Prädikatenlogik

Wikipedia hat einen Artikel zum Thema:

Prädikatenlogik

Was heißt Prädikatenlogik

Die "Prädikatenlogik" bzw. "Quantorenlogik" wurde unabhängig voneinander von Frege in seiner berühmten Begriffsschrift und von Peirce entwickelt. Genau genommen handelt es sich um eine ganze Familie von Theorien, die ein Wichtiges Teilgebiet der Logik, aber auch der Mathematik darstellt. Bei der Prädikatenlogik zerlegt man, anders als in der Aussagenlogik, elementare Aussagensätze (Wittgenstein) in Subjekt und Prädikat, für die je ein eigenes Symbol gewählt wird. Das Besondere ist, dass man diese symbolischen Elementaraussagen durch so genannte "Quantoren" ergänzt. Man unterscheidet einen Allquantor ("Alle Menschen sind sterblich") und einen Existenzqunator ("Einige Äpfel sind grün"). Auf diese Weise sind differenziertere logische Aussagen möglich als mit der bloßen Aussagenlogik, und daher stellt die Prädikatenlogik auch eine Erweiterung der Aussagenlogik dar.

Subjekt und Prädikat

Thomas Zoglauer schreibt in seiner "Einführung in die formale Logik für Philosophen":

"Während man in der Aussagenlogik Aussagen und deren Verknüpfung untersucht, untersucht man in der Prädikatenlogik die innere Struktur von Aussagesätzen. Es zeigt sich nämlich, dass jede elementare Aussage aus einem Subjekt und einem Prädikat besteht."

Beispiele:

Eva (Subjekt) ist (Kopula) hübsch (Prädikat).

Die Erde (Subjekt) ist (Kopula) eine Kugel (Prädikat).

Der Apfel (Subjekt) ist (Kopula) rund (Prädikat).

Das Auto (Subjekt) ist (Kopula) schnell (Prädikat).

Das Wetter (Subjekt) ist (Kopula) schön (Prädikat).

Die allgemeine Form eines Aussagesatzes sieht also "so" aus:

S ist ein P. = P ist eine Eigenschaft von S.

S ist ein P. = P ist ein Merkmal von S.

S ist ein P. = S befindet sich im Zustand P.

"S ist das Subjekt. Es ist ein singulärer Term (Eigenname) und bezeichnet ein individuelles Objekt. (Subjekt als Zugrundeliegendes, als Träger einer Eigenschaft) Das Subjekt ist der Teil des Satzes, über den etwas ausgesagt wird. P ist das Prädikat. Es ist ein allgemeiner Term (Begriff) und bezeichnet eine Eigenschaft."

Subjekt

Ding

Substanz

etwas bezeichnen

referenzielle Funktion

singularer Term

Prädikat

Eigenschaft(en)

Akzidenz

etwas beschreiben

deskriptive Funktion

genereller Term

Formalisierung

Zur Unterscheidung von Subjekt und Prädikat bezeichnen wir Subjekte künftig mit eine kleinen "x" in Verbindung mit einem großen Buchstaben und Prädikate nur mit großen Buchstaben (A, B, C, ... P, Q, R, usw.).

Beispiel: Als Subjekt sei A(x) Apfel und als Prädikate seien R = rot und G = wohlschmeckend gegeben. Damit können wir folgende Stammformen bilden:

Der Apfel ist rot. = A ( x ) → R ( x )

Lies: Wenn dieses x ein Apfel ist, dann ist er rot.

Der Apfel schmeckt gut. = A ( x ) → G ( x )

Lies: Wenn dieses x ein Apfel ist, dann schmeckt er gut.

Der Rennwagen ist schnell. = R ( x ) → S ( x )

Lies: Wenn dieses x ein Rennwagen ist, ist er schnell.

Quantoren

Ein Quantor oder Quantifikator, die Re-Latinisierung des von Charles Sanders Peirce eingeführten Ausdrucks "quantifier", ist ein Operator der Prädikatenlogik. Neben den Junktoren sind die Quantoren Grundzeichen der Prädikatenlogik. Allen Quantoren gemeinsam ist, dass sie Variablen binden.

