Einführung in die Quantenfeldtheorie/ Feldtheorie

Im folgenden bezeichnen wir einen dreidimensionalen Ortsvektor mit ${\vec {r}}$ in Komponenten $x_{k}={\vec {r_{k}}}$ für k=1,2,3 und $x_{4}=it$ wobei $c=\hbar =1$.

Klassische Mechanik

Es sei ein klassisches System mit verallgemeinerten Koordinaten gegeben $q_{i}$(i=1,2,..,N). Zum Beispiel für $N=3n$ für n Teilchen in $R^{3}$. Sei die Lagrangefunktionen gegeben als $L=L(q_{i},{\dot {q_{j}}})$ wobei ${\dot {q_{i}}}$ die Ableitung nach dem Zeitparameter von $q_{i}$ ist. Nun erhält man die Bewegungsgleichungen durch das Variationsprinzip:

$\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\ L\,dt=0$

Wobei $\delta$ die Variation mit Randbedingungen $\delta q_{i}=0$ an Anfangszeitpunkt $t_{1}$ und Endzeitpunkt $t_{2}$. Dies führt auf die bekannte Euler-Lagrange Gleichung:

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{i}}}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=0$

Der verallgemeinerte Impuls $p_{i}$ ist:

$p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{i}}}}}$

Nun ist die Hamiltonfunktion gegeben durch:

$H(q_{i},p_{i})=p_{i}{\dot {q_{i}}}-L$

(mit Einstein Summenkonvention)

Dies führt auf die bekannten Hamiltongleichungen:

${\dot {p_{i}}}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}$

${\dot {q_{i}}}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}$

Quantisierung

Als nächstes führen wir die Quantisierung des klassischen Systems durch. Um das System zu quantisieren betrachten wir $q_{i}(t)$ und $q_{i}(t)$ als Operatoren mit den Kommutatorrelationen:

$[q_{i}(t),p_{j}(t)]=i\delta _{ij}$

$[q_{i}(t),q_{j}(t)]=[p_{i}(t),p_{j}(t)]=0$

Wobei $[A,B]=AB-BA$ und für das Kronecker delta Symbol $\delta _{ij}$ gilt 1 wenn $i=j$ und 0 wenn $i\neq j$.

In der Quantenmechanik wird nun jede physikalische Observable ein hermitischer Operator. In Matrix Form mit den Eigenschaften:

$A_{ij}=(A^{\dagger })_{ij}=(A^{*})_{ji}=(A_{ji})^{*}$

Hier bedeutet $^{\dagger }$ die hermitische Konjugation und $^{*}$ die komplexe Konjugation. Somit haben wir.

$q_{i}=q_{i}^{\dagger }$

$p_{i}=p_{i}^{\dagger }$

$L=L^{\dagger }$

$H=H^{\dagger }$

In der klassischen Mechanik ist die Zeitableitung von $q_{i}$ und $p_{j}$ gegeben durch die Hamilton Gleichungen, während in der Quantenmechanik die Zeitableitung eines Operators ${\dot {O}}$ gegeben ist durch die Heisenberg Gleichung:

$[H,O(t)]=-i{\dot {O}}(t)$

Ein interessantes Beispiel ist das in der klassischen Mechanik $q_{i}$ und $p_{j}$ kommutieren. Dies bedeutet das z.B. die beiden Hamilton Funktionen:

$H=p^{1}q^{2}+q^{2}p^{1}$

$H=2pqpqp$

Klassisch das gleiche System sind aber in der Quantenmechanik stellen sie zwei verschiedene Systeme dar, die aber klassisch das gleiche Limit haben können ($\hbar ->0$).

