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# Formelsammlung Mathematik: Gammafunktion

## Definition

Definition. Gammafunktion.

Für ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ mit ${\displaystyle \mathrm {Re} (z)>0}$:

${\displaystyle \Gamma (z):=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\mathrm {e} ^{-t}\,\mathrm {d} t.}$

Für ${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{0,-1,-2,\ldots \}}$:

${\displaystyle \Gamma (z):=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!\cdot n^{z}}{z\cdot (z+1)\cdot (z+2)\cdot \ldots \cdot (z+n)}},}$

oder äquivalent:

${\displaystyle \Gamma (z):={\frac {\mathrm {e} ^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }{\Big (}1+{\frac {z}{n}}{\Big )}^{-1}\mathrm {e} ^{z/n},}$

oder äquivalent:

${\displaystyle \Gamma (z):=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!\cdot (z+k)}}+\int _{1}^{\infty }t^{z-1}\mathrm {e} ^{-t}\,\mathrm {d} t.}$

Mit ${\displaystyle \gamma }$ ist die Euler-Mascheroni-Konstante gemeint.

## Eigenschaften

Funktionalgleichung:

${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\cdot \Gamma (z).}$

Beziehung zur Fakultät:

${\displaystyle n!=\Gamma (n+1).}$

Ergänzungssatz:

${\displaystyle \Gamma (z)\cdot \Gamma (1-z)={\frac {\pi }{\sin(\pi z)}}.\qquad (z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} )}$

Verdopplungsformel:

${\displaystyle \Gamma {\Big (}{\frac {z}{2}}{\Big )}\cdot \Gamma {\Big (}{\frac {z+1}{2}}{\Big )}={\frac {\sqrt {\pi }}{2^{z-1}}}\cdot \Gamma (z).\qquad (z\in \mathbb {C} \setminus \{0,-1,-2,\ldots \})}$

Multiplikationsformel:

${\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}\Gamma {\Big (}{\frac {z+k}{n}}{\Big )}={\frac {(2\pi )^{(n-1)/2}}{n^{z-1/2}}}\cdot \Gamma (z).\qquad (z\in \mathbb {C} \setminus \{0,-1,-2,\ldots \})}$

## Spezielle Werte

 x Γ(x) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 2 6 24 120 720 5040 40320 362880
 x Γ(x) 1/2 3/2 5/2 7/2 (2n+1)/2 ${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}}$ ${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}{\sqrt {\pi }}}$ ${\displaystyle {\tfrac {15}{8}}{\sqrt {\pi }}}$ ${\displaystyle {\frac {(2n)!}{n!\cdot 4^{n}}}{\sqrt {\pi }}}$
 x Γ(x) −1/2 −3/2 −5/2 (1−2n)/2 ${\displaystyle -2{\sqrt {\pi }}}$ ${\displaystyle {\tfrac {4}{3}}{\sqrt {\pi }}}$ ${\displaystyle -{\tfrac {8}{15}}{\sqrt {\pi }}}$ ${\displaystyle {\frac {n!\cdot (-4)^{n}}{(2n)!}}{\sqrt {\pi }}}$

## Graph

 Reelle Gammafunktion. Betrag der komplexen Gammafunktion. Komplexe Gammafunktion.