Die beiden gebräuchlichsten Quantoren sind der Existenzquantor (in natürlicher Sprache zum Beispiel als "mindestens ein" ausgedrückt) und der Allquantor (in natürlicher Sprache zum Beispiel als „alle“ oder "jede/r" ausgedrückt). Andere Arten von Quantoren sind Anzahlquantoren wie "ein", "zwei" oder "kein", die sich auf Existenz- beziehungsweise Allquantor zurückführen lassen, und Quantoren wie "manche", "einige" oder "viele", die auf Grund ihrer Unbestimmtheit in der klassischen Logik nicht verwendet werden.

Die Lesart der Quantoren

Der Allquantor: "alle x":

∀ x

Der Existenzquantor: "einige x":

∃ x

Wahrheitsbedingungen

Die Aussage ∃ x F ( x ) ist wahr, wenn es mindestens ein x gibt, das die Eigenschaft F hat. Die Aussage ist also auch dann wahr, wenn alle x F sind und die Grundmenge, über die quantifiziert wird, nicht leer ist. Die Aussage ∀ x F ( x ) ist wahr, wenn alle x F sind, sonst falsch.

Typen von Urteilen

Eine Aussage in einem Syllogismus, ein kategorisches Urteil setzt immer zwei Begriffe in eine Beziehung. Dabei werden nur vier Typen von Urteilen bezüglich der Beziehung zwischen einem Subjekt (S) und einem Prädikat (P) betrachtet:

Typ

Bezeichnung

Formulierungen des Urteils

Kurzschreibweise

A

allgemein bejahendes Urteil

alle S sind P (und es gibt tatsächlich S)

P kommt allem S zu

SaP

E

allgemein verneinendes Urteil

kein S ist P (und es gibt tatsächlich S)

P kommt keinem S zu

SeP

I

partikulär bejahendes Urteil

einige S sind P

P kommt einigem S zu

SiP

O

partikulär verneinendes Urteil

einige S sind nicht P

P kommt einigem S nicht zu

SoP

Die Vokale stammen dabei aus den lateinischen Worten „affirmo“ (ich bejahe) und „nego“ (ich verneine), wobei jeweils der erste Vokal für ein allgemeines, der zweite für ein partikuläres Urteil steht.

Quantität und Qualität

Die Eigenschaft einer Aussage, über wie viele Gegenstände sie spricht, wird traditionell die "Quantität" dieser Aussage genannt. In diesem Sinn gibt es im Syllogismus zwei Quantitäten, nämlich (a) partikulär und (b) universell oder allgemein. Die Eigenschaft einer Aussage, einem Subjekt ein Prädikat zu- oder abzusprechen, wird traditionell die "Qualität" dieser Aussage genannt. Spricht eine Aussage einem Subjekt ein Prädikat zu, nennt man sie bejahende Aussage, spricht sie es ihm ab, verneinende Aussage. Die Typen von Aussagen sind in folgender Tabelle nach ihrer Qualität und Quantität aufgeschlüsselt:

	bejahend	verneinend
allgemein	A-Urteil	E-Urteil
partikulär	I-Urteil	O-Urteil

Logisches Quadrat der Urteile

Das logische Quadrat

Zwischen den unterschiedlichen Aussagentypen bestehen verschiedene Beziehungen, und zwar wie folgt:

• Zwei Aussagen bilden einen kontradiktorischen Gegensatz genau dann, wenn beide weder gleichzeitig wahr noch gleichzeitig falsch sein können, mit anderen Worten: Wenn beide unterschiedliche Wahrheitswerte haben müssen. Das wiederum ist genau dann der Fall, wenn die eine Aussage die Negation der anderen ist (und umgekehrt). Für die syllogistischen Aussagentypen trifft das kontradiktorische Verhältnis auf die Paare A–O und I–E zu.

• Zwei Aussagen bilden einen konträren Gegensatz genau dann, wenn sie zwar nicht beide zugleich wahr, wohl aber beide falsch sein können. In der Syllogistik steht nur das Aussagenpaar A–E in konträrem Gegensatz.