Beispiel der Quantisierung eines freien Teilchens das sich entlang eines Kreises bewegt mit Radius $r_{0}$ (m=1) mit Kondition $r_{0}^{2}=x^{2}+y^{2}$:

$L={\frac {1}{2}}({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2})$

In Polarkoordinaten:

$L={\frac {1}{2}}r_{0}^{2}{\dot {\theta }}^{2}$

Mit konjungiertem Impuls:

${\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}=p_{\theta }=r_{0}^{2}{\dot {\theta }}$

Klassische Hamilton Funktion:

$H(\theta ,p_{\theta })=\theta p_{\theta }-L={\frac {p_{\theta }^{2}}{2r_{0}^{2}}}$

Poisson Klammer ist:

$[\theta ,p_{\theta }]=1$

Um das System zu quantisieren werden nun die klassischen Variablen durch Operatoren mit den geeigneten Kommutatorrelationen ersetzt. $[{\hat {\theta }},{\hat {p_{\theta }}}]=i$ Mit Operatoren:

${\hat {\theta }}\psi (\theta )=\theta \psi (\theta )$

${\hat {p_{\theta }}}\psi {\theta }=(-i{\frac {\partial }{\partial \theta }})\psi (\theta )$

Die quantenmechanische Hamilton Funktion:

$H({\hat {\theta }},{\hat {p_{\theta }}})={\frac {{\hat {p_{\theta }}}^{2}}{2r_{0}^{2}}}$

Harmonischer Oszillator

Beispiel der Quantisierung des harmonische Oszillators mit Einheitsfrequenz. (m=k=1)

$L=L(q,{\dot {q}})={\frac {1}{2}}({\dot {q}}^{2}-q^{2})$

${\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}={\dot {q}}$

Die klassische Hamilton Funktion ist daher:

$H(q,p)={\frac {1}{2}}(p^{2}+q^{2})$

Hamilton Gleichungen:

${\frac {\partial H}{\partial p}}={\dot {q}}=p$

$-{\frac {\partial H}{\partial q}}={\dot {p}}=-q$

Für Operatoren und die Heisenberg Gleichung:

($p$ und $q$ und $H$ sind nun Operatoren)

$[H,p]=-i{\dot {p}}=iq$

$[H,q]=-i{\dot {q}}=-ip$

Nun schauen wir uns die Eigenwerte des harmonischen Oszillators an und definieren dabei die bekannten Operatoren:

$a={\frac {1}{\sqrt {2}}}(q+ip)$

(nach hermitischer Konjugation)

$a^{\dagger }={\frac {1}{\sqrt {2}}}(q-ip)$

Berechnen der Kommutatorrelationen führt auf:

$[a,a^{\dagger }]=-i$

Umgeformt in $q$ und $p$:

$q={\frac {1}{\sqrt {2}}}(a+a^{\dagger })$

$p={\frac {1}{\sqrt {2}}}(a-a^{\dagger })$

Kommutatorrelation:

$[p,q]=-i$

Einfaches Multiplizieren der beiden Operatoren führt weiter auf:

$a^{\dagger }a={\frac {1}{2}}(q^{2}+p^{2}-i(pq-qp))={\frac {1}{2}}(H-i[p,q])$

Vergleich mit oben ergibt:

$a^{\dagger }a=H-{\frac {1}{2}}$

$H=a^{\dagger }a+{\frac {1}{2}}$

Nun sein $N=a^{\dagger }a$:

$H=N+{\frac {1}{2}}$

Der Operator $N$ ist stets positiv ! (Summe der quadrate ist immer positiv)

Ein Eigenvektor $|n>$ der Operators $H$ erfüllt nun:

$H|n>=(n+{\frac {1}{2}})|n>$

Wobei $n$ jede positive ganze Zahl annehmen kann, 0,1,2,3...n. Sei nun $|0>$ der Eigenvektor mit dem kleinsten Eigenwert:

$H|0>={\frac {1}{2}}|0>$

Damit lassen sich die anderen Eigenvektoren schreiben als:

$|n>={\frac {1}{\sqrt {n!}}}(a^{\dagger })^{n}|0>$

Beweis.....blabla

Führt auf

$a^{\dagger }|n>={\sqrt {n+1}}|n+1>$

$a|n>={\sqrt {n}}|n-1>$

Der Operator $N=a^{\dagger }a$ würd üblicher weiße als "number occupation" Operator bezeichnet und aufgrund ihrer Eigenschaften $a^{\dagger }$ als Erschaffungsoperator und $a$ als Vernichtungsoperator.

