Die Potenzfolgen
Unter einer Potenzfolge versteht man die aufsteigende Folge von Potenzen einer Basis. Die bekannteste Potenzfolge ist die Folge der Zweierpotenzen:
.
In einigem gleichen die Potenzfolgen der Fibonacci-Folge bzw. der Lucas-Folge:
Die Differenzfolge der Fibonacci-Folge sieht so aus:
![{\displaystyle 0\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6798be28f7db677ebed8d1ff1c03322f1ea6937) |
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![{\displaystyle 1\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b98c9e64d6aa790731df88a02cc0d018cce78b87) |
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![{\displaystyle 1\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b98c9e64d6aa790731df88a02cc0d018cce78b87) |
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![{\displaystyle 2\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/109498ca78d5a57ae4967b4f25d9b6e986a58528) |
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![{\displaystyle 3\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/291adf564ec953470f6e085a47913556c596f264) |
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![{\displaystyle 5\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20b084cd9388defd7f005ddc0c9ab94aca0d4697) |
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![{\displaystyle 8\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa2aba49ab47842062d5f3311707925cb5f5a2d2) |
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![{\displaystyle 13\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40e20ce91fabb064c4a97f6da78add93f755aa47) |
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![{\displaystyle 21\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c4a34a12036f279a1b58f1439e416f753c1353f) |
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![{\displaystyle 34\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1ad03d1cb34f5a9b85b446eb62b3be1a8e7a3d2) |
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![{\displaystyle 55\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/876c084cc08588687097d5d5a01ec61006eb762d) |
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![{\displaystyle 1\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b98c9e64d6aa790731df88a02cc0d018cce78b87) |
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![{\displaystyle 0\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6798be28f7db677ebed8d1ff1c03322f1ea6937) |
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![{\displaystyle 1\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b98c9e64d6aa790731df88a02cc0d018cce78b87) |
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![{\displaystyle 1\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b98c9e64d6aa790731df88a02cc0d018cce78b87) |
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![{\displaystyle 2\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/109498ca78d5a57ae4967b4f25d9b6e986a58528) |
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![{\displaystyle 3\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/291adf564ec953470f6e085a47913556c596f264) |
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![{\displaystyle 5\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20b084cd9388defd7f005ddc0c9ab94aca0d4697) |
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![{\displaystyle 8\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa2aba49ab47842062d5f3311707925cb5f5a2d2) |
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![{\displaystyle 13\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40e20ce91fabb064c4a97f6da78add93f755aa47) |
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![{\displaystyle 21\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c4a34a12036f279a1b58f1439e416f753c1353f) |
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Wie man sieht, enthält die Differenzfolge der Fibonacci-Folge wieder die Fibonacci-Folge selbst.
Die Differenzfolge der Lucas-Folge:
![{\displaystyle 2\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/109498ca78d5a57ae4967b4f25d9b6e986a58528) |
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![{\displaystyle 1\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b98c9e64d6aa790731df88a02cc0d018cce78b87) |
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![{\displaystyle 3\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/291adf564ec953470f6e085a47913556c596f264) |
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![{\displaystyle 4\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f313d09bc2ad8b592f1e7a19bd7cb0fe64565efb) |
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![{\displaystyle 7\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbf2e58b9eb768c08fc1b79f358b97f8b3a669c7) |
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![{\displaystyle 11\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70a7b79567ba63a1801b24f8865d9899e937befd) |
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![{\displaystyle 18\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74c39879aa32ed017d0f3b76338f5feb870f9129) |
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![{\displaystyle 29\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43506cf5a3488d19ffdd97a5a2525d285f3f2ab8) |
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![{\displaystyle 47\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b78ad87d0cb580bc4ab5852c04f7d8e2a4a4460) |
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![{\displaystyle 76\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ca0f5a3f68017cc9b4057fa18492b9c5db06d9c) |
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![{\displaystyle 123\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/827be08e8c7404d4cb918679f5c722c57118b07c) |
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![{\displaystyle -1\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7be0d09838610c4aa2813c639d414c4fd6c76ad) |
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![{\displaystyle 2\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/109498ca78d5a57ae4967b4f25d9b6e986a58528) |
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![{\displaystyle 1\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b98c9e64d6aa790731df88a02cc0d018cce78b87) |
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![{\displaystyle 3\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/291adf564ec953470f6e085a47913556c596f264) |
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![{\displaystyle 4\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f313d09bc2ad8b592f1e7a19bd7cb0fe64565efb) |
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![{\displaystyle 7\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbf2e58b9eb768c08fc1b79f358b97f8b3a669c7) |
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![{\displaystyle 11\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70a7b79567ba63a1801b24f8865d9899e937befd) |
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![{\displaystyle 18\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74c39879aa32ed017d0f3b76338f5feb870f9129) |
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![{\displaystyle 29\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43506cf5a3488d19ffdd97a5a2525d285f3f2ab8) |
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![{\displaystyle 47\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b78ad87d0cb580bc4ab5852c04f7d8e2a4a4460) |
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Auch hier ist die Lucas-Folge wiederum in der Differenz-Folge der Lucas-Folge enthalten. Das ist auch nicht verwunderlich, da die rekursive Bildungsregel beider Folgen besagt, das ein Glied die Summe seiner beiden Vorgänger ist (
). Demzufolge gilt für jedes Glied der Differenzfolge
. Das ergebnis ist eine verschobene Folge.
