Im folgenden bezeichnen wir einen dreidimensionalen Ortsvektor mit
in Komponenten
für k=1,2,3 und
wobei
.
Es sei ein klassisches System mit verallgemeinerten Koordinaten gegeben
(i=1,2,..,N). Zum Beispiel für
für n Teilchen in
. Sei die Lagrangefunktionen gegeben als
wobei
die Ableitung nach dem Zeitparameter von
ist. Nun erhält man die Bewegungsgleichungen durch das Variationsprinzip:
![{\displaystyle \delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\ L\,dt=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/022b1a151ce376cfc348d30e0c8c251b54429957)
Wobei
die Variation mit Randbedingungen
an Anfangszeitpunkt
und Endzeitpunkt
. Dies führt auf die bekannte Euler-Lagrange Gleichung:
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{i}}}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/603088e56bc07400bbd5d9379cd7a385a4221025)
Der verallgemeinerte Impuls
ist:
![{\displaystyle p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{i}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e2e21f8e5f34bdc290dbe3571d462402b429230)
Nun ist die Hamiltonfunktion gegeben durch:
![{\displaystyle H(q_{i},p_{i})=p_{i}{\dot {q_{i}}}-L}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55fd9b286618a8a13376544b6803db3ad7ccbe51)
(mit Einstein Summenkonvention)
Dies führt auf die bekannten Hamiltongleichungen:
![{\displaystyle {\dot {p_{i}}}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b08eb4e5d85d939ae9ae87c0e0a5a6464c0e6792)
![{\displaystyle {\dot {q_{i}}}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23b395ade8f40fd1e3897201009b517c05a5e728)
Als nächstes führen wir die Quantisierung des klassischen Systems durch. Um das System zu quantisieren betrachten wir
und
als Operatoren mit den Kommutatorrelationen:
![{\displaystyle [q_{i}(t),p_{j}(t)]=i\delta _{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c10b49dfb272308926857a0b709a05af08731609)
![{\displaystyle [q_{i}(t),q_{j}(t)]=[p_{i}(t),p_{j}(t)]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a76d9e5e187bbeba4181802b2489b8b04a74792)
Wobei
und für das Kronecker delta Symbol
gilt 1 wenn
und 0 wenn
.
In der Quantenmechanik wird nun jede physikalische Observable ein hermitischer Operator. In Matrix Form mit den Eigenschaften:
![{\displaystyle A_{ij}=(A^{\dagger })_{ij}=(A^{*})_{ji}=(A_{ji})^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcf9c0e94c37fb53ae95dd62d032a8869f6c7fa8)
Hier bedeutet
die hermitische Konjugation und
die komplexe Konjugation.
Somit haben wir.
![{\displaystyle q_{i}=q_{i}^{\dagger }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ec9135604b796e5db9b9fe9edae027e90e80863)
![{\displaystyle p_{i}=p_{i}^{\dagger }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5abacca94bde58543a0ee934de414c43f5e0e3d1)
![{\displaystyle L=L^{\dagger }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afdae5789be48b22c479ffe8a359e0affc8d6998)
![{\displaystyle H=H^{\dagger }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67587a10e5b72c23dc1e91b7e197e82315f70288)
In der klassischen Mechanik ist die Zeitableitung von
und
gegeben durch die Hamilton Gleichungen, während in der Quantenmechanik die Zeitableitung eines Operators
gegeben ist durch die Heisenberg Gleichung:
![{\displaystyle [H,O(t)]=-i{\dot {O}}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/189abc8db7734f622098ef6c8a799e5f7c8bcc36)
Ein interessantes Beispiel ist das in der klassischen Mechanik
und
kommutieren. Dies bedeutet das z.B. die beiden Hamilton Funktionen:
![{\displaystyle H=p^{1}q^{2}+q^{2}p^{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/736657221cd56778a741b4192d5c56edd9e2eb7c)
![{\displaystyle H=2pqpqp}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eae749441b10c6152fc9cf93f681eae43567c931)
Klassisch das gleiche System sind aber in der Quantenmechanik stellen sie zwei verschiedene Systeme dar, die aber klassisch das gleiche Limit haben können (
).
