Einführung in die Tensorrechnung: Lösungen A

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Übung 1.1

Nach Gleichung (1.10) ist

$\left({\boldsymbol {vE}}\right)=\left({v_{i}}\right)^{T}{\boldsymbol {E}}={\begin{pmatrix}{v_{1}}&{v_{2}}&{v_{3}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{v_{1}}&{v_{2}}&{v_{3}}\end{pmatrix}}.$

Nach Gleichung (1.11) ist dann

${\boldsymbol {vE}}={\begin{pmatrix}{v_{1}}&{v_{2}}&{v_{3}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{{\boldsymbol {e}}_{1}}\\{{\boldsymbol {e}}_{2}}\\{{\boldsymbol {e}}_{3}}\end{pmatrix}}={\boldsymbol {v}},$

also

${\boldsymbol {vE}}={\boldsymbol {v}}.$

Übung 1.2

Wir setzen

${\boldsymbol {vA}}={\boldsymbol {u}},\quad {\boldsymbol {vB}}={\boldsymbol {w}},\quad {\boldsymbol {v}}\left({{\boldsymbol {A}}+{\boldsymbol {B}}}\right)={\boldsymbol {t}}.$

Dann ist nach Gleichung (1.10)

${\begin{matrix}{\boldsymbol {u}}=\left({u_{i}}\right)^{T}{\begin{pmatrix}{{\boldsymbol {e}}_{1}}\\{{\boldsymbol {e}}_{2}}\\{{\boldsymbol {e}}_{3}}\end{pmatrix}}=\left({v_{1}a_{11}+v_{2}a_{21}+v_{3}a_{31}}\right){\boldsymbol {e}}_{1}+\left({v_{1}a_{12}+v_{2}a_{22}+v_{3}a_{32}}\right){\boldsymbol {e}}_{2}+\\+\left({v_{1}a_{13}+v_{2}a_{23}+v_{3}a_{33}}\right){\boldsymbol {e}}_{3}\end{matrix}},$

${\begin{matrix}{\boldsymbol {w}}=\left({w_{i}}\right)^{T}{\begin{pmatrix}{{\boldsymbol {e}}_{1}}\\{{\boldsymbol {e}}_{2}}\\{{\boldsymbol {e}}_{3}}\end{pmatrix}}=\left({v_{1}b_{11}+v_{2}b_{21}+v_{3}b_{31}}\right){\boldsymbol {e}}_{1}+\left({v_{1}b_{12}+v_{2}b_{22}+v_{3}b_{32}}\right){\boldsymbol {e}}_{2}+\\+\left({v_{1}b_{13}+v_{2}b_{23}+v_{3}b_{33}}\right){\boldsymbol {e}}_{3},\end{matrix}}$

und wegen

${\boldsymbol {t}}=\left({t_{i}}\right)^{T}{\begin{pmatrix}{{\boldsymbol {e}}_{1}}\\{{\boldsymbol {e}}_{2}}\\{{\boldsymbol {e}}_{3}}\end{pmatrix}}=\left[{v_{1}\left({a_{11}+b_{11}}\right)+v_{2}\left({a_{21}+b_{21}}\right)+v_{3}\left({a_{31}+b_{31}}\right)}\right]{\boldsymbol {e}}_{1}+{\mbox{usw}}.$

Addiert man die Komponentendarstellungen von u und w, erhält man die gleichen Komponenten. Also ist

${\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {w}}={\boldsymbol {t}}.$

Übung 1.3

Es ist (siehe Übungen 1.1 und 1.2)

${\boldsymbol {v}}+{\boldsymbol {vA}}={\boldsymbol {vE}}+{\boldsymbol {vA}}={\boldsymbol {v}}\left({{\boldsymbol {E}}+{\boldsymbol {A}}}\right).$

Übung 1.4

Es ist

$\left({\boldsymbol {Ev}}\right)={\boldsymbol {E}}\left({v_{i}}\right)={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{v_{1}}\\{v_{2}}\\{v_{3}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{v_{1}}\\{v_{2}}\\{v_{3}}\end{pmatrix}}=\left({v_{i}}\right)$

und folglich Ev = v.

