische Aussage – jedes Urteil – spricht einem logischen Subjekt eine allgemeinere Bestimmung – ein logisches Prädikat – zu. Spätestens die klassische Logik geht jedoch davon aus, dass es neben der Prädikation auch komplexere Urteilsformen geben muss, und dass nicht jede gebildete Prädikation einen Wahrheitswert hat, sondern erst der vollständige Satz.

Typen von Urteilen

Eine Aussage in einem Syllogismus, ein kategorisches Urteil, setzt immer zwei Begriffe in eine Beziehung. Dabei werden nur vier Typen von Urteilen bezüglich der Beziehung zwischen einem Subjekt (S) und einem Prädikat (P) betrachtet:

Typ	Bezeichnung	Formulierungen des Urteils	Kurzschreibweise
A	allgemein bejahendes Urteil	alle S sind P (und es gibt tatsächlich S) P kommt allem S zu	SaP
E	allgemein verneinendes Urteil	kein S ist P (und es gibt tatsächlich S) P kommt keinem S zu	SeP
I	partikulär bejahendes Urteil	einige S sind P P kommt einigem S zu	SiP
O	partikulär verneinendes Urteil	einige S sind nicht P P kommt einigem S nicht zu	SoP

Die Vokale stammen dabei aus den lateinischen Worten „affirmo“ (ich bejahe) und „nego“ (ich verneine), wobei jeweils der erste Vokal für ein allgemeines, der zweite für ein partikuläres Urteil steht.

Quantität und Qualität

Die Eigenschaft einer Aussage, über wie viele Gegenstände sie spricht, wird traditionell die "Quantität" dieser Aussage genannt. In diesem Sinn gibt es im Syllogismus zwei Quantitäten, nämlich (a) partikulär und (b) universell oder allgemein. Die Eigenschaft einer Aussage, einem Subjekt ein Prädikat zu- oder abzusprechen, wird traditionell die "Qualität" dieser Aussage genannt. Spricht eine Aussage einem Subjekt ein Prädikat zu, nennt man sie bejahende Aussage, spricht sie es ihm ab, verneinende Aussage. Die Typen von Aussagen sind in folgender Tabelle nach ihrer Qualität und Quantität aufgeschlüsselt:

	bejahend	verneinend
allgemein	A-Urteil	E-Urteil
partikulär	I-Urteil	O-Urteil

Logisches Quadrat der Urteile

Das logische Quadrat

Das logische Quadrat

Zwischen den unterschiedlichen Aussagentypen bestehen verschiedene Beziehungen, und zwar wie folgt:

• Zwei Aussagen bilden einen kontradiktorischen Gegensatz genau dann, wenn beide weder gleichzeitig wahr noch gleichzeitig falsch sein können, mit anderen Worten: Wenn beide unterschiedliche Wahrheitswerte haben müssen. Das wiederum ist genau dann der Fall, wenn die eine Aussage die Negation der anderen ist (und umgekehrt). Für die syllogistischen Aussagentypen trifft das kontradiktorische Verhältnis auf die Paare A–O und I–E zu.

• Zwei Aussagen bilden einen konträren Gegensatz genau dann, wenn sie zwar nicht beide zugleich wahr, wohl aber beide falsch sein können. In der Syllogistik steht nur das Aussagenpaar A–E in konträrem Gegensatz.

• Zwei Aussagen bilden einen subkonträren Gegensatz genau dann, wenn nicht beide zugleich falsch (wohl aber beide zugleich wahr) sein können. In der Syllogistik steht nur das Aussagenpaar I–O in subkonträrem Gegensatz.

• Zwischen den Aussagetypen A und I einerseits und E und O andererseits besteht ein Folgerungszusammenhang (traditionell wird dieser Folgerungszusammenhang im logischen Quadrat Subalternation genannt): Aus A folgt I, d. h. wenn alle S P sind, dann gibt es auch tatsächlich S, die P sind; und aus E folgt O, d. h. wenn keine S P sind, dann gibt es tatsächlich S, die nicht P sind. Diese Zusammenhänge werden oft in einem Schema, das unter dem Namen "Logisches Quadrat" bekannt wurde, zusammengefasst (siehe Abbildung). Die älteste bekannte Niederschrift des logischen Quadrats stammt aus dem zweiten nachchristlichen Jahrhundert und wird Apuleius von Madauros zugeschrieben.