Beispiel der Quantisierung eines freien Teilchens das sich entlang eines Kreises bewegt mit Radius
(m=1) mit Kondition
:
![{\displaystyle L={\frac {1}{2}}({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0309e6621ef40047c2138906c15e21be89c13b21)
In Polarkoordinaten:
![{\displaystyle L={\frac {1}{2}}r_{0}^{2}{\dot {\theta }}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0958ee27b89359723d173ac647c5205784b3f0d)
Mit konjungiertem Impuls:
![{\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}=p_{\theta }=r_{0}^{2}{\dot {\theta }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45a981f960e664f78a062a5066987d6b2a9fbd30)
Klassische Hamilton Funktion:
![{\displaystyle H(\theta ,p_{\theta })=\theta p_{\theta }-L={\frac {p_{\theta }^{2}}{2r_{0}^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe34e1d2ecd346c481ceb93b33bd9c28751606b2)
Poisson Klammer ist:
![{\displaystyle [\theta ,p_{\theta }]=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38aa53ac1c08890b35e70a50ffc1fb3b9478e506)
Um das System zu quantisieren werden nun die klassischen Variablen durch Operatoren mit den geeigneten Kommutatorrelationen ersetzt.
Mit Operatoren:
![{\displaystyle {\hat {\theta }}\psi (\theta )=\theta \psi (\theta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57e03ce41602bd52884e61fc4a0a77269b7183a3)
![{\displaystyle {\hat {p_{\theta }}}\psi {\theta }=(-i{\frac {\partial }{\partial \theta }})\psi (\theta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cf758a3edb2bd965de730edbd90e2d4f20e19e8)
Die quantenmechanische Hamilton Funktion:
![{\displaystyle H({\hat {\theta }},{\hat {p_{\theta }}})={\frac {{\hat {p_{\theta }}}^{2}}{2r_{0}^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dbf9745dd28ab92d7dcf8b0959a098fe3e350fd)
Beispiel der Quantisierung des harmonische Oszillators mit Einheitsfrequenz.
(m=k=1)
![{\displaystyle L=L(q,{\dot {q}})={\frac {1}{2}}({\dot {q}}^{2}-q^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77494a8f74332d0bcd85aabbabae428bd10c1201)
![{\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}={\dot {q}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06e7ddeeb7bd6959832a89a00d9f7ef1fe6a3a43)
Die klassische Hamilton Funktion ist daher:
![{\displaystyle H(q,p)={\frac {1}{2}}(p^{2}+q^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffadbfba10ff650fb62629569060bf7c7da3b35f)
Hamilton Gleichungen:
![{\displaystyle {\frac {\partial H}{\partial p}}={\dot {q}}=p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d2588b6f1cb3dc2a22cc0c83c60d1dbfbe97437)
![{\displaystyle -{\frac {\partial H}{\partial q}}={\dot {p}}=-q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/949846341826c234d8152bed35c63581729ee3e0)
Für Operatoren und die Heisenberg Gleichung:
(
und
und
sind nun Operatoren)
![{\displaystyle [H,p]=-i{\dot {p}}=iq}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67d0162c6bec836c7be7a1fcfc8f6eedd19a9b47)
![{\displaystyle [H,q]=-i{\dot {q}}=-ip}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de1aa9aedd38a5a0f967d29a56f85015ecec5d45)
Nun schauen wir uns die Eigenwerte des harmonischen Oszillators an und definieren dabei die bekannten Operatoren:
![{\displaystyle a={\frac {1}{\sqrt {2}}}(q+ip)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3a0d1604aa9f495c9aeeae4e4dc4adbb6468cb6)
(nach hermitischer Konjugation)
![{\displaystyle a^{\dagger }={\frac {1}{\sqrt {2}}}(q-ip)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf7aabc8939ce5eb3c71c5b711435e2642176224)
Berechnen der Kommutatorrelationen führt auf:
![{\displaystyle [a,a^{\dagger }]=-i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/862d9a7175c3f9b4de6c67307ae2b539e7e5902d)
Umgeformt in
und
:
![{\displaystyle q={\frac {1}{\sqrt {2}}}(a+a^{\dagger })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c1ed9f6993804987b2d5590b9db7e30a1afa719)
![{\displaystyle p={\frac {1}{\sqrt {2}}}(a-a^{\dagger })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79e394d5a858d73ac5426049eac4a19c5c9eb902)
Kommutatorrelation:
![{\displaystyle [p,q]=-i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d083e74eef8978a5ed0979a836ea6b76e7cc7159)
Einfaches Multiplizieren der beiden Operatoren führt weiter auf:
![{\displaystyle a^{\dagger }a={\frac {1}{2}}(q^{2}+p^{2}-i(pq-qp))={\frac {1}{2}}(H-i[p,q])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaef45937d92d0b273b4c8c3fa2ad860abc71b38)
Vergleich mit oben ergibt:
![{\displaystyle a^{\dagger }a=H-{\frac {1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0be418bf6c87fb8438440b2f5ca4f0569e0553b2)
![{\displaystyle H=a^{\dagger }a+{\frac {1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e8c8d0c55aa69922987fbdca64d3270b5b5a27e)
Nun sein
:
![{\displaystyle H=N+{\frac {1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1025ee5c6370706dde698c5bffac5c057680a361)
Der Operator
ist stets positiv ! (Summe der quadrate ist immer positiv)
Ein Eigenvektor
der Operators
erfüllt nun:
![{\displaystyle H|n>=(n+{\frac {1}{2}})|n>}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d714b0f2f9e5d6113e38e031b8dd824b4380655)
Wobei
jede positive ganze Zahl annehmen kann, 0,1,2,3...n.
