Einführung in die Logik/ Logisches Schließen

Logisches Schließen

Induktive und deduktive Schlüsse

Die "Syllogismen" (von altgriechisch συν-λογισμός syllogismos: '[das] Zusammenrechnen', 'logischer Schluss') sind ein Katalog bestimmter Typen "logischer Schlüsse". Sie bilden den Kern der im vierten Jahrhundert vor unserer Zeitrechnung entstandenen antiken Logik des Aristoteles und der traditionellen Logik bis ins 19. Jahrhundert. Als Haupttechnik der Logik wurde der syllogistische Ansatz durch die Integration der Logik in die Mathematik (mit den Arbeiten von George Boole und Gottlob Frege im 19. und frühen 20. Jahrhundert) abgelöst.

Syllogistische Argumente sind immer nach dem gleichen Muster aufgebaut. Jeweils zwei Prämissen (Voraussetzungen), genannt Obersatz (lateinisch propositio major) und Untersatz (lateinisch propositio minor), führen zu einer Konklusion (Schlussfolgerung, lateinisch conclusio).

Innerhalb eines Syllogismus werden insgesamt drei verschiedene Begriffe verwendet:

• der Oberbegriff (lateinisch terminus major), der im Obersatz und auf der rechten Seite der Konklusion, d. h. als deren Prädikat (P) vorkommt;

• der Unterbegriff (lateinisch terminus minor), der im Untersatz und auf der linken Seite der Konklusion, d. h. als deren Subjekt (S) vorkommt; und

• der Mittelbegriff (M) (lateinisch terminus medius), der im Obersatz und im Untersatz, nicht aber in der Konklusion vorkommt. In der Nachfolge von Johannes Philoponus wird den Bezeichnungen „Oberbegriff“ und „Unterbegriff“ seit dem 17. Jahrhundert mehrheitlich keinerlei inhaltliche Bedeutung beigemessen und sie werden ausschließlich aus ihrem Auftreten im Obersatz beziehungsweise im Untersatz und als Prädikat beziehungsweise Subjekt der Konklusion erklärt.

Man unterscheidet seit Aristoteles zwischen induktiven Schlüssen und deduktiven Schlüsen.

Induktive Schlüsse

Schematische Darstellung des Zusammenhangs von Theorie, Empirie, Induktion und Deduktion, wie er klassisch vertreten wird Die "Induktion" (lat. inducere: 'herbeiführen', 'veranlassen', 'einführen') bedeutet seit Aristoteles den abstrahierenden Schluss aus beobachteten Phänomenen auf eine allgemeinere Erkenntnis, etwa einen allgemeinen Begriff oder ein Naturgesetz.

Der Ausdruck wird als Gegenbegriff zu Deduktion verwendet. Eine Deduktion schließt aus gegebenen Voraussetzungen auf einen speziellen Fall, Induktion hingegen ist der umgekehrte Weg. Wie dieser genau zu bestimmen ist, wurde besonders seit Mitte des 20. Jahrhunderts kontrovers diskutiert; ebenso die Frage, ob Induktion und Deduktion tatsächlichen Erkenntnisprozessen im Alltag oder in der Wissenschaft entsprechen oder ob es sich um Artefakte der Philosophie handelt.

David Hume vertrat die Position, dass es eine Induktion im Sinne eines Schlusses auf allgemeine und notwendige Gesetze, der zwingend und erfahrungserweiternd ist, nicht geben kann. Im 20. Jahrhundert haben Theoretiker, wie Hans Reichenbach und Rudolf Carnap, versucht, formal exakte Theorien des induktiven Schließens zu entwickeln. Karl Popper hat vehement zu zeigen versucht, dass Induktion eine Illusion sei, dass in Wirklichkeit immer nur Deduktion zum Einsatz käme und dass sie auch ausreichend sei. Er erhob bis zu seinem Tode den kontroversen Anspruch, mit seinem deduktiven methodologischen Ansatz das Induktionsproblem tatsächlich und endgültig gelöst zu haben.