Übung 1.5

Wir setzen

${\boldsymbol {Av}}={\boldsymbol {u}},\quad {\boldsymbol {Bv}}={\boldsymbol {w}},\quad \left({{\boldsymbol {A}}+{\boldsymbol {B}}}\right){\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {t}}$

und berechnen und vergleichen wie bei Übung 1.2 die Komponentenmatrizen (u_i), (v_i) und (t_i).

Übung 1.6

Es ist wegen der Distributivität des Nachprodukts

$\left({{\boldsymbol {E}}+{\boldsymbol {A}}}\right){\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {Ev}}+{\boldsymbol {Av}}={\boldsymbol {v}}+{\boldsymbol {Av}}.$

Übungen 1.7 und 1.8

Setzt man

$a_{11}=u_{1}v_{1},\quad a_{12}=u_{1}v_{2},\quad a_{13}=u_{1}v_{3},\quad {\mbox{usw}}{\mbox{.}}$

so ist

${\frac {a_{11}}{a_{12}}}={\frac {a_{21}}{a_{22}}}={\frac {a_{31}}{a_{32}}}={\frac {v_{1}}{v_{2}}}=k_{12}\,,$

${\frac {a_{12}}{a_{13}}}={\frac {a_{22}}{a_{23}}}={\frac {a_{32}}{a_{33}}}={\frac {v_{2}}{v_{3}}}=k_{23}\,,$

${\frac {a_{13}}{a_{11}}}={\frac {a_{23}}{a_{21}}}={\frac {a_{33}}{a_{31}}}={\frac {v_{3}}{v_{1}}}=k_{31}\,$

und

${\frac {a_{11}}{a_{21}}}={\frac {a_{12}}{a_{22}}}={\frac {a_{13}}{a_{23}}}={\frac {u_{1}}{u_{2}}}=l_{12}\quad {\mbox{usw}}{\mbox{.}}$

Aus diesen homogenen Gleichungen können nur die Quotienten

${\frac {u_{i}}{u_{k}}}\,\,\,{\mbox{und}}\,\,\,{\frac {v_{i}}{v_{k}}}$

der Vektorkomponenten bestimmt werden, nicht aber diese selbst. Daraus folgt:

Genau eine Komponente der beiden Vektoren kann frei gewählt werden, die übrigen ergeben sich dann daraus. Das bedeutet, dass durch die Matrix die Richtungen der beiden Vektoren bestimmt sind, nicht aber deren Beträge. Ferner: Der Betrag von v ist bei gegebener Matrix dem Betrag von u umgekehrt proportional.

 

Übung 1.9

Die Summe der Komponenten in der Hauptdiagonalen ist gleich dem Skalarprodukt der Vektoren v und w:

$v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}+v_{3}w_{3}={\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {w}}.$

Übung 1.10

Wegen

${\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {w}}={\begin{vmatrix}\mathbf {e} _{1}&\mathbf {e} _{2}&\mathbf {e} _{3}\\v_{1}&v_{2}&v_{3}\\w_{1}&w_{2}&w_{3}\end{vmatrix}}=\left(v_{2}w_{3}-v_{3}w_{2}\right){\boldsymbol {e}}_{1}+\left(v_{3}w_{1}-v_{1}w_{3}\right){\boldsymbol {e}}_{2}+\left(v_{1}w_{2}-v_{2}w_{1}\right){\boldsymbol {e}}_{3}$

ist

$\left({\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {w}}\right)_{1}=v_{2}w_{3}-v_{3}w_{2}=a_{23}-a_{32}\quad {\mbox{usw}}{\mbox{.}}$

Übung 2.1

1. Gradient: Der Operator »grad« kann definitionsgemäß nur auf skalare Größen angewendet werden, ist also kein Tensor.

2. Divergenz: Der Operator »div« wird zwar auf Vektoren angewendet, erzeugt aber einen Skalar. Also ist »div« kein Tensor.