Sei nun
der Eigenvektor mit dem kleinsten Eigenwert:
![{\displaystyle H|0>={\frac {1}{2}}|0>}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7b2fca42008a37a7a9e1882dc88b32325e78894)
Damit lassen sich die anderen Eigenvektoren schreiben als:
![{\displaystyle |n>={\frac {1}{\sqrt {n!}}}(a^{\dagger })^{n}|0>}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99f2a12138ce021603385829215c08b672c679cb)
Beweis.....blabla
Führt auf
![{\displaystyle a^{\dagger }|n>={\sqrt {n+1}}|n+1>}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd8b57103143664f27a75d5825cb6146783a2700)
![{\displaystyle a|n>={\sqrt {n}}|n-1>}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/951b351fd325ff4c1010b8496241ad6d55d16dc8)
Der Operator
würd üblicher weiße als "number occupation" Operator bezeichnet und aufgrund ihrer Eigenschaften
als Erschaffungsoperator und
als Vernichtungsoperator.
Beispiele mit orthonormal Basen
Matrixformen von
und
![{\displaystyle a={\begin{pmatrix}0&{\sqrt {1}}&0&...\\0&0&{\sqrt {2}}&...\\0&0&0&...\\.&.&.&...\\.&.&.&...\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b85ba6ee4f41d0994da518f3f47274874024ba7f)
![{\displaystyle a^{\dagger }={\begin{pmatrix}0&0&0&...\\{\sqrt {1}}&0&0&...\\0&{\sqrt {2}}&0&...\\.&.&.&...\\.&.&.&...\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77b10a2690e7b18055ef9adbae729968e32fd2c9)
![{\displaystyle a|1>={\begin{pmatrix}0&{\sqrt {1}}&0&...\\0&0&{\sqrt {2}}&...\\0&0&0&...\\.&.&.&...\\.&.&.&...\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\1\\0\\.\\.\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\\.\\.\end{pmatrix}}=|0>}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73cdabbef99a0fc38127f3253929a960aaa4e7d7)
![{\displaystyle a^{\dagger }|0>={\begin{pmatrix}0&0&0&...\\{\sqrt {1}}&0&0&...\\0&{\sqrt {2}}&0&...\\.&.&.&...\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\.\\.\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\\.\\.\end{pmatrix}}=|1>}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33a5560cb7a713bfe55bfea9ffa3b1cc0a2ff3eb)
(gleiches gilt für die duale Darstellung)
Wir untersuchen nun den Vorgang der quantisierung für klassische Felder. Sei
ein lokales Feld wobei
. Felder die ihre Eigenschaften unter Lorentz-transformation erhalten bleiben werden Spin-0 Feld genannt. Wir betrachtet nun ein Feld für das gilt
.