Beispiele mit orthonormal Basen $|0>={\begin{pmatrix}1\\0\\0\\.\\.\end{pmatrix}},|1>={\begin{pmatrix}0\\1\\0\\.\\.\end{pmatrix}}...$ Matrixformen von $a$ und $a^{\dagger }$

$a={\begin{pmatrix}0&{\sqrt {1}}&0&...\\0&0&{\sqrt {2}}&...\\0&0&0&...\\.&.&.&...\\.&.&.&...\end{pmatrix}}$

$a^{\dagger }={\begin{pmatrix}0&0&0&...\\{\sqrt {1}}&0&0&...\\0&{\sqrt {2}}&0&...\\.&.&.&...\\.&.&.&...\end{pmatrix}}$

$a|1>={\begin{pmatrix}0&{\sqrt {1}}&0&...\\0&0&{\sqrt {2}}&...\\0&0&0&...\\.&.&.&...\\.&.&.&...\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\1\\0\\.\\.\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\\.\\.\end{pmatrix}}=|0>$

$a^{\dagger }|0>={\begin{pmatrix}0&0&0&...\\{\sqrt {1}}&0&0&...\\0&{\sqrt {2}}&0&...\\.&.&.&...\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\.\\.\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\\.\\.\end{pmatrix}}=|1>$

(gleiches gilt für die duale Darstellung)

Quantisierung des Spin-0 Feldes

Wir untersuchen nun den Vorgang der quantisierung für klassische Felder. Sei $\phi (x)$ ein lokales Feld wobei $x=x_{\mu }=({\vec {r}},it)$. Felder die ihre Eigenschaften unter Lorentz-transformation erhalten bleiben werden Spin-0 Feld genannt. Wir betrachtet nun ein Feld für das gilt $\phi (x)=\phi ({\vec {r}},t)=\phi ^{\dagger }(x)$. Sei nun die Lagrange Dichte des klassischen Klein-Gordon Feldes gegeben durch:

${\mathfrak {L}}=-{\frac {1}{2}}({\frac {\partial \phi }{\partial x_{\mu }}})^{2}-V(\phi )$

Wobei

${\frac {\partial \phi }{\partial x_{\mu }}}^{2}={\frac {\partial \phi }{\partial x_{\mu }}}{\frac {\partial \phi }{\partial x_{\mu }}}=({\vec {\nabla }})^{2}-{\dot {\phi }}^{2}$

Durch Integration erhält man die Lagrange Funktion:

$L=\int _{vol}^{}\!{\mathfrak {L}}\,d^{3}r=\int _{vol}^{}\!{\mathfrak {L}}(\phi ({\vec {r}},t),{\dot {\phi }}({\vec {r}},t))\,d^{3}r$

Man bemerke nun den Unterschied zwischen:

$L=L(q_{i}(t),{\dot {q}}_{i}(t))$

und

${\mathfrak {L}}={\mathfrak {L}}(\phi ({\vec {r}},t),{\dot {\phi }}({\vec {r}},t))$

Wobei ${\mathfrak {L}}$ als Funktional angesehen wird, das eine Funktion einer anderen Funktion ist, nämlich von $\phi ({\vec {r}},t)$ und seiner Zeitableitung. Ein weiterer Unterschied ist bei $L$ der Index diskret ist. Während er bei ${\mathfrak {L}}$ kontinuierlich durch ${\vec {r}}$ ist und eine unendliche Anzahl an Werten annehmen kann.

Nun definieren wir analog zur dirkreten Version der Lagrange Funktion den verallgemeinerten konjugierten Impuls:

${\frac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}=\pi ({\vec {r}}_{i},t)$

Im Falle der Lagrange Dichte von oben

${\mathfrak {L}}=({\vec {\nabla }})^{2}-{\dot {\phi }}^{2}-V(\phi )$

$L={\frac {1}{2}}\int _{vol}^{}\!{\dot {\phi }}^{2}\,d^{3}r-\int _{vol}^{}\!(\nabla \phi )^{2}+V(\phi )\,d^{3}r$

${\frac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}=\pi ({\vec {r}}_{i},t)={\dot {\phi }}_{i}$

Die Hamiltonfunktion:

$H={\frac {1}{2}}\int _{}^{}\!\pi ^{2}+(\nabla \phi )^{2}+V(\phi )\,d^{3}r$

Regeln der Quantisierung (von oben):

$[p_{i}(t),q_{j}(t)])-i\delta _{ij}$

Nun analog für die Quantisierung unseres Skalarfeldes:

$[\pi ({\vec {r}},t),\phi ({\vec {r}}',t)]=-i\delta ^{3}({\vec {r}}-{\vec {r}}')$

Eigenschaften der Dirac Deltafunktion:

$\delta ^{3}({\vec {r}}-{\vec {r}}')=0$ wenn

${\vec {r}}\neg {\vec {r}}'$.

