Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,arctan)

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0.1[Bearbeiten]
Beweis

Benutze die Reihenentwicklung .

0.2[Bearbeiten]
Beweis

0.3[Bearbeiten]
ohne Beweis


0.4[Bearbeiten]
ohne Beweis


0.5[Bearbeiten]
ohne Beweis


0.6[Bearbeiten]
ohne Beweis


1.1[Bearbeiten]
Beweis

Integriere die Formel nach von bis .

1.2[Bearbeiten]
ohne Beweis


1.3[Bearbeiten]
Beweis

In der Formel für

setze und .



Nach Substitution ist .

Integriere nun nach von bis .

1.4[Bearbeiten]
Beweis

Nach Substitution lässt sich das Integral auch schreiben als .

Addiert man beide Darstellungen, so ist . Der Zähler ist konstant .

Somit ist .

1.5[Bearbeiten]
Beweis (Ahmedsches Integral)

Es ist .

Setze und und integriere nach und jeweils von bis .



Vertauscht man die Rollen von und , so erkennt man, dass beide Integrale auf der linken Seite gleich sind und dass beide Integrale auf der rechten Seite gleich sind.

Also ist

.

Schreibe nun als .