Sei nun die Lagrange Dichte des klassischen Klein-Gordon Feldes gegeben durch:
![{\displaystyle {\mathfrak {L}}=-{\frac {1}{2}}({\frac {\partial \phi }{\partial x_{\mu }}})^{2}-V(\phi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/497e3b68d5b6ed759befc64df1043f765c87f43a)
Wobei
![{\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial x_{\mu }}}^{2}={\frac {\partial \phi }{\partial x_{\mu }}}{\frac {\partial \phi }{\partial x_{\mu }}}=({\vec {\nabla }})^{2}-{\dot {\phi }}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4a75cea4a920849f25b2712396c9b972a795cfc)
Durch Integration erhält man die Lagrange Funktion:
![{\displaystyle L=\int _{vol}^{}\!{\mathfrak {L}}\,d^{3}r=\int _{vol}^{}\!{\mathfrak {L}}(\phi ({\vec {r}},t),{\dot {\phi }}({\vec {r}},t))\,d^{3}r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/736f3b831cac9caa31be2a4dd2921734d968e652)
Man bemerke nun den Unterschied zwischen:
![{\displaystyle L=L(q_{i}(t),{\dot {q}}_{i}(t))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d6ba8c0fb35d92b6636bb7b7a3ccdf94d840427)
und
![{\displaystyle {\mathfrak {L}}={\mathfrak {L}}(\phi ({\vec {r}},t),{\dot {\phi }}({\vec {r}},t))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84627cacc8fa4efeb954ddefefd1d91a149221f0)
Wobei
als Funktional angesehen wird, das eine Funktion einer anderen Funktion ist, nämlich von
und seiner Zeitableitung. Ein weiterer Unterschied ist bei
der Index diskret ist. Während er bei
kontinuierlich durch
ist und eine unendliche Anzahl an Werten annehmen kann.
Nun definieren wir analog zur dirkreten Version der Lagrange Funktion den verallgemeinerten konjugierten Impuls:
![{\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}=\pi ({\vec {r}}_{i},t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c05e0730e5f3b33041b04a8483f7944c8d2f45a8)
Im Falle der Lagrange Dichte von oben
![{\displaystyle {\mathfrak {L}}=({\vec {\nabla }})^{2}-{\dot {\phi }}^{2}-V(\phi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6bbe6954f01344e3aa2eb9fb58f8d2297aae7d6)
![{\displaystyle L={\frac {1}{2}}\int _{vol}^{}\!{\dot {\phi }}^{2}\,d^{3}r-\int _{vol}^{}\!(\nabla \phi )^{2}+V(\phi )\,d^{3}r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec9c7329f217d44da59e9343dd9e9a31bcd8e167)
![{\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}=\pi ({\vec {r}}_{i},t)={\dot {\phi }}_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff789b983c57f67c3f08411a11c4fb8b132605b2)
Die Hamiltonfunktion:
![{\displaystyle H={\frac {1}{2}}\int _{}^{}\!\pi ^{2}+(\nabla \phi )^{2}+V(\phi )\,d^{3}r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d7310d2e18e4e8826efadb608d37a200d28c2d1)
Regeln der Quantisierung (von oben):
![{\displaystyle [p_{i}(t),q_{j}(t)])-i\delta _{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c94e9d9b12e4e4a50964194b089d4c05e0938ada)
Nun analog für die Quantisierung unseres Skalarfeldes:
![{\displaystyle [\pi ({\vec {r}},t),\phi ({\vec {r}}',t)]=-i\delta ^{3}({\vec {r}}-{\vec {r}}')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2e4ea799fe0ba82a60331d1cd3b64b00e3c5867)
Eigenschaften der Dirac Deltafunktion:
wenn
.
(Integral über den gesamten Raum)
Ähnlich wie bei
![{\displaystyle [q_{i}(t),q_{j}(t)]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ac9e84c5af196c95e4a9ae6bb2fdf588bfc3f55)
![{\displaystyle [p_{i}(t),p_{j}(t)]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a544f33a3882683b5e4e51fb3854eb0090dda17)
Gilt auch:
![{\displaystyle [\phi ({\vec {r}},t),\phi ({\vec {r}}',t)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e6ee8e7eece5c42d235ef32286c93a451782ab7)
![{\displaystyle [\pi ({\vec {r}},t),\pi ({\vec {r}}',t)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9ff2959a53fda40cd8dd3cc37ddd5ad9d92b1c3)
Die Zeitableitung ist nun ganz normal gegeben durch die Heisenberg Gleichung, durch setzen von
Erhält man:
![{\displaystyle [H,\phi ({\vec {r}},t)]=-i{\dot {\phi }}({\vec {r}},t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70444f1bf0ae03947239089796ea0ff739689497)
![{\displaystyle \pi ({\vec {r}},t)={\dot {\phi }}({\vec {r}},t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98e471c396e7fe6379a844cb9c349fefdbbc0f3e)
Auf gleiche Weise erhält man:
![{\displaystyle [H,\pi ({\vec {r}},t)]=-i{\dot {\pi }}({\vec {r}},t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f31e554ca0da62a27ee2c1b95738827f4176ec15)
......