$\int _{}^{}\!\delta ^{3}({\vec {r}}-{\vec {r}}')\,d^{3}r=1$ (Integral über den gesamten Raum)

Ähnlich wie bei

$[q_{i}(t),q_{j}(t)]=0$

$[p_{i}(t),p_{j}(t)]=0$

Gilt auch:

$[\phi ({\vec {r}},t),\phi ({\vec {r}}',t)=0$

$[\pi ({\vec {r}},t),\pi ({\vec {r}}',t)=0$

Die Zeitableitung ist nun ganz normal gegeben durch die Heisenberg Gleichung, durch setzen von $O(t)=\phi ({\vec {r}}',t)$ Erhält man:

$[H,\phi ({\vec {r}},t)]=-i{\dot {\phi }}({\vec {r}},t)$

$\pi ({\vec {r}},t)={\dot {\phi }}({\vec {r}},t)$

Auf gleiche Weise erhält man:

$[H,\pi ({\vec {r}},t)]=-i{\dot {\pi }}({\vec {r}},t)$

...... ......

Die klassische Bewegungsgleichung der Klein-Gordon Gleichung ist nun:

${\ddot {\phi }}-\nabla ^{2}+{\frac {dV}{d\phi }}=0$

(Gleichung erhält man auch durch das Variationsprinzip)

$\delta \int _{}^{}\!L\,dt=\delta \int _{}^{}\!{\mathfrak {L}}\,d^{4}x=0$

Fourier Zerlegung

Zur Lösung der Klein-Gordon Gleichung benutzen wir die Fouriertransformation der Felder $\phi =\phi ({\vec {r}},t)$ (Lösung der Klein-Gordon Gleichung von oben) und $\pi ({\vec {r}},t)$ :

$\phi ({\vec {r}},t)=\sum \limits _{\vec {k}}^{}{\frac {1}{\sqrt {\omega }}}e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}q_{\vec {k}}(t)$

$\pi ({\vec {r}},t)=\sum \limits _{\vec {k}}^{}{\frac {1}{\sqrt {\omega }}}e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}p_{-{\vec {k}}}(t)$

Wobei $q_{\vec {k}}(t)$ und $p_{\vec {k}}(t)$ zeitabhängige Operatoren im Hilbertraum und die Komponenten von ${\vec {k}}$ (quantisiertem Impuls) gegen sind durch:

$k_{i}={\frac {2\pi l_{i}}{L_{i}}},i=1,2,3$

Mit $l_{i}=0,+-1,+-2,...$

Nun interpretieren wir die Felder $\phi ({\vec {r}},t)$ und $\pi ({\vec {r}},t)$ als hermitische Operatoren und definieren:

$q_{\vec {k}}(t)=q_{-{\vec {k}}}^{\dagger }(t)$

$p_{\vec {k}}(t)=p_{-{\vec {k}}}^{\dagger }(t)$

Weiter definieren wir neue Erschaffungs und Vernichtungs-Operatoren:

$a_{\vec {k}}(t)={\sqrt {\frac {\omega }{2}}}(q_{\vec {k}}+{\frac {i}{\omega }}p_{-{\vec {k}}})$

hermitisch Konjugiert:

$a_{\vec {k}}^{\dagger }(t)={\sqrt {\frac {\omega }{2}}}(q_{-{\vec {k}}}-{\frac {i}{\omega }}p_{\vec {k}})$

Indem man das Vorzeichen von ${\vec {k}}$ ändert erhält man nun:

$a_{\vec {-k}}^{\dagger }(t)={\sqrt {\frac {\omega }{2}}}(q_{\vec {k}}-{\frac {i}{\omega }}p_{-{\vec {k}}})$

