Formelsammlung Mathematik: Irrationalität und Transzendenz
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Die eulersche Zahl ist irrational
[Bearbeiten]- .
Annahme: , das heißt es gibt , so dass ist.
Der Rest muss daher eine ganze Zahl sein.
Wegen ist aber . (Widerspruch)
Das Exponential einer rationalen Zahl ungleich null ist irrational
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Annahme: Für eine positive ganze Zahl a sei .
Sei nun das -te Niven-Polynom und .
Demzufolge ist .
Also muss eine positive ganze Zahl sein.
Wegen geht der Linksterm aber gegen null für . (Widerspruch)
Wäre rational, so wäre auch rational.
Die Kreiszahl π ist irrational
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Unter Heranziehung der Kontraposition vom Lemma von Lambert folgt die Behauptung sofort.
Aus tan(π/4)=1 ergibt sich über die Kontraposition vom Lemma von Lambert nun und damit .
Ein anderer Beweis stammt vom Mathematiker I. Niven und funktioniert mittels Integralrechnung und Widerspruchsbeweis.
Annahme: , das heißt es gibt , so dass ist. Eigentlich müsste streng genommen gewählt werden, da aber π > 0 ist, reicht es aus zu wählen.
Sei nun , wobei .
Sei nun Daraus folgt:
Nun fordern wir , was mit erfüllt wird.
Damit hätten wir erreicht, dass nun mit Stammfunktion ist, wobei ist.
Mit obiger Definition von (), ist dann wie folgt:
Kleine Anmerkung. Für werden die Ableitungen stets den Wert annehmen, da ja ein Monom über seinen Grad hinaus abgeleitet wird. Leitet man ein Polynom weniger oft als seinen Grad ab, so gilt: . Die Potenzen von wurden gemäß der Potenzgesetze zusammengefasst.
Nun sei , wobei angenommen wird. Partielle Integration liefert dann:
, siehe folgende Rechnung:
Vorbemerkung. hat in eine -fache Nullstelle. Deswegen gilt: Daher brauchen wir die Summe nur für auswerten.
mit
Kleine Nebenbemerkung zur Potenz zur Basis : für und für . Da nur im Falle der Wert von 0 verschieden (und 1) ist, ist auch er der einzige auszuwertende Faktor im Zähler der Summanden. erklärt sich dadurch, dass immer eine ganze Zahl ist und daher im Falle eines ungeraden die Gleichung ist, sodass in die Potenz zur Basis 0 im Zähler des Summanden eingesetzt den Wert statt der 1 ausgibt und da der Faktor im Zähler dann 0 ist, wird auch da der ganze Summand 0 werden.
, siehe folgende Rechnung:
Vorbemerkung. hat in eine -fache Nullstelle. Deswegen gilt: Daher brauchen wir die Summe nur für auswerten.
Kleine Nebenbemerkung zur Potenz zur Basis : Die Laufindizes und sind, wie man den Summenzeichen entnehmen kann, wie folgt beschränkt: und . Damit ist
und . Daraus folgt: (Aussage 1)
Nun gilt jedoch für alle :
und damit
Damit liegt dann: , also vor.
Wegen , lässt sich das groß genug wählen, sodass . Damit erreichen wir, dass nun , also gilt.
Daraus folgt: , also kurz geschrieben: (Aussage 2)
Aus den Aussagen 1 und 2 folgt, dass, wenn ( sei rational) mit gilt, dann der Wert des Integrals eine ganze Zahl im offenen Intervall zwischen 0 und 1 ist. Da eine solche Zahl jedoch nicht existiert, liegt hier ein Widerspruch vor, sodass die Annahme falsch gewesen sein muss. Damit gilt ( ist irrational).
Das Quadrat der Kreiszahl π ist irrational
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Wenn man Nivens Irrationalitätsbeweis für π etwas umstellt, kann man mit ihm beweisen, dass auch irrational ist.
Annahme: , das heißt es gibt , so dass ist. Da Quadrate reeller Zahlen stets positiv sind, reicht aus.
Nun bastelt man sich wie beim Irrationalitätsbeweis für π die Funktion :
, wobei , also als eine gerade natürliche Zahl gewählt wird. Das n gerade ist, wird hinterher beim Auswerten für wichtig, da nur für gerades eine gerade Funktion ist:
Also ist für gerades eine gerade Funktion und für ungerades eine ungerade Funktion.
Nun bildet man und wieder in Abhängigkeit von :
Da als gerade Zahl gewählt ist, gilt.
Nun sei , wobei angenommen wird. Partielle Integration liefert dann:
Vorbemerkung. hat sowohl in als auch in eine -fache Nullstelle. Deswegen gilt: Daher brauchen wir die Summe nur für auswerten. Da der Grad des Polynoms ist nach oben durch beschränkt. Also brauchen wir die Summe nur für auswerten.
, siehe folgende Rechnung:
Anmerkung:
, siehe folgende Rechnung:
und . Daraus folgt: (Aussage 1)
Nun gilt jedoch für alle : , , und damit
Damit liegt dann: , also vor.
Wegen , lässt sich das groß genug wählen, sodass . Damit erreichen wir, dass nun , also gilt.
Daraus folgt: , also kurz geschrieben: (Aussage 2)
Aus den Aussagen 1 und 2 folgt, dass, wenn ( sei rational) mit gilt, dann der Wert des Integrals eine ganze Zahl im offenen Intervall zwischen 0 und 1 ist. Da eine solche Zahl jedoch nicht existiert, liegt hier ein Widerspruch vor, sodass die Annahme falsch gewesen sein muss. Damit gilt ( ist irrational).
Die eulersche Zahl ist transzendent
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Unter der Annahme gibt es eine Gleichung , mit und , die x=e als Lösung besitzt.
Sei nun und .
Für variables sei und
für variables sei
und .
gilt für und somit auch .
Man wähle die Primzahl nun so groß, dass
und ist .
Es ist
mod p.
Für besitzt den Linearfaktor x. Daher ist
mod .
mod p
Aber . (Widerspruch)
Die Kreiszahl π ist transzendent
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Annahme:
Es gilt Daraus folgt direkt mit der Annahme
Da gilt:
Wegen folgt hieraus
Nun gilt nach der eulerschen Identität:
Also insgesamt , welche widersprüchlich ist, da -1 ja als ganze Zahl offensichtlich algebraisch und damit nicht transzendent ist. Damit muss die Annahme falsch gewesen und damit gilt
Für eine algebraische Zahl ungleich null sind exp, sin, cos, sinh, cosh transzendent
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Es gelten und
Wenn , da Damit gilt dann aber auch
Da aufgrund des Zusammenhanges der Sinus und der Cosinus stets paarweise algebraisch sind, d. h. , gilt automatisch
Und damit gilt schlussendlich
Es gelten und
Da aufgrund des Zusammenhanges der Sinus hyperbolicus und der Cosinus hyperbolicus stets paarweise algebraisch sind, d. h. , gilt automatisch
Und damit gilt schlussendlich
Für ein rationales Vielfaches von π ist der Kosinus algebraisch
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Werte von arccos(x)/π für spezielle Argumente
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Die Apéry-Konstante ist irrational
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Gelfond-Schneider-Theorem
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Satz von Erdős-Borwein
[Bearbeiten]Mit L ist die Menge der liouvilleschen Zahlen gemeint.
Lemma von Lambert
[Bearbeiten]Verwende die Kettenbruchdarstellung von tan(x).