......
Die klassische Bewegungsgleichung der Klein-Gordon Gleichung ist nun:
![{\displaystyle {\ddot {\phi }}-\nabla ^{2}+{\frac {dV}{d\phi }}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c986df4bbc35e67adcd5d66f4625bb50e5daf74)
(Gleichung erhält man auch durch das Variationsprinzip)
![{\displaystyle \delta \int _{}^{}\!L\,dt=\delta \int _{}^{}\!{\mathfrak {L}}\,d^{4}x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e0801546ec1ab737fbe589d996c8b57eef91948)
Zur Lösung der Klein-Gordon Gleichung benutzen wir die Fouriertransformation der Felder
(Lösung der Klein-Gordon Gleichung von oben) und
:
![{\displaystyle \phi ({\vec {r}},t)=\sum \limits _{\vec {k}}^{}{\frac {1}{\sqrt {\omega }}}e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}q_{\vec {k}}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e0c764e3dbb900236a62a97c11cb8e582f85754)
![{\displaystyle \pi ({\vec {r}},t)=\sum \limits _{\vec {k}}^{}{\frac {1}{\sqrt {\omega }}}e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}p_{-{\vec {k}}}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27aa5b8169a2f531afc576e3063bbd9e10e8385d)
Wobei
und
zeitabhängige Operatoren im Hilbertraum und die Komponenten von
(quantisiertem Impuls) gegen sind durch:
![{\displaystyle k_{i}={\frac {2\pi l_{i}}{L_{i}}},i=1,2,3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f31b8917ab1d1384569b146d442a3daba826fb3b)
Mit
Nun interpretieren wir die Felder
und
als hermitische Operatoren und definieren:
![{\displaystyle q_{\vec {k}}(t)=q_{-{\vec {k}}}^{\dagger }(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1832bf609e265c15d8b87da3f2e079e964969e0f)
![{\displaystyle p_{\vec {k}}(t)=p_{-{\vec {k}}}^{\dagger }(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57e050a1f2ebd9a4dbbccda9f8d1885710f67f50)
Weiter definieren wir neue Erschaffungs und Vernichtungs-Operatoren:
![{\displaystyle a_{\vec {k}}(t)={\sqrt {\frac {\omega }{2}}}(q_{\vec {k}}+{\frac {i}{\omega }}p_{-{\vec {k}}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e73bd69291a6f35b6c19905e6c57804062b8c9)
hermitisch Konjugiert:
![{\displaystyle a_{\vec {k}}^{\dagger }(t)={\sqrt {\frac {\omega }{2}}}(q_{-{\vec {k}}}-{\frac {i}{\omega }}p_{\vec {k}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1659a14cd43e1ee4abea6fdcd24af39bc9547c15)
Indem man das Vorzeichen von
ändert erhält man nun:
![{\displaystyle a_{\vec {-k}}^{\dagger }(t)={\sqrt {\frac {\omega }{2}}}(q_{\vec {k}}-{\frac {i}{\omega }}p_{-{\vec {k}}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b067a6ae8d3c1297e0d456b46347f57b9a05ad5)
Analog vom Vorgehen weiter oben kann man nun
und
durch
und
ausdrücken:
![{\displaystyle q_{\vec {k}}(t)={\frac {1}{\sqrt {2\omega }}}[a_{\vec {k}}(t)+a_{-{\vec {k}}}^{\dagger }(t)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/369f4c09fa115f8c4c07741c7bed2f69ef2cf9a7)
![{\displaystyle p_{-{\vec {k}}}(t)={\frac {-i\omega }{\sqrt {2\omega }}}[a_{\vec {k}}(t)-a_{-{\vec {k}}}^{\dagger }(t)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e9f3450dd955c4f541122135f7797632c3165d7)
Nun lassen sich die Felder
und
durch die Erschaffungs und Vernichtungsoperatoren ausdrücken:
![{\displaystyle \phi ({\vec {r}},t)=\sum \limits _{}^{}{\frac {1}{\sqrt {2\omega \Omega }}}[a_{\vec {k}}(t)e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}+a_{\vec {k}}^{\dagger }(t)e^{-i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b9dbcd3962c4ef17fbb28605d630f523dcb712e)
und
![{\displaystyle \pi ({\vec {r}},t)=\sum \limits _{}^{}{\frac {-i\omega }{\sqrt {2\omega \Omega }}}[a_{\vec {k}}(t)e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}-a_{\vec {k}}^{\dagger }(t)e^{-i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca7d7df9fadcd27e333f43b2fc58ff6783fd23fd)
Nun kann man damit die Kommutatoreigenschaften der Operatoren überprüfen.