3. Rotation: Der Operator »rot« wird auf Vektoren angewendet und erzeugt wieder einen Vektor (Bedingung (1)). Ferner gilt rot (u + v) = rot u + rot v (Bedingung (2)) und rot (a v) = a rot v (Bedingung (3)). Also ist »rot« ein Tensor vom Rang 2. Der Vektor w = rot v ist (als solcher) invariant gegen Koordinatentransformation. - Allerdings ist Folgendes zu beachten: Der Operator rot ist ein Differentialoperator. Seine Anwendung auf konstante Vektoren ergibt immer den Nullvektor, also ein triviales Ergebnis. Haben wir dagegen ein »Vektorfeld« vorliegen, in dem v = v(x, y, z), dann kann rot v ≠ o sein.

4. Laplace-Operator: Der Laplace-Operator

$\Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}$

kann auf skalare und vektorielle Funktionen angewendet werden. Bei Anwendung auf einen konstanten Vektor werden schon die 1. Ableitungen zu null. Bei Anwendung auf einen Feldvektor v = v(x, y, z) kann ein von null verschiedener Vektor entstehen. Für die partiellen Ableitungen gilt:

${\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}({\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {v}})={\frac {\partial ^{2}{\boldsymbol {u}}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}{\boldsymbol {v}}}{\partial x^{2}}}\quad {\mbox{und}}\quad {\frac {\partial ^{2}a{\boldsymbol {u}}}{\partial x^{2}}}=a{\frac {\partial ^{2}{\boldsymbol {u}}}{\partial x^{2}}}\,,{\mbox{ usw}}{\mbox{.}}$

Folglich kann Δ ein Tensor sein.

5. Nablaoperator: Bei Anwendung des Nablaoperators

$\nabla ={\boldsymbol {e}}_{1}{\frac {\partial }{\partial x}}+{\boldsymbol {e}}_{2}{\frac {\partial }{\partial y}}+{\boldsymbol {e}}_{3}{\frac {\partial }{\partial z}}$

auf einen konstanten Vektor v werden die Ableitungen zu null. Bei Anwendung auf einen Feldvektor entsteht ein Skalar, da die beim Multiplizieren entstehenden Produkte alle einen Faktor e_i · e_k enthalten, der entweder 0 oder 1 ist. Der Nablaoperator ist kein Tensor.

Übung 2.3

Es ist (Beispiel 2.1) Pv = (v · e)e und (Beispiel 2.2) Sv = v - 2(v · e)e, also ist

${\boldsymbol {Sv}}={\boldsymbol {v}}-2{\boldsymbol {Pv}}={\boldsymbol {Ev}}-2{\boldsymbol {Pv}}=\left({\boldsymbol {E}}-2{\boldsymbol {P}}\right){\boldsymbol {v}}$

wobei E die 3 x 3 Einheitsmatrix ist.

Damit ergibt sich für die Matrix von S:

$\left({\boldsymbol {S}}\right)={\boldsymbol {E}}-2{\boldsymbol {P}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}-2{\frac {1}{u^{2}}}{\begin{pmatrix}{u_{1}u_{1}}&{u_{1}u_{2}}&{u_{1}u_{3}}\\{u_{2}u_{1}}&{u_{2}u_{2}}&{u_{2}u_{3}}\\{u_{3}u_{1}}&{u_{3}u_{2}}&{u_{3}u_{3}}\end{pmatrix}}\,,$

${\begin{matrix}\left({\boldsymbol {S}}\right)={\frac {2}{u^{2}}}\left[{\begin{pmatrix}{\frac {u^{2}}{2}}&0&0\\0&{\frac {u^{2}}{2}}&0\\0&0&{\frac {u^{2}}{2}}\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}{u_{1}u_{1}}&{u_{1}u_{2}}&{u_{1}u_{3}}\\{u_{2}u_{1}}&{u_{2}u_{2}}&{u_{2}u_{3}}\\{u_{3}u_{1}}&{u_{3}u_{2}}&{u_{3}u_{3}}\end{pmatrix}}\right]\\\\={\frac {2}{u^{2}}}{\begin{pmatrix}{\frac {u^{2}}{2}}-u_{1}u_{1}&-u_{1}u_{2}&-u_{1}u_{3}\\-u_{2}u_{1}&{\frac {u^{2}}{2}}-u_{2}u_{2}&{-u_{2}u_{3}}\\{-u_{3}u_{1}}&{-u_{3}u_{2}}&{\frac {u^{2}}{2}}-u_{3}u_{3}\end{pmatrix}}\,.\end{matrix}}$

Wenn e mit dem Basisvektor e₁ zusammenfällt, wird u₂ = u₃ = 0 und u₁ u₁ = u². Damit wird

$\left({\boldsymbol {S}}\right)={\begin{pmatrix}{-1}&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\,.$

Übung 2.4

Für jedes Vektorprodukt gilt:

1. Es ist ein Vektor,

2. (a + b) x c = a x c + b x c

3. (na) x b = n(a x b).

