Einführung in die Quantenfeldtheorie/ Feldtheorie

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Im folgenden bezeichnen wir einen dreidimensionalen Ortsvektor mit in Komponenten für k=1,2,3 und wobei .

Klassische Mechanik[Bearbeiten]

Es sei ein klassisches System mit verallgemeinerten Koordinaten gegeben (i=1,2,..,N). Zum Beispiel für für n Teilchen in . Sei die Lagrangefunktionen gegeben als wobei die Ableitung nach dem Zeitparameter von ist. Nun erhält man die Bewegungsgleichungen durch das Variationsprinzip:

Wobei die Variation mit Randbedingungen an Anfangszeitpunkt und Endzeitpunkt . Dies führt auf die bekannte Euler-Lagrange Gleichung:

Der verallgemeinerte Impuls ist:

Nun ist die Hamiltonfunktion gegeben durch:

(mit Einstein Summenkonvention)

Dies führt auf die bekannten Hamiltongleichungen:

Quantisierung[Bearbeiten]

Als nächstes führen wir die Quantisierung des klassischen Systems durch. Um das System zu quantisieren betrachten wir und als Operatoren mit den Kommutatorrelationen:

Wobei und für das Kronecker delta Symbol gilt 1 wenn und 0 wenn .

In der Quantenmechanik wird nun jede physikalische Observable ein hermitischer Operator. In Matrix Form mit den Eigenschaften:

Hier bedeutet die hermitische Konjugation und die komplexe Konjugation. Somit haben wir.

In der klassischen Mechanik ist die Zeitableitung von und gegeben durch die Hamilton Gleichungen, während in der Quantenmechanik die Zeitableitung eines Operators gegeben ist durch die Heisenberg Gleichung:

Ein interessantes Beispiel ist das in der klassischen Mechanik und kommutieren. Dies bedeutet das z.B. die beiden Hamilton Funktionen:

Klassisch das gleiche System sind aber in der Quantenmechanik stellen sie zwei verschiedene Systeme dar, die aber klassisch das gleiche Limit haben können ().

Beispiel der Quantisierung eines freien Teilchens das sich entlang eines Kreises bewegt mit Radius (m=1) mit Kondition :

In Polarkoordinaten:

Mit konjungiertem Impuls:

Klassische Hamilton Funktion:

Poisson Klammer ist:

Um das System zu quantisieren werden nun die klassischen Variablen durch Operatoren mit den geeigneten Kommutatorrelationen ersetzt. Mit Operatoren:

Die quantenmechanische Hamilton Funktion:

Harmonischer Oszillator[Bearbeiten]

Beispiel der Quantisierung des harmonische Oszillators mit Einheitsfrequenz. (m=k=1)

Die klassische Hamilton Funktion ist daher:

Hamilton Gleichungen:

Für Operatoren und die Heisenberg Gleichung:

( und und sind nun Operatoren)

Nun schauen wir uns die Eigenwerte des harmonischen Oszillators an und definieren dabei die bekannten Operatoren:

(nach hermitischer Konjugation)

Berechnen der Kommutatorrelationen führt auf:

Umgeformt in und :

Kommutatorrelation:

Einfaches Multiplizieren der beiden Operatoren führt weiter auf:

Vergleich mit oben ergibt:

Nun sein :

Der Operator ist stets positiv ! (Summe der quadrate ist immer positiv)

Ein Eigenvektor der Operators erfüllt nun:

Wobei jede positive ganze Zahl annehmen kann, 0,1,2,3...n. Sei nun der Eigenvektor mit dem kleinsten Eigenwert:

Damit lassen sich die anderen Eigenvektoren schreiben als:

Beweis.....blabla

Führt auf

Der Operator würd üblicher weiße als "number occupation" Operator bezeichnet und aufgrund ihrer Eigenschaften als Erschaffungsoperator und als Vernichtungsoperator.

Beispiele mit orthonormal Basen Matrixformen von und

(gleiches gilt für die duale Darstellung)

Quantisierung des Spin-0 Feldes[Bearbeiten]

Wir untersuchen nun den Vorgang der quantisierung für klassische Felder. Sei ein lokales Feld wobei . Felder die ihre Eigenschaften unter Lorentz-transformation erhalten bleiben werden Spin-0 Feld genannt. Wir betrachtet nun ein Feld für das gilt . Sei nun die Lagrange Dichte des klassischen Klein-Gordon Feldes gegeben durch:

Wobei

Durch Integration erhält man die Lagrange Funktion:

Man bemerke nun den Unterschied zwischen:

und

Wobei als Funktional angesehen wird, das eine Funktion einer anderen Funktion ist, nämlich von und seiner Zeitableitung. Ein weiterer Unterschied ist bei der Index diskret ist. Während er bei kontinuierlich durch ist und eine unendliche Anzahl an Werten annehmen kann.

Nun definieren wir analog zur dirkreten Version der Lagrange Funktion den verallgemeinerten konjugierten Impuls:

Im Falle der Lagrange Dichte von oben

Die Hamiltonfunktion:

Regeln der Quantisierung (von oben):

Nun analog für die Quantisierung unseres Skalarfeldes:

Eigenschaften der Dirac Deltafunktion:

wenn
.
(Integral über den gesamten Raum)

Ähnlich wie bei

Gilt auch:

Die Zeitableitung ist nun ganz normal gegeben durch die Heisenberg Gleichung, durch setzen von Erhält man:

Auf gleiche Weise erhält man:

...... ......

Die klassische Bewegungsgleichung der Klein-Gordon Gleichung ist nun:

(Gleichung erhält man auch durch das Variationsprinzip)

Fourier Zerlegung[Bearbeiten]

Zur Lösung der Klein-Gordon Gleichung benutzen wir die Fouriertransformation der Felder (Lösung der Klein-Gordon Gleichung von oben) und  :

Wobei und zeitabhängige Operatoren im Hilbertraum und die Komponenten von (quantisiertem Impuls) gegen sind durch:

Mit

Nun interpretieren wir die Felder und als hermitische Operatoren und definieren:

Weiter definieren wir neue Erschaffungs und Vernichtungs-Operatoren:

hermitisch Konjugiert:

Indem man das Vorzeichen von ändert erhält man nun:

Analog vom Vorgehen weiter oben kann man nun und durch und ausdrücken:

Nun lassen sich die Felder und durch die Erschaffungs und Vernichtungsoperatoren ausdrücken:

und

Nun kann man damit die Kommutatoreigenschaften der Operatoren überprüfen.

Der neue Hamiltonian für den harmonischen Oszillator für Felder mit den Operatoren und lässt sich nun schreiben als:

Quantisierung des Spin-1/2 Feldes[Bearbeiten]

Als erstes definieren wir drei Paulimatrizen:

Nun definieren wir noch analog zum Kommutator:

den Antikommutator:

Die Paulimatrizen erfüllen nun folgende Eigenschaften:

Antikommutator Eigenschaft:

Wobei ist 1 bei einer geraden Permutation von 1,2,3 und -1 bei einer ungeraden permutation. 0 für alles andere.

Geschrieben in Vektornotation:

Als nächstes definieren wir ein "direktes Produkt" zwischen einer und einer Matrix, wobei die resultieren Matrix die Dimension ist.

Nun kann man durch das direkte Produkt die Dirac Matrizen durch die Pauli Matrixen und eine Einheitsmatrix darstellen:

Daraus folgt, jedes Element ist eine Matrix (0 sind Null Matrixen):

und ist gegeben durch: