Hier geht es um die beiden allgemeinen Lucas-Folgen
und
, die abhängig von den Parametern
und
definiert sind als Folgen mit den Anfangswerten
und
![{\displaystyle V_{0}=2,\quad V_{1}=P}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb7084d82f9ac6b25eaae990fac2b8be7245f71f)
und der Rekursionsformel
für
(entsprechend für
).
Die Lucas-Folgen sind nach dem französischen Mathematiker Edouard Lucas benannt, der sich als erster mit ihnen beschäftigt hat.
Die allgemeine Lucas-Folge hat zum einen mit quadratischen Gleichungen zu tun, und andererseits ist es zum Verständnis von Vorteil, ableiten (Differentialrechnung) zu können.
Für die expliziten Formeln werden die beiden Lösungen
und
der quadratischen Gleichung
benötigt. Sie sind
![{\displaystyle a={\frac {P}{2}}+{\sqrt {{\frac {P^{2}}{4}}-Q}}={\frac {P+{\sqrt {P^{2}-4Q}}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f73a3d209cffbb2c2a98afe06362211ea559d576)
und
![{\displaystyle b={\frac {P}{2}}-{\sqrt {{\frac {P^{2}}{4}}-Q}}={\frac {P-{\sqrt {P^{2}-4Q}}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/510139dd8ec55d9a4c0e40ce879945a086508f00)
Die Parameter
und
und die Werte
und
sind von einander abhängig. Es gilt umgekehrt:
(Satzgruppe von Vieta)
Die Formeln für a und b lassen sich, in bezug auf die Potenzen auch verallgemeinern:
![{\displaystyle a^{n}={\frac {V_{n}+U_{n}{\sqrt {P^{2}-4Q}}}{2}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3aec241aa76cb9f5aee823f125772b078e56517)
![{\displaystyle b^{n}={\frac {V_{n}-U_{n}{\sqrt {P^{2}-4Q}}}{2}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6375ca0f5565920cc2e90b4417ec8e1fe4b5d461)
Falls
gilt, oder äquivalent dazu: falls die Zahlen
und
verschieden sind, so berechnet sich das Glied der allgemeinen Lucas-Folge
nach folgender Formel:
![{\displaystyle U_{n}(P,Q)={\frac {a^{n}-b^{n}}{a-b}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5f3fccc81b732e250cd395cfe9aab4efbabf916)
für alle
. Im Spezialfall
gilt stattdessen
![{\displaystyle U_{n}(P,Q)=na^{n-1}=n\left({\frac {P}{2}}\right)^{n-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5f47aa35e49c1fbe9b74fc45fead2e0dc6ee999)
Das Glied der allgemeinen Lucas-Folge
berechnet sich nach folgender Formel:
![{\displaystyle V_{n}(P,Q)=a^{n}+b^{n}\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7eb1339245135118e96a89046b50b11b9881ae5f)
für alle
Wenn man die ganze Folge meint, und nicht nur das einzelne Glied der Folge, dann läßt sich dieses so ausdrücken:
bzw. ![{\displaystyle V(P,Q)=(V_{n}(P,Q))_{n\geq 1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/881d762beda1e30a2f9c5e53b1f0614f9abcd1be)
und
hängen nicht von
und
, und damit auch nicht von
und
, ab.
![{\displaystyle U_{0}={\frac {a^{0}-b^{0}}{a-b}}={\frac {1-1}{a-b}}={\frac {0}{a-b}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc1fe99443dc21a05f1cdc7e7693bded9c63cd35)
![{\displaystyle U_{1}={\frac {a^{1}-b^{1}}{a-b}}={\frac {a-b}{a-b}}={\frac {1}{1}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b75ca63758f6e4a1d4d02ab74d6102c7fa2a5ac)
![{\displaystyle V_{0}=a^{0}+b^{0}=1+1=2\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2385085cbfdf78925356b1001f36789ca6900b4)
nimmt den Wert von
an, da nach der Satzgruppe von Vieta gilt
:
![{\displaystyle V_{1}=a^{1}+b^{1}=a+b=P\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ad9d8a87f465e2ab38a0dbbf968ee5d812e36db)
Beziehungen zwischen den Folgegliedern
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Es gibt viele Beziehungen zwischen den Gliedern der allgemeinen Lucas-Folgen
und
. Da die Fibonacci-Folge, und auch die Lucas-Folge (2, 1, 3, 4, 7, ...) Teil der allgemeinen Lucas-Folge sind, gelten diese Beziehungen auch für diese beiden Folgen. Gleiches trifft auch auf die Pell-Folge und ihre Companion-Folge zu.
Da man bei diesen Beziehungen davon ausgehen kann, dass die Parameter
und
für alle Glieder der Folgen identisch sind, lässt man sie weg.
Statt
reicht es aus
zu schreiben.
![{\displaystyle U_{2n}=U_{n}\cdot V_{n}\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e98be71dc3ac3f5afe40acb29facfa41bf2b5a6b)
![{\displaystyle V_{n}=U_{n+1}-QU_{n-1}\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff27a871d1b14c423091512f8579ebedcbb6baf1)
![{\displaystyle V_{2n}=V_{n}^{2}-2Q^{n}\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/145c10e766f768fb9981207d078883c0663c6fce)
![{\displaystyle \operatorname {ggT} (U_{m},U_{n})=U_{\operatorname {ggT} (m,n)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c742e34c13933d3c763716ca96882eb705a4643c)
; für alle ![{\displaystyle U_{m}\neq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9df0506ab55698b7eb0632d2ce933e9d36bff83)
Quelle: Ein großer Teil dieses Kapitels stammt aus dem Artikel Lucas-Folgen von der deutschsprachigen de.wikipedia.org.