Syllogismen

Syllogistische Argumente sind immer nach dem gleichen Muster aufgebaut. Jeweils zwei Prämissen (Voraussetzungen), genannt Obersatz (lateinisch propositio major) und Untersatz (lateinisch propositio minor), führen zu einer Konklusion (Schlussfolgerung, lateinisch conclusio). Im hier dargestellten "kategorischen Syllogismus" (auch "assertorischer Syllogismus" genannt) sind Prämissen und Konklusion kategorische Urteile, d. h. Aussagen, in denen einem Begriff (griechisch ὅρος – horos, lateinisch terminus), dem Subjekt, ein anderer Begriff, das Prädikat, in bestimmter Weise zu- oder abgesprochen wird. Zum Beispiel wird im kategorischen Urteil „Alle Menschen sind sterblich“ dem Subjekt "Mensch" das Prädikat "sterblich" zugesprochen. Zu beachten – und an diesem Beispiel ersichtlich – ist, dass die Wörter "Subjekt" und "Prädikat" im Zusammenhang der Syllogistik anders verwendet werden als in der traditionellen Grammatik, wo das grammatikalische Subjekt der Ausdruck „alle Menschen“ und das grammatikalische Prädikat – je nach Sichtweise – das Wort "sind" oder der Ausdruck "sind sterblich" wäre.

Innerhalb eines Syllogismus werden insgesamt drei verschiedene Begriffe verwendet:

• der Oberbegriff (lateinisch terminus major), der im Obersatz und auf der rechten Seite der Konklusion, d. h. als deren Prädikat (P) vorkommt;

• der Unterbegriff (lateinisch terminus minor), der im Untersatz und auf der linken Seite der Konklusion, d. h. als deren Subjekt (S) vorkommt; und

• der Mittelbegriff (M) (lateinisch terminus medius), der im Obersatz und im Untersatz, nicht aber in der Konklusion vorkommt. In der Nachfolge von Johannes Philoponus wird den Bezeichnungen "Oberbegriff" und "Unterbegriff" seit dem 17. Jahrhundert mehrheitlich keinerlei inhaltliche Bedeutung beigemessen und sie werden ausschließlich aus ihrem Auftreten im Obersatz beziehungsweise im Untersatz und als Prädikat beziehungsweise Subjekt der Konklusion erklärt. Gelegentlich werden Unter- und Oberbegriff auch als Subjekt bzw. Prädikat des Syllogismus bezeichnet.

Ein Beispiel für einen gültigen Syllogismus ist Folgendes:

Der Mittelbegriff dieses Syllogismus ist der Begriff "Rechteck"; im Obersatz dieses Syllogismus tritt der Mittelbegriff als Subjekt, in seinem Untersatz als Prädikat auf. Der Unterbegriff dieses Syllogismus ist der Begriff „Quadrat;“ er tritt im Untersatz als Subjekt auf. Der Oberbegriff dieses Syllogismus ist schließlich der Begriff „Kreis;“ er tritt im Obersatz als Prädikat auf. Die vier Figuren

Welche der drei Begriffe S, P und M in welcher Aussage des Syllogismus vorkommen müssen, ist festgelegt: Der Obersatz besteht aus P und M, der Untersatz aus S und M, die Konklusion aus S und P. Die Konklusion hat dabei immer die Form S – P, die Anordnung der Begriffe in den Prämissen kann frei gewählt werden. Die Reihenfolge, in der die Prämissen aufgeschrieben werden, ist für die Gültigkeit eines Syllogismus zwar unerheblich, dennoch wird bereits seit Aristoteles zuerst der Obersatz und im Anschluss der Untersatz genannt. Je nach Anordnung der Begriffe in den Prämissen unterscheidet man die vier möglichen Figuren:

1. Figur 2. Figur 3. Figur 4. Figur

erste Prämisse M – P P – M M – P P – M

zweite Prämisse S – M S – M M – S M – S

Konklusion S – P S – P S – P S – P

Beispiel:

Prämisse 1 (oder Obersatz): Alle Menschen (M) sind sterblich (P).

Prämisse 2 (oder Untersatz): Alle Griechen (S) sind Menschen (M).

Konklusion (oder Schlusssatz): Also sind alle Griechen (S) sterblich (P).

Aufgrund der Stellung der Begriffe M – P, S – M, S – P erkennt man einen Syllogismus der 1. Figur.

Die prädikatenlogischen Stammformen

1. Figur

( M ( x ) → P ( x ) ) ∧ ( S ( x ) → M ( x ) ) ⇒ ( S ( x ) → P ( x ) )

2. Figur

( P ( x ) → M ( x ) ) ∧ ( S ( x ) → M ( x ) ) ⇒ ( S ( x ) → P ( x ) )

3. Figur

( M ( x ) → P ( x ) ) ∧ ( M ( x ) → S ( x ) ) ⇒ ( S ( x ) → P ( x ) )

4. Figur

( P ( x ) → M ( x ) ) ∧ ( M ( x ) → S ( x ) ) ⇒ ( S ( x ) → P ( x ) )

