Fibonacci-Folgen und Lucas-Folgen: Der goldene Schnitt

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Nuvola apps bookcase 1.svg Fibonacci-Folgen und Lucas-Folgen

Der goldene Schnitt

Als goldenen Schnitt bezeichnet man das Teilungsverhältnis, bei welchem sich der große Anteil zum kleinen so verhält, wie die Gesamtheit zum großen Anteil. Wenn man eine Gesamtheit mit dem Maß 1 in zwei Teile mit den Maßen und aufteilt, liefert die obige Definition die Bedingung .

Dies liefert die Bestimmungsgleichung mit der Lösung . Allerdings wird auch die Konstante als goldener Schnitt bezeichnet. Der nummerische Wert des goldenen Schnitts ist .

Darstellungsweisen[Bearbeiten]

  • Der goldene Schnitt lässt sich als nicht abbrechender Kettenbruch darstellen:
  • Aus der quadratischen Gleichung Φ2 = 1 + Φ lässt sich folgende unendliche Kettenwurzel herleiten:

Beziehungen zu den Fibonacci-Folgen[Bearbeiten]

Wenn man den Quotienten aus zwei aufeinander folgenden Gliedern einer Fibonacci-Folge berechnet, bekommt man eine Näherung an den goldenen Schnitt, die um so genauer ist, je höher die beiden Folgen liegen:

Fibonacci-Folge Lucas-Folge Folge
1 1 1 1.00000 1 3 3.00000 2 7 3.50000
2 1 2 2.00000 3 4 1.33333 7 9 1.28571
3 2 3 1.50000 4 7 1.75000 9 16 1.77777
4 3 5 1.66666 7 11 1.57143 16 25 1.56250
5 5 8 1.60000 11 18 1.63636 25 41 1.64000
6 8 13 1.62500 18 29 1.61111 41 66 1.60976
7 13 21 1.61538 29 47 1.62096 66 107 1.62121
8 21 34 1.61905 47 76 1.61702 107 173 1.61682
9 34 55 1.61765 76 123 1.61842 173 280 1.6185
10 55 89 1.61818 123 199 1.61789 280 453 1.61786
11 89 144 1.61798 199 322 1.61809 453 733 1.6181
12 144 233 1.61806 322 521 1.61801 733 1186 1.61801
13 233 377 1.61803 521 843 1.61804 1186 1919 1.61804

Die Folge mit der Bildungsregel und den Startwerten und

Dies lässt sich über die Kettenbruchdarstellung der Quotienten zweier aufeinander folgender Fibonacci-Zahlen darstellen:

Analoges gilt auch für alle anderen Folgen mit der Bildungsregel , egal welche Startwerte diese Folgen besitzen.