Also ist S ein Tensor.

 

Übung 3.1

Das Ergebnis der Multiplikation ist

${\begin{pmatrix}{{\boldsymbol {e}}'_{1}}\\{{\boldsymbol {e}}'_{2}}\\{{\boldsymbol {e}}'_{3}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{a_{1}{\boldsymbol {e}}_{1}+a_{2}{\boldsymbol {e}}_{2}+a_{3}{\boldsymbol {e}}_{3}}\\{b_{1}{\boldsymbol {e}}_{1}+b_{2}{\boldsymbol {e}}_{2}+b_{3}{\boldsymbol {e}}_{3}}\\{c_{1}{\boldsymbol {e}}_{1}+c_{2}{\boldsymbol {e}}_{2}+c_{3}{\boldsymbol {e}}_{3}}\end{pmatrix}}$

Wenn zwei Matrizen gleich sind, müssen ihre einander entsprechenden Elemente gleich sein. Also ist

${\boldsymbol {e}}'_{1}=a_{1}{\boldsymbol {e}}_{1}+a_{2}{\boldsymbol {e}}_{2}+a_{3}{\boldsymbol {e}}_{3}\quad {\mbox{usw}}{\mbox{.}}$

Übung 4.3

1. Für eine lineare Funktion f gelten nach Gleichungen (4.3) und (4.4):

$f({\boldsymbol {v}}_{1}+{\boldsymbol {v}}_{2})=f({\boldsymbol {v}}_{1})+f({\boldsymbol {v}}_{2})\quad {\mbox{und}}\quad f(k{\boldsymbol {v}})=k\,f({\boldsymbol {v}}).$

Ferner ist nach Gleichung (4.8) und Gleichung (4.1)

${\boldsymbol {F}}\,{\boldsymbol {v}}_{1}=f({\boldsymbol {v}}_{1})\quad {\mbox{und}}\quad {\boldsymbol {F}}\,{\boldsymbol {v}}_{2}=f({\boldsymbol {v}}_{2}).$

(Lies: F mal v₁ ist gleich f von v₁ und beachte den Unterschied!)

Mit u = v₁ + v₂ und f(u) = Fu gilt dann

$f({\mathbf {v} }_{1})+f({\mathbf {v} }_{2})=f({\mathbf {v} }_{1}+{\mathbf {v} }_{2})=f({\mathbf {u} })\quad \to \quad {\mathbf {F} }\,{\mathbf {v} }_{1}+{\mathbf {F} }\,{\mathbf {v} }_{2}={\mathbf {F} }({\mathbf {u} })={\mathbf {F} }\left({{\mathbf {v} }_{1}+{\mathbf {v} }_{2}}\right).$

2. Mit k v = w folgt aus

$f(k{\mathbf {v} })=kf({\mathbf {v} })\,\,\,\,{\mbox{mit}}\,\,\,\,f({\mathbf {u} })={\mathbf {F} }\,{\mathbf {u} }\,\,\,{\mbox{und}}\,\,\,kf({\mathbf {v} })=k{\mathbf {F} }\,{\mathbf {v} }$

${\mathbf {F} }\,{\mathbf {u} }=k\,{\mathbf {F} }\,{\mathbf {v} }\quad {\mbox{oder}}\quad {\mathbf {F} }(k{\mathbf {v} })=k\,{\mathbf {F} }\,{\mathbf {v} }.$

 

Übung 5.1

Da in der Gleichung keine linearen Glieder auftreten sollen, muss sein:

$\mu _{12}=-\mu _{21},\quad \mu _{23}=-\mu _{32},\quad \mu _{31}=-\mu _{13}.$

 