Wie sieht es nun bei den Potenzfolgen aus? Als Beispiele dienen die Folge der 2er-Potenzen und die Folge der 3er-Potenzen:
Die Differenzfolge der 2er-Potenzfolge:
![{\displaystyle 1\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b98c9e64d6aa790731df88a02cc0d018cce78b87) |
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![{\displaystyle 2\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/109498ca78d5a57ae4967b4f25d9b6e986a58528) |
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![{\displaystyle 4\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f313d09bc2ad8b592f1e7a19bd7cb0fe64565efb) |
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![{\displaystyle 8\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa2aba49ab47842062d5f3311707925cb5f5a2d2) |
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![{\displaystyle 16\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5326b329df3943f3a5a9db1dbe8cb4f9d8012fb7) |
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![{\displaystyle 32\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2f5763da879f3a9fa01d74cfe7c7358691877ed) |
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![{\displaystyle 64\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f59d5b1d7b7773157cf5e84ca6b49ba202ba25a) |
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![{\displaystyle 128\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c846c53d3f2e155398356d57dba168f61fe705b) |
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![{\displaystyle 256\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a70a2f55d1a804ebf63391431085995f083ace3) |
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![{\displaystyle 512\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41ee68a9d37fab6b52065fd6bfc85e688438491c) |
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![{\displaystyle 1024\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1df5a27ba153ecfe81771a7ea613420ce1e8a4b3) |
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![{\displaystyle 1\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b98c9e64d6aa790731df88a02cc0d018cce78b87) |
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![{\displaystyle 2\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/109498ca78d5a57ae4967b4f25d9b6e986a58528) |
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![{\displaystyle 4\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f313d09bc2ad8b592f1e7a19bd7cb0fe64565efb) |
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![{\displaystyle 8\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa2aba49ab47842062d5f3311707925cb5f5a2d2) |
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![{\displaystyle 16\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5326b329df3943f3a5a9db1dbe8cb4f9d8012fb7) |
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![{\displaystyle 32\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2f5763da879f3a9fa01d74cfe7c7358691877ed) |
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![{\displaystyle 64\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f59d5b1d7b7773157cf5e84ca6b49ba202ba25a) |
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![{\displaystyle 128\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c846c53d3f2e155398356d57dba168f61fe705b) |
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![{\displaystyle 256\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a70a2f55d1a804ebf63391431085995f083ace3) |
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![{\displaystyle 512\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41ee68a9d37fab6b52065fd6bfc85e688438491c) |
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Die Differenzfolge der 2er-Potenzfolge ist wiederum eine verschobene Folge der 2er-Potenzen.
![{\displaystyle 1\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b98c9e64d6aa790731df88a02cc0d018cce78b87) |
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![{\displaystyle 3\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/291adf564ec953470f6e085a47913556c596f264) |
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![{\displaystyle 9\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f006d2132670104ade5829ab33a0e7d5aec9c1a3) |
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![{\displaystyle 27\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4575bcb5d1e7774e909592478dc8f2eba041275b) |
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![{\displaystyle 81\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48579448a1712f549500210b0b182609895f8ac3) |
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![{\displaystyle 243\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/218addd57a5a17c02b41fc7eb7c5f27695fc5eb5) |
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![{\displaystyle 729\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d55a3e86ef9a8c340d9e965ec30caf861601e7f) |
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![{\displaystyle 2187\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b472a890545840c7e1ddf21ef187142f37eacc3c) |
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![{\displaystyle 6561\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0ef5439ca56a8cf97a0c9bd37199fb4ffe8caf2) |
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![{\displaystyle \ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a1e86a18a8eee8066aa7c7086dfef30726bc9fb) |
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![{\displaystyle \ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a1e86a18a8eee8066aa7c7086dfef30726bc9fb) |
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![{\displaystyle 2\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/109498ca78d5a57ae4967b4f25d9b6e986a58528) |
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![{\displaystyle 6\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b62e16f30d22a094402fb958a7080144f6aa10c9) |
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![{\displaystyle 18\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74c39879aa32ed017d0f3b76338f5feb870f9129) |
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![{\displaystyle 54\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c890c3fa909637db7319539f0665fbe97964246d) |
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![{\displaystyle \ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a1e86a18a8eee8066aa7c7086dfef30726bc9fb) |
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![{\displaystyle \ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a1e86a18a8eee8066aa7c7086dfef30726bc9fb) |
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![{\displaystyle \ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a1e86a18a8eee8066aa7c7086dfef30726bc9fb) |
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![{\displaystyle \ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a1e86a18a8eee8066aa7c7086dfef30726bc9fb) |
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![{\displaystyle \ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a1e86a18a8eee8066aa7c7086dfef30726bc9fb) |
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![{\displaystyle \ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a1e86a18a8eee8066aa7c7086dfef30726bc9fb) |
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Die Differenzfolge der 3er-Potenzen ist keine verschobene Folge der 3er-Potenzen. Aber wenn man die Glieder der Differenzfolge halbiert, so bekommt man auch hier die Folge der 3er-Potenzen.