Der neue Hamiltonian für den harmonischen Oszillator für Felder mit den Operatoren
und
lässt sich nun schreiben als:
![{\displaystyle H={\frac {1}{2}}\omega \sum \limits _{\vec {k}}^{}(a_{\vec {k}}a_{\vec {k}}^{\dagger }+a_{\vec {k}}^{\dagger }a_{\vec {k}})=\sum \limits _{\vec {k}}^{}\omega (a_{\vec {k}}a_{\vec {k}}^{\dagger }+{\frac {1}{2}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62e2cff79461b601a165d1f8f4844dc9a481a1f1)
Als erstes definieren wir drei
Paulimatrizen:
![{\displaystyle \tau _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4804b27d9d37b4a5fd49f2c0d0d6ee47f29b8661)
![{\displaystyle \tau _{2}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e84eca55798b7e07b85feed17be72e893b0e20de)
![{\displaystyle \tau _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd5951b5a5e1c2eb19583e543bfd31092fed6585)
Nun definieren wir noch analog zum Kommutator:
![{\displaystyle [a,b]=ab-ba}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23bf78c808a8f58515d59d520bdfac43cf80114f)
den Antikommutator:
![{\displaystyle \{a,b\}=ab+ba}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26b1381a9421792076cb3dff8671fde43af78bd4)
Die Paulimatrizen erfüllen nun folgende Eigenschaften:
![{\displaystyle \tau _{i}=\tau _{i}^{\dagger }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6cb2141d6e472e73f4e90b191cf8f5708e9349f)
![{\displaystyle [\tau _{i},\tau _{j}]=\tau _{i}\tau _{j}-\tau _{j}\tau _{i}=2i\epsilon _{ijk}\tau _{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b6f0aed0a7281f9b3014d0e95be5fc960fccc35)
Antikommutator Eigenschaft:
![{\displaystyle \{\tau _{i},\tau _{j}\}=\tau _{i}\tau _{j}+\tau _{j}\tau _{i}=2\delta _{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75c0b9df2aac936dd2584411c88f67c9ee962f67)
Wobei
ist 1 bei einer geraden Permutation von 1,2,3 und -1 bei einer ungeraden permutation. 0 für alles andere.
Geschrieben in Vektornotation:
![{\displaystyle {\vec {\tau }}=(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dfccf6b98c884e2ae6ca4914eefb5704c135598)
Als nächstes definieren wir ein "direktes Produkt" zwischen einer
und einer
Matrix, wobei die resultieren Matrix die Dimension
ist.
![{\displaystyle A\otimes B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/887ed3ce13b460df337cda66497515383ded3e5d)
Nun kann man durch das direkte Produkt die
Dirac Matrizen durch die
Pauli Matrixen und eine Einheitsmatrix darstellen:
![{\displaystyle {\vec {\sigma }}={\vec {\tau }}\otimes I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa651d307ecbd1e8bc043ef4ce78be0632b219a6)
![{\displaystyle {\vec {\rho }}=I\otimes {\vec {\tau }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41000e5742939884f3c3c89dc67736442bcbc9d3)
Daraus folgt, jedes Element ist eine
Matrix (0 sind Null Matrixen):
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}{\vec {\tau }}&0\\0&{\vec {\tau }}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bb2ad18df44a0da6b185876b518e38e6c4c8add)
und
ist gegeben durch:
![{\displaystyle \rho _{1}={\begin{pmatrix}0&I\\0&I\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0f1cf63f1bffbc83504378af647a527accc2e9c)
![{\displaystyle \rho _{2}={\begin{pmatrix}0&-iI\\iI&0\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce2d94346f53d06cc0e9a41bb262e2beaff9c580)
![{\displaystyle \rho _{3}={\begin{pmatrix}0&I\\0&I\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/180dc2ca4ff3516f47070eaa36701ef287236739)