Jetzt müssen nur noch die Quantoren zur Stammform hinzugefügt werden, dann hat man die prädikatenlogische Form der Syllogistik. Modi (Kombinationen) und ihre Merkwörter

Da jede der drei Aussagen in einem Syllogismus von einem der vier Typen A, E, O, I sein kann, gibt es pro Figur 4 × 4 × 4 = 64 Möglichkeiten, Aussagen zu einem Syllogismus der jeweiligen Figur zu kombinieren. Jede dieser Möglichkeiten wird ein Modus (Plural: Modi) bzw. eine Kombination der jeweiligen Figur genannt. Bei insgesamt vier verschiedenen Figuren gibt es so insgesamt 64 × 4 = 256 Kombinationsmöglichkeiten, d. h. 256 Typen von Syllogismen. Unter diesen 256 Modi sind 24 gültige und 232 nicht gültige Syllogismen. Ein Modus wird durch drei Buchstaben beschrieben. Dabei stehen die ersten beiden Buchstaben für die Typen der Prämissen, der dritte Buchstabe für den Typ der Konklusion.

Beispiel:

Prämisse 1 (oder Obersatz): Alle Krimis (M) sind spannend (P).

Prämisse 2 (oder Untersatz): Einige Bücher (S) sind Krimis (M).

Konklusion (oder Schlusssatz): Also sind einige Bücher (S) spannend (P).

Prämisse 1 ist vom Typ A, Prämisse 2 vom Typ I, die Konklusion folglich ebenfalls vom Typ I. Es handelt sich also um einen Syllogismus vom Typ A–I–I.

Die 24 gültigen Modi werden traditionell mit folgenden Merkwörtern bezeichnet:

1. Figur: Barbara, Celarent, Darii, Ferio, Barbari, Celaront

2. Figur: Baroco, Cesare, Camestres, Festino, Camestrop, Cesaro

3. Figur: Bocardo, Darapti, Datisi, Disamis, Felapton, Ferison

4. Figur: Bamalip, Calemes, Dimatis, Fesapo, Fresison, Calemop

In diesen Merkwörtern bezeichnen die Vokale die Typen der Aussagen in der Reihenfolge Obersatz–Untersatz–Konklusion; zum Beispiel bezeichnet Modus Darii einen Syllogismus der ersten Figur und vom Typ A–I–I. Die Konsonanten geben an, auf welchen Syllogismus der 1. Figur (erster Konsonant) der jeweilige Syllogismus zurückgeführt werden kann und durch welche Veränderung (jeweils auf Vokal folgender Konsonant) diese Zurückführung möglich ist.

Abschließend sollten sämtliche formal gültigen Syllogismen (Schlüsse) systematisch wiedergegeben werden.

Die Schlüsse der 1. Figur

1. Modus Barbara (AAA)

M a P ∧ S a M → S a P

Bsp.:

Alle Menschen sind sterblich.

Alle Griechen sind Menschen.

Alle Griechen sind sterblich.

2. Modus Celarent (EAE)

M e P ∧ S a M → S e P

Bsp.:

Kein Mensch ist vollkommen.

Alle Studenten sind Menschen.

Kein Student ist vollkommen.

3. Modus Darii (AII)

M a P ∧ S i M → S i P

Bsp:

Alle Philosophen sind verrückt.

Einige Menschen sind Philosophen.

Einige Menschen sind verrückt.

4. Modus Ferio (EIO)

M e P ∧ S i M → S o P

Bsp.:

Kein Raucher lebt gesund.

Einige Jugendliche sind Raucher.

Einige Jugendliche leben nicht gesund.

5. Modus Barbari (AAI)

M a P ∧ S a M → S i P

Bsp.:

Alle Rechtecke sind Vierecke.

Alle Quadrate sind Rechecke.

Einige Quadrate sind Vierecke.

6. Modus Celaront (EAO)

M e P ∧ S a M → S o P

Bsp:

Kein Rechteck ist ein Kreis.

Alle Quadrate sind Rechtecke.

einige Quadrate sind keine Kreise.

Die Schlüsse der 2. Figur

7. Modus Cesare (EAE)

P e M ∧ S a M → S e P

Bsp.:

Kein Dreieck ist rund,

Alle Kreise sind rund.

Kein Kreis ist ein Dreieck.

8. Modus Camestres (AEE)

P a M ∧ S e M → S e P

Bsp.:

Alle Politiker streben nach Macht.

Kein Philosoph strebt nach Macht.

Kein Philosoph ist Politiker.

9. Modus Festino (EIO)

P e M ∧ S i M → S o P

Bsp.:

Kein Autofahrer ist blind.

Einige Raucher sind blind.

Einige Raucher sind keine Autofahrer

10. Modus Baroco (AOO)

P a M ∧ S o M → S o P

Bsp.:

Alle Spatzen sind frech.

