Entropie: Ordnung

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Was ist eigentlich Ordnung ?

Ordnung heißt: Jedes Ding ist an seinem Platz und es gibt nur einen Platz für jedes Ding. Im Umkehrschluß bedeutet dies: Es gibt nur eine einzige Möglichkeit, perfekte Ordnung einzustellen! Im perfekten Kristall ist jedes Atom an seinem Platz. Es gibt aber viele Möglichkeiten, einen unordentlichen Kristall zu produzieren. Alle höheren Ordnungen , alle komplizierten Strukturen sind hier nicht mit dem Begriff Ordnung gemeint ! ( Zitat aus der Kristallchemie )

Mathematische Definition von Ordnung

Mit dem Begriff  Ordnung verbinden sich ganz verschiedene Vorstellungen. Will man Ordnung (wie es beispielsweise die Kristallchemie tut) als Gegensatz von Entropie ansehen, als Kehrwert zur Entropie, dann kann man folgende Formel aufstellen:

O = 1/ H    Ordnung = 1 / Entropie 
   

Daraus folgt:

Entropie = 1 / Ordnung 

Kaliumchloridkristall

Mit dieser Definition gibt es ein Problem: Bei einer Entropie von 0 wird die Ordnung unendlich groß. Die Vorstellung einer unendlich großen Ordnung ist unpraktisch und unanschaulich.

Als Beispiel wird betrachtet eine 40er Folge von 1 und 0

• reiner Zufall: Entropie = 40 Bit, daraus folgt Ordnung = sehr niedrig
  • 1011011010101001110010110011100000011110

• reine Ordnung: Entropie = 0 Bit, daraus folgt Ordnung = maximal
  • 1111111111111111111111111111111111111111
  • 0000000000000000000000000000000000000000

Wie soll man dann Ordnung definieren?

O = 1 / H 

daraus folgt eine Spannweite der Ordnung von O = 1/40 bis O = Unendlich

Wahrscheinlich ist folgende Lösung besser:

O = 1 / (H + 1) 

daraus folgt eine Spannweite der Ordnung von O = 1/41 bis O = 1

Abgeleitet davon kann man die Ordnung als Prozentwert angeben:

O = 100 / ( H + 1) % 

daraus folgt eine Spannweite der Ordnung von O = 100 /41 % = 2,5 % Ordnung bis 100 % Ordnung

Beispiele für geordnete und nicht geordnete Strukturen

Eigentlich hat  Chaitin bei seinen treffenden Beispielen noch etwas vergessen: Zwischen perfekter Ordnung und kompletter Zufallsordnung, gibt es noch gemischt geordnete Strukturen. Ein paar Beispiele sollen dies verdeutlichen.

Abbildung 0:

Hohe Ordnung : Entropie nahe Null

1111111111111111111111111111111100000000000000000000000000000000 

Abbildung 1:

Hohe Ordnung , entspricht Chaitin Kette A , Entropie nahe Null

0101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101 

Abbildung 2:

In sich geschlossene Ordnung höhererArt , komplizierte Ordnung mit Symmetrie

1111111110000001100001011000100110010001101000011000000111111111 

Abbildung 3:

Logische Ordnung höherer Art , Logische Folge zB binäre Zahlen von 0000 bis 1111

0000000100100011010001010110011110001001101010111100110111101111 

Abbildung 4:

Zufallsordnung Entropie maximal , 64 zbit , entspricht Chaitin B Kette

0100111110101110101000010101001101011010001100101110010000010111

Beispiele

dezimales Ordnungsmuster

Es gibt ein schönes Beispiel eines Ordnungsmusters von Dezimalzahlen

• 1*8+1=9
• 12*8+2=98
• 123*8+3=987
• 1234*8+4=9876
• 12345*8+5=98765
• 123456*8+6=987654
• 1234567*8+7=9876543
• 12345678*8+8=98765432
• 123456789*8+9=987654321

Dazu ein paar Fragen

• Wie kann man die Richtigkeit der Rechnungen beweisen ?
• Kann man die Rechnungen vereinfacht in einem Computerprogramm darstellen ?
• Kann man etwas zur Entropie bzw Ordnung dieser Rechnungen sagen oder macht das gar keinen Sinn ?
• Wie stellt sich das Problem in binären Zahlen dar ?

pi und e in binärer Darstellung

Könnte man Pi und e in binärer Form aufschreiben, dann wäre es ziemlich einfach die Zufälligkeit der Nachkommastellen zu berechnen.

Rubiks  Zauberwürfel: Aus Unordnung wird Ordnung

	mittels
vorher		nachher

Wie kann man den Zauberwürfel in einem 3d Zahlencode darstellen ?

Wie kann man die Positionen des Zauberwürfels binär darstellen ?

Links

• http://nobelprize.org/educational_games/physics/liquid_crystals/chrystallite/index.html
  • Spielen Sie ein Ordnungsspiel beim Nobelprizekommittee