Fibonacci-Folgen und Lucas-Folgen: Die allgemeine Lucas-Folge

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Nuvola apps bookcase 1.svg Fibonacci-Folgen und Lucas-Folgen


Einleitung[Bearbeiten]

Hier geht es um die beiden allgemeinen Lucas-Folgen und , die abhängig von den Parametern und definiert sind als diejenigen Folgen, die

bzw.

erfüllen und der Rekursionsformel für (entsprechend für ) genügen.

Die Lucas-Folgen sind nach dem französischen Mathematiker Edouard Lucas benannt, der sich als erster mit ihnen beschäftigt hat.

Explizite Formeln[Bearbeiten]

Vorbereitung[Bearbeiten]

Die allgemeine Lucas-Folge hat zum einen mit quadratischen Gleichungen zu tun, und andererseits ist es zum Verständnis von Vorteil, ableiten (Differentialrechnung) zu können.

Für die expliziten Formeln werden die beiden Lösungen und der quadratischen Gleichung benötigt. Sie sind

und

Die Parameter und und die Werte und sind von einander abhängig. Es gilt umgekehrt:

(Satzgruppe von Vieta)

Die Formeln für a und b lassen sich, in bezug auf die Potenzen auch verallgemeinern:


Die allgemeinen Lucas-Folgen[Bearbeiten]

Falls gilt, oder äquivalent dazu: falls die Zahlen und verschieden sind, so berechnet sich das Glied der allgemeinen Lucas-Folge nach folgender Formel:

für alle . Im Spezialfall gilt stattdessen

Das Glied der allgemeinen Lucas-Folge berechnet sich nach folgender Formel:

für alle

Wenn man die ganze Folge meint, und nicht nur das einzelne Glied der Folge, dann läßt sich dieses so ausdrücken:

bzw.

U0, U1 und V0 sind definiert[Bearbeiten]

und hängen nicht von und , und damit auch nicht von und , ab.

nimmt den Wert von an, da nach der Satzgruppe von Vieta gilt :

Beziehungen zwischen den Folgegliedern[Bearbeiten]

Es gibt viele Beziehungen zwischen den Gliedern der allgemeinen Lucas-Folgen und . Da die Fibonacci-Folge, und auch die Lucas-Folge (2, 1, 3, 4, 7, ...) Teil der allgemeinen Lucas-Folge sind, gelten diese Beziehungen auch für diese beiden Folgen. Gleiches trifft auch auf die Pell-Folge und ihre Companion-Folge zu.

Da man bei diesen Beziehungen davon ausgehen kann, dass die Parameter und für alle Glieder der Folgen identisch sind, lässt man sie weg. Statt reicht es aus zu schreiben.

  • ; für alle

Quelle: Ein großer Teil dieses Kapitels stammt aus dem Artikel Lucas-Folgen von der deutschsprachigen de.wikipedia.org.