Deduktive Schlüsse

Die "Deduktion" (lateinisch deductio: 'Abführen', 'Fortführen', 'Ableitung'), auch deduktive Methode oder deduktiver Schluss, ist in der Philosophie und der Logik eine Schlussfolgerung gegebener Prämissen auf die logisch zwingenden Konsequenzen. Deduktion ist schon bei Aristoteles als „Schluss vom Allgemeinen auf das Besondere“ verstanden worden, d. h. der Vererbung von Eigenschaften, die alle Mitglieder einer Gruppe teilen, auf echte Untermengen und einzelne Elemente. Dem stellt Aristoteles die Induktion als Gewinnung von allgemeinen Aussagen aus der Betrachtung mehrerer Einzelfälle, und die Abduktion oder Apagoge gegenüber, die feststellt, dass bestimmte Einzelfälle unter eine gegebene oder noch zu entdeckende allgemeine Regel fallen.

Wichtige Schlussregeln

Eine "Schlussregel" (oder Inferenzregel) bezeichnet eine Transformationsregel (Umformungsregel) in einem Kalkül der formalen Logik, d. h. eine syntaktische Regel, nach der es erlaubt ist, von bestehenden Ausdrücken einer formalen Sprache zu neuen Ausdrücken überzugehen. Dieser regelgeleitete Übergang stellt eine Schlussfolgerung dar.

Im Folgenden sollen die wichtigsten Schlussregeln für das deduktive Schließen vorgestellt werden.

Modus ponens (MP)

Der "Modus ponens" ist eine schon in der antiken Logik bekannte Schlussfigur, die in der klassischen Logik als Schlussregel eine wichtige Rolle spielt.

Der Modus ponens erlaubt es, aus zwei Aussagen der Form Wenn A, dann B und A (den beiden Prämissen der Schlussfigur) eine Aussage der Form B (die Konklusion der Schlussfigur) herzuleiten.

Modus ponens der Implikation

Aus den Prämissen

A → B

und

A

folgt die Konklusion

B

Beispiel:

Aus den Voraussetzungen "Wenn es regnet, wird die Straße nass" und "Es regnet2 folgt logisch: "Die Straße wird nass".

Modus ponens der Replikation

Aus den Prämissen

A ← B

und

B

folgt die Konklusion

A

Beispiel:

Aus den Voraussetzungen "Ich esse nur, wenn ich Hunger habe" und "Ich esse gerade" folgt logisch: "Dann habe ich jetzt auch Hunger".

Modus tollens (MT)

Der "Modus tollens" ist eine Schlussfigur, die in der klassischen Logik als Schlussregel eine wichtige Rolle spielt.

Der Modus tollens besagt, dass aus den Voraussetzungen Wenn A, dann B und nicht B auf nicht A geschlossen werden kann.

Modus tollens der Implikation

Aus den Prämissen

A → B

und

¬ B

folgt die Konklusion

¬ A

Beispiel:

Aus den Voraussetzungen "Wenn es regnet, wird die Straße nass" und "Dei Straße ist nicht nass" folgt logisch: "Es hat nicht geregnet".

Modus tollens der Replikation

Aus den Prämissen

A ← B

und

¬ A

folgt die Konklusion

¬ B

Beispiel:

Aus den Voraussetzungen "Ich esse nur, wenn ich Hunger habe" und "Ich habe jetzt keinen Hunger" folgt logisch: "Ich möchte jetzt auch nicht essen".

Notwendige und hinreichende Bedingung

Seien A und B Sachverhalte;

(1) Wenn gilt (d.h., wenn wahr ist): "immer" wenn A, dann B (Implikation); dann heißt A hinreichende Bedingung für B.

(2) Wenn gilt (d.h., wenn wahr ist): "nur" wenn A, dann B (Replikation); dann heißt A notwendige Bedingung für B Im Falle begrifflicher Abhängigkeitsverhältnisse erlaubt die Kenntnis, dass A hinreichend für B den Schluss, dass B notwendig für A ist, und umgekehrt.

