Formelsammlung Mathematik: Gammafunktion

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Definition

Definition. Gammafunktion.

Für $z\in \mathbb {C}$ mit $\mathrm {Re} (z)>0$:

$\Gamma (z):=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\mathrm {e} ^{-t}\,\mathrm {d} t.$

Für $z\in \mathbb {C} \setminus \{0,-1,-2,\ldots \}$:

$\Gamma (z):=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!\cdot n^{z}}{z\cdot (z+1)\cdot (z+2)\cdot \ldots \cdot (z+n)}},$

oder äquivalent:

$\Gamma (z):={\frac {\mathrm {e} ^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }{\Big (}1+{\frac {z}{n}}{\Big )}^{-1}\mathrm {e} ^{z/n},$

oder äquivalent:

$\Gamma (z):=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!\cdot (z+k)}}+\int _{1}^{\infty }t^{z-1}\mathrm {e} ^{-t}\,\mathrm {d} t.$

Mit $\gamma$ ist die Euler-Mascheroni-Konstante gemeint.

Eigenschaften

Funktionalgleichung:

$\Gamma (z+1)=z\cdot \Gamma (z).$

Beziehung zur Fakultät:

$n!=\Gamma (n+1).$

Ergänzungssatz:

$\Gamma (z)\cdot \Gamma (1-z)={\frac {\pi }{\sin(\pi z)}}.\qquad (z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} )$

Verdopplungsformel:

$\Gamma {\Big (}{\frac {z}{2}}{\Big )}\cdot \Gamma {\Big (}{\frac {z+1}{2}}{\Big )}={\frac {\sqrt {\pi }}{2^{z-1}}}\cdot \Gamma (z).\qquad (z\in \mathbb {C} \setminus \{0,-1,-2,\ldots \})$

Multiplikationsformel:

$\prod _{k=0}^{n-1}\Gamma {\Big (}{\frac {z+k}{n}}{\Big )}={\frac {(2\pi )^{(n-1)/2}}{n^{z-1/2}}}\cdot \Gamma (z).\qquad (z\in \mathbb {C} \setminus \{0,-1,-2,\ldots \})$

Spezielle Werte

x	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Γ(x)	1	1	2	6	24	120	720	5040	40320	362880

x	1/2	3/2	5/2	7/2	(2n+1)/2
Γ(x)	${\sqrt {\pi }}$	${\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}$	${\tfrac {3}{4}}{\sqrt {\pi }}$	${\tfrac {15}{8}}{\sqrt {\pi }}$	${\frac {(2n)!}{n!\cdot 4^{n}}}{\sqrt {\pi }}$

x	−1/2	−3/2	−5/2	(1−2n)/2
Γ(x)	$-2{\sqrt {\pi }}$	${\tfrac {4}{3}}{\sqrt {\pi }}$	$-{\tfrac {8}{15}}{\sqrt {\pi }}$	${\frac {n!\cdot (-4)^{n}}{(2n)!}}{\sqrt {\pi }}$

Graph

Reelle Gammafunktion. Betrag der komplexen Gammafunktion. Komplexe Gammafunktion.