Einige Vögel sind nicht frech.

Einige Vögel sind keine Spatzen.

11. Modus Cesaro (EAO)

P e M ∧ S a M → S o P

12. Modus Camestrop (AEO)

P a M ∧ S e M → S o P

Bsp.:

Alle Vögel sind Wirbeltiere.

Kein Insekt ist ein Wirbeltier.

Einige Insekten sind kleine Vögel.

Die Schlüsse der 3. Figur

13: Modus Darapti (AAI)

M a P ∧ M a S → S i P

Bsp.:

Alle Quadrate sind Rechtecke.

Alle Quadrate sind Vierecke.

Einige Vierecke sind Rechtecke.

14. Modus Disamis (IAI)

M i P ∧ M a S → S i P

Bsp.:

Einige Früchte sind Äpfel.

Alle Früchte sind Pflanzen.

Einige Pflanzen sind Äpfel.

15. Modus Datisi (AII)

M a P ∧ M i S → S i P

Bsp.:

Alle Rechtecke sind Vierecke.

Einige Rechtecke sind Quadrate.

Einige Quadrate sind Vierecke.

16. Modus Felapton (EAO)

M e P ∧ M a S → S o P

Bsp.:

Keine Münchner sind Passauer.

Alle Münchner sind Stadtbewohner.

Einige Stadtbewohner sind keine Passauer.

17. Modus Ferison (EIO)

M e P ∧ M i S → S o P

Bsp.:

Keine Münchner sind Passauer.

Einige Münchner sind Studenten.

Einige Studenten sind nicht Passauer.

18. Modus Bocardo (OAO)

M o P ∧ M a S → S o P

Bsp.:

Einige Münchner sind nicht Politiker.

Alle Münchner sind Stadtbewohner.

Einige Stadtbewohner sind nicht Politiker.

Die Schlüsse der 4. Figur

19. Modus Barnalip (AAI)

P a M ∧ M a S → S i P

Bsp.:

Alle Autofahrer zahlen Steuern.

Alle Steuerzahler sind unglücklich.

Einige Unglückliche sind Autofahrer.

20. Modus Camenes (AEE)

P a M ∧ M e S → S e P

Bsp.:

Alle Quadrate sind Rechtecke.

Alle Rechtecke sind Vierecke.

Einige Vierecke sind Quadrate.

21. Modus Fesapo (EAO)

P e M ∧ M a S → S o P

Bsp.:

Keine Passauer sind Münchner.

Alle Münchner sind Stadtbewohner.

Einige Stadtbewohner sind keine Münchner.

22. Modus Dimaris (IAI)

P i M ∧ M a S → S i P

Bsp.:

Einige Rauten sind Rechtecke.

Alle Rechecke sind Parallelogramme.

Einige Parallelogramme sind Rauten.

23. Modus Fresison (EIO)

P e M ∧ M i S → S o P

Bsp.:

Keine Passauer sind Münchner.

Einige Münchner sind Studenten.

Einige Studenten sind keine Passauer.

24. Modus Camenop (AEO)

P a M ∧ M e S → S o P

Wesentlich verschiedene Syllogismen

Die Äquivalenzen "XeY genau dann falls YeX" und ebenso "XiY genau wenn YiX" erlauben es, Syllogismen in mehreren Paaren miteinander zu identifizieren, im EIO-Fall sogar vier, durch alle vier Figuren. Dann bleibt eine verkürzte Liste von nur sechs Syllogismen übrig, falls noch Abschwächungen gestrichen werden: Barbara, Camestres, Fesapo, Ferio, Datisi und Baroco. Hier die Übersicht:

AAA – Modus Barbara

Beispiel

Alle Rechtecke sind Vierecke

Alle Quadrate sind Rechtecke

Es folgt: Alle Quadrate sind Vierecke

AEE – Modus Camestres

Beispiel

Alle Fische atmen durch Kiemen

Kein Säugetier atmet durch Kiemen

Es folgt: Kein Säugetier ist ein Fisch

EAO – Modus Fesapo

Beispiel

Keine Passauer sind Münchner

Alle Münchner sind Stadtbewohner

Es folgt: Einige Stadtbewohner sind keine Passauer

EIO – Modus Ferio

Beispiel

Kein Säugetier atmet mit Kiemen

Einige Wassertiere sind Säugetiere

Es folgt: Einige Wassertiere atmen nicht mit Kiemen

AII – Modus Datisi

Beispiel

Alle Rechtecke sind Vierecke

Einige Rechtecke sind Quadrate

Es folgt: Einige Vierecke sind Quadrate

AOO – Modus Baroco

Beispiel

Alle Fische atmet mit Kiemen

Einige Wassertiere atmen nicht mit Kiemen

Es folgt: Einige Wassertiere sind keine Fische