• Zwei Aussagen bilden einen subkonträren Gegensatz genau dann, wenn nicht beide zugleich falsch (wohl aber beide zugleich wahr) sein können. In der Syllogistik steht nur das Aussagenpaar I–O in subkonträrem Gegensatz.

• Zwischen den Aussagetypen A und I einerseits und E und O andererseits besteht ein Folgerungszusammenhang (traditionell wird dieser Folgerungszusammenhang im logischen Quadrat Subalternation genannt): Aus A folgt I, d. h. wenn alle S P sind, dann gibt es auch tatsächlich S, die P sind; und aus E folgt O, d. h. wenn keine S P sind, dann gibt es tatsächlich S, die nicht P sind. Diese Zusammenhänge werden oft in einem Schema, das unter dem Namen "Logisches Quadrat" bekannt wurde, zusammengefasst (siehe Abbildung). Die älteste bekannte Niederschrift des logischen Quadrats stammt aus dem zweiten nachchristlichen Jahrhundert und wird Apuleius von Madauros zugeschrieben.

Allgemeine Übersetzungsregeln

Hier nun die allgemeinen Übersetzungsregeln für nicht-komplexe Aussageformenormen mit "P" als Prädikatorvariablen und "x" als Gegenstandsvariable:

• ∀ x P ( x ) Für jedes x gilt: x ist P (alle x sind P).

• ∀ x ¬ P ( x ) Für jedes x gilt: x ist nicht P (kein x ist P).

• ∃ x P ( x ) Für einige x gilt: x ist P (einige x sind P).

• ∃ x ¬ P ( x ) Für einige x gilt: x ist nicht P (einige x sind nicht P).

Klammern und Klammerregeln

Die Klammern haben eigentlich die gleiche Bedeutung wie in der Mathematik. Die Ausdrücke in den Klammern werden zuerst ausgewertet. Ausdrückliche Klammerregeln sind wohl wenig sinnvoll, denn grundsätzlich muss es möglich sein, die Klammen frei zu setzen, und wenn ich eine Veränderung der Klammersetzung vornehme, ergibt sich auch eine komplett andere Aussage. Wir wollen es in dieser Einführung so handhaben, dass "immer" Klammern gesetzt werden, wo es sinnvoll ist.

Übersetzungen von komplexen Formeln

Einige allgemeine Übersetzungsregeln für komplexe Formeln lauten:

• ∀ x ( P ( x ) → Q ( x ) ) Für jedes x gilt: Wenn x P ist, dann ist x (auch) Q (alle P's sind Q. Beispiel: Alle Menschen sind sterblich.

• ∀ x ( P ( x ) → ¬ Q ( x ) ) Für jedes x gilt: Wenn x P ist, dann ist x nicht Q (kein P ist Q). Beispiel: Kein Affe ist ein Fisch.

• ∃ x ( P ( x ) → Q ( x ) ) Für einige x gilt: x ist P und x ist Q (einige P's sind Q). Beispiel: Einige Männer sind intelligent.

• ∃ x ( P ( x ) → ¬ Q ( x ) ) Für einige x gilt: x ist P und x ist nicht Q (einige P's sind nicht Q). Beispiel: Einige Männer sind nicht intelligent.

Die prädikatenlogisch Form

Die einfachste prädikatenlogische Form einer Aussage erhält man durch Einsetzung von Prädikatorvariablen für alle Prädikatoren der Aussage, durch Einsetzung von Quantoren für die Ausdrücke "alle", "einige" und "keines" mit geeigneter Quantifizierung sowie durch geeignete Klammersetzung zur sinngemäßen Gliederung komplexer Aussagen.