Kettenschluss oder hypothetischer Syllogismus (HS)

Aus den Prämissen

A → B

B → C

folgt die Konklusion

A → C

Der Kettenschluss hat immer die gleiche Form: Wenn A B ist, und wenn B C ist, dann ist auch A C. Dieser Kettenschluss entspricht praktisch dem Modus Barbara in der Syllogistik.[9]

Beispiel 1: Alle Apfelbäume sind Pflanzen und alle Pflanzen sind Lebewesen. Dann sind auch alle Apfelbäume Lebewesen.

Beispiel 2: Alle Quadrate sind Rechtecke und alle Rechtecke sind Vierecke. Dann sind auch alle Quadrate Vierecke.

Disjunktiver Syllogismus (DS) - auch adjunktiver Syllogismus oder Modus tollendo ponens genannt

Aus den Prämissen

A ∨ B

¬ A

folgt die Konklusion

B

Die Umkehrung gilt hingegen nicht:

Aus den Prämissen

A ∨ B

A

folgt "nicht" die Konklusion

¬ B

Beispiel 1 für einen gültigen disjunktiven Syllogismus: Entweder die Sonne scheint, oder es ist bewölkt. Die Sonne scheint nicht. Dann ist es bewölkt.

Beispiel 2: Peter fährt mit der Bahn oder mit dem Auto in den Urlaub. Er währt nicht mit der Bahn. Dann fährt er mit dem Auto.

Konjunktiver Syllogismus (KS) - auch Modus ponendo tollens genannt

Aus den Prämissen

¬ ( A ∧ B )

A

folgt die Konklusion

¬ B

Es wird also - inhaltlich gesprochen - aus dem Wissen, dass zwei bestimmte Sachverhalte nicht zugleich bestehen können, dass aber einer der beiden Sachverhalte sehr wohl besteht, darauf geschlossen, dass der andere der beiden nicht vorliegt.

Beispiel: Martin war gestern nicht sowohl bei Petra, als auch bei Karin. Er war gestern bei Petra. Also war er nicht bei Karin.

Konjunktionsbeseitigung (KB)

Aus der Prämisse

A ∧ B

folgt die Konklusion

A

Oder:

Aus der Prämisse

A ∧ B

folgt die Konklusion

B

Dieser Regel liegt die bereits bekannte Tautologie ⊢ ( p ∧ q ) → p zu Grunde.

Konjunktionseinführung (KE)

Aus den Prämissen

A

B

folgt die Konklusion

A ∧ B

Im Laufe eines logischen Beweises kann man zwei Prämissen oder bereits bewiesene Sätze stets durch eine Konklusion verbinden.

Disjunktionseinführung (DE)

Aus der Prämisse

A

folgt die Konklusion

A ∨ B

Dieser Shluss folgt aus dem Satz (der Tautologie) ⊢ p → ( p ∧ q )

Widerspruchsregel (WR) - auch indirekter Beweis oder "reductio ad absurdum"

Aus der Prämisse

A → ( B ∧ ¬ B )

Folgt die Konklusion

¬ A

Wenn aus einer Annahme A ein Widerspruch : B ∧ ¬ B abgeleitet werden kann, dann muss die Annahme A falsch sein. Klassisches Dilemma (KD)

Aus den Prämissen

A ∨ B

A → C

B → C

folgt die Konklusion

C

Beispiel:

Aus den Prämissen

Im Winter regnet es oder es schneit.

Wenn es regnet, ist die Straße glatt.

Wenn es schneit, ist die Straße (auch) glatt.

folgt die Konklusion

Im Winter ist die Straße glatt.

Der Logikkalül

Die ganzen hier vorgestellten deduktiven Schlussregeln sind erforderlich, wenn man komplette formale Beweise durchführen möchte. Das macht man üblicher Weise in einem sogenannten "Logikkalkül" Wie man das macht, würde aber den Rahmen dieser elementaren Einführung sprengen. Es sei lediglich auf die weiterführende Literatur verwiesen.