Analog vom Vorgehen weiter oben kann man nun $q_{\vec {k}}$ und $p_{-{\vec {k}}}$ durch $a_{\vec {k}}$ und $a_{-{\vec {k}}}^{\dagger }$ ausdrücken:

$q_{\vec {k}}(t)={\frac {1}{\sqrt {2\omega }}}[a_{\vec {k}}(t)+a_{-{\vec {k}}}^{\dagger }(t)]$

$p_{-{\vec {k}}}(t)={\frac {-i\omega }{\sqrt {2\omega }}}[a_{\vec {k}}(t)-a_{-{\vec {k}}}^{\dagger }(t)]$

Nun lassen sich die Felder $\phi$ und $\pi$ durch die Erschaffungs und Vernichtungsoperatoren ausdrücken:

$\phi ({\vec {r}},t)=\sum \limits _{}^{}{\frac {1}{\sqrt {2\omega \Omega }}}[a_{\vec {k}}(t)e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}+a_{\vec {k}}^{\dagger }(t)e^{-i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}]$

und

$\pi ({\vec {r}},t)=\sum \limits _{}^{}{\frac {-i\omega }{\sqrt {2\omega \Omega }}}[a_{\vec {k}}(t)e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}-a_{\vec {k}}^{\dagger }(t)e^{-i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}]$

Nun kann man damit die Kommutatoreigenschaften der Operatoren überprüfen.

Der neue Hamiltonian für den harmonischen Oszillator für Felder mit den Operatoren $a_{\vec {k}}$ und $a_{\vec {k}}^{\dagger }$ lässt sich nun schreiben als:

$H={\frac {1}{2}}\omega \sum \limits _{\vec {k}}^{}(a_{\vec {k}}a_{\vec {k}}^{\dagger }+a_{\vec {k}}^{\dagger }a_{\vec {k}})=\sum \limits _{\vec {k}}^{}\omega (a_{\vec {k}}a_{\vec {k}}^{\dagger }+{\frac {1}{2}})$

Quantisierung des Spin-1/2 Feldes

Als erstes definieren wir drei $2\times 2$ Paulimatrizen:

$\tau _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$

$\tau _{2}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}$

$\tau _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$

Nun definieren wir noch analog zum Kommutator:

$[a,b]=ab-ba$

den Antikommutator:

$\{a,b\}=ab+ba$

Die Paulimatrizen erfüllen nun folgende Eigenschaften:

$\tau _{i}=\tau _{i}^{\dagger }$

$[\tau _{i},\tau _{j}]=\tau _{i}\tau _{j}-\tau _{j}\tau _{i}=2i\epsilon _{ijk}\tau _{k}$

Antikommutator Eigenschaft:

$\{\tau _{i},\tau _{j}\}=\tau _{i}\tau _{j}+\tau _{j}\tau _{i}=2\delta _{ij}$

Wobei $\epsilon _{ijk}$ ist 1 bei einer geraden Permutation von 1,2,3 und -1 bei einer ungeraden permutation. 0 für alles andere.

Geschrieben in Vektornotation:

${\vec {\tau }}=(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3})$

Als nächstes definieren wir ein "direktes Produkt" zwischen einer $n\times n$ und einer $m\times m$ Matrix, wobei die resultieren Matrix die Dimension $nm\times nm$ ist.

$A\otimes B$

Nun kann man durch das direkte Produkt die $4\times 4$ Dirac Matrizen durch die $2\times 2$ Pauli Matrixen und eine Einheitsmatrix darstellen:

${\vec {\sigma }}={\vec {\tau }}\otimes I$

${\vec {\rho }}=I\otimes {\vec {\tau }}$

Daraus folgt, jedes Element ist eine $2\times 2$ Matrix (0 sind Null Matrixen):

${\begin{pmatrix}{\vec {\tau }}&0\\0&{\vec {\tau }}\end{pmatrix}}$

und ${\vec {\rho }}=(\rho _{1},\rho _{2},\rho _{3})$ ist gegeben durch:

$\rho _{1}={\begin{pmatrix}0&I\\0&I\end{pmatrix}}$

$\rho _{2}={\begin{pmatrix}0&-iI\\iI&0\end{pmatrix}}$

$\rho _{3}={\begin{pmatrix}0&I\\0&I\end{pmatrix}}$