Übung 5.2

1. Die Gleichung eines Ellipsoids, dessen Hauoptachsen mit den Koordinatenachsen zusammenfallen, lautet

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1.$

Rotationsellipsoid hat zwei gleiche Hauptachsen, also muss sein

$a^{2}=b^{2}\quad {\mbox{oder}}\quad a^{2}=c^{2}\quad {\mbox{oder}}\quad b^{2}=c^{2},$

woraus wegen

$a^{2}={\frac {1}{\mu _{11}}},\quad b^{2}={\frac {1}{\mu _{22}}},\quad c^{2}={\frac {1}{\mu _{33}}}$

folgt

$\mu _{11}=\mu _{22}\quad {\mbox{oder}}\quad \mu _{11}=\mu _{33}\quad {\mbox{oder}}\quad \mu _{22}=\mu _{33}.$

2. Wenn des Ellipsoid eine Kugel ist, sind alle drei Hauptachsen gleich, also

$\,\mu _{11}=\mu _{22}=\mu _{33}.$

 

Übung 7.1 Da die Systeme denselben Ursprung haben, muss für x = y = z = 0 auch u = v = w = 0 sein. Die Transformationsgleichungen dürfen daher kein Konstantglied haben.

 

Übung 7.2 Der Ortsvektor eines Punktes P(x, y, z bzw. u, v, w) ist im XYZ-System

(Ü 7.2.1)

$\mathbf {r} =x\,\mathbf {i} +y\,\mathbf {j} +z\,\mathbf {k} \,,$

im UVW-System

(Ü 7.2.2)

$\mathbf {r} =u\,\mathbf {e} _{1}+v\,\mathbf {e} _{2}+w\,\mathbf {e} _{3}\,.$

Da x, y, z die senkrechten Projektionen von r auf die Koordinatenachsen sind und diese sich aus den entsprechenden Skalarprodukten ergeben, ist

$x=\mathbf {r} \cdot \mathbf {i} \,,\quad y=\mathbf {r} \cdot \mathbf {j} \,,\quad z=\mathbf {r} \cdot \mathbf {k}$

und mit Gleichung (Ü 7.2.2)

(Ü 7.2.3)

$x=\left({u\,\mathbf {e} _{1}+v\,\mathbf {e} _{2}+w\,\mathbf {e} _{3}}\right)\mathbf {i} =u\left(\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {i} \right)+v\left(\mathbf {e} _{2}\cdot \mathbf {i} \right)+w\left(\mathbf {e} _{3}\cdot \mathbf {i} \right)\,.$

Bezeichnen wir die Richtungskosinus von e_i mit α_i, dann wird aus Gleichung (Ü 7.2.3):

(Ü 7.2.4)

$x=u\,\alpha _{1}\,e_{1}+v\,\alpha _{2}\,e_{2}+w\,\alpha _{3}\,e_{3}=\alpha _{1}\,e_{1}\,u+\alpha _{2}\,e_{2}\,v+\alpha _{3}\,e_{3}\,w\,,$

wobei e_i der Betrag des Vektors e_i ist.

Analog findet man

(Ü 7.2.5)

$y=\beta _{1}\,e_{1}\,u+\beta _{2}\,e_{2}\,v+\beta _{3}\,e_{3}\,w\,,$

(Ü 7.2.6)

$z=\gamma _{1}\,e_{1}\,u+\gamma _{2}\,e_{2}\,v+\gamma _{3}\,e_{3}\,w\,.$

Es handelt sich also um drei lineare homogene Funktionen.

Aus den Gleichungen (7.2.4, 7.2.5 und 7.2.6) können mit den Methoden der Algebra (Einsetzungsmethode, Gleichsetzungsmethode, Additionsmethode) oder mit einem Rechenprogramm Gleichungen für u, v und w gewonnen werden.

Übung 7.3 Die partiellen Ableitungen ergeben sich aus den Gleichungen (7.1).

Übung 7.4 Der Vektors grad u weist in die Richtung der größten Steigung (des steilsten Anstiegs der skalaren Feldgröße u. Der Betrag von grad u ist gleich dem Maß dieser größten Steigung. Der Vektor grad u steht auf der positiven Seite der VW-Ebene senkrecht, weil nur in dieser Richtung die u-Werte zunehmen.

Übung 7.5

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