Beispiele für die Herstellung prädikatenlogischer Formen

Hier sind einige Beispiel für die Herstellung prädikatenlogischer Formen:

Beispiele:Alles lebt. ∀ x L ( x )

• Einiges ist unerträglich. ∃ x U ( x )

• Nichts hält ewig. ∀ x ¬ E ( x )

• Menschen sind fähig, zu weinen. ∀ x ( ( M ( x ) → W ( x ) )

• Alle Menschen sind sterblich. ∀ x ( ( M ( x ) → S ( x ) )

• Einige Menschen sind genial ( ∃ x ) ( ( M ( x ) → G ( x ) )

• Kein Tier ist dumm. ∀ x ( ( T ( x ) → ¬ D ( x ) )

• Einige Männer sind keine Machos. ∃ x ( ( M 1 ( x ) → ¬ M 2 ( x ) )

• Alle Frauen sind intelligent. ( ∀ x ) ( ( F ( x ) → I ( x ) )

• Keine Frau ist Intelligent. ∀ x ( ( F ( x ) → ¬ I ( x ) )

• Alle Kernkraftwerke sind gefährlich. ∀ x ( ( K ( x ) → G ( x ) )

• Kein Politiker ist ehrlich. ∀ x ( ( P ( x ) → ¬ E ( x ) )

• Einige Manager sind unberechenbar. ∃ x ( ( M ( x ) → U ( x ) )

• Nicht alle Raucher sterben an Krebs. ¬ ∀ x ( ( R ( x ) → K ( x ) )

• Einige Philosophen finden keine Arbeit. ∃ x ( ( P ( x ) → ¬ A ( x ) )

• Alles ist Substanz oder Attribut, und Modi sind nicht Substanzen, also sind Modi Attribute. ∀ x ( S ( x ) ∨ A ( x ) ) ∧ ∀ x ( M ( x ) → ¬ S ( x ) ) ⇒ ∀ x ( M ( x ) → A ( x ) )

• Alle Menschen sind sterblich, und alle Philosophen sind Menschen, also sind (auch) alle Philosophen sterblich. (Modus Barbara) ∀ x ( M ( x ) → S ( x ) ) ∧ ∀ x ( P ( x ) → M ( x ) ) ⇒ ∀ x ( P ( x ) → S ( x ) )

• Alle A sind B, und alle B sind C, also sind (auch) alle A C. (Modus Barbara) ∀ x ( A ( x ) → B ( x ) ) ∧ ∀ x ( B ( x ) → C ( x ) ) ⇒ ∀ x ( A ( x ) → C ( x ) )

Rückverwandlung in die sprachliche Form

Wir können natürlich auch gegebene Formeln durch Ersetzen der Variablen durch konkrete Ausdrücke in konkrete Aussagen verwandeln. Einige dieser Ersetzungen werden zu wahren Aussagen führen, andere zu falschen Aussagen.

Beispiele:

• ∀ x ( ( P ( x ) → ( Q ( x ) ∨ R ( x ) ) heißt für P = Mann, Q = aggressiv, R = feige: Alle Männer sind aggressiv oder feige. (wahr oder falsch?)

• ∀ x ( P ( x ) → Q ( x ) ) → ¬ ( K x ) ( P ( x ) ∧ ¬ R ( x ) ) heißt für P = Mensch, Q = Gefühle haben, R = Bewusstsein haben: Wenn alle Menschen Gefühle haben, dann gibt es keinen Menschen, der kein Bewusstsein hat. (wahr)

• ∀ x ( P ( x ) ∧ Q ( x ) ) → R ( x ) heißt für P = Politiker, Q = schlau, R = reich werden: Alle schlauen Politiker werden reich. (wahr oder falsch?)

• ∃ x ( ( P ( x ) → ( Q ( x ) ∨ R ( x ) ) heißt für P = Frau, Q = mathematisch interessiert, R = naturwissenschaftlich interessiert: Einige Frauen sind mathematisch oder naturwissenschaftlich interessiert. (wahr)

Es sollte klar geworden sein, dass es in der Prädikatenlogik darum geht, mit den logischen Formeln genau so logisch zu folgern, wie wir dies bei der Aussagenlogik und dem logischen Schließen schon kennengelernt haben.

Anwendungen

Eigentlich würde jetzt das weite Feld der Anwendungen folgen. Das würde aber den Rahmen dieser elementaren Einführung sprengen. Es sei lediglich auf die weiterführende Literatur verwiesen.