Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,cosh)

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0.1[Bearbeiten]
ohne Beweis


1.1[Bearbeiten]
ohne Beweis


1.2[Bearbeiten]
1. Beweis

Aus der Formel folgt

.

2. Beweis

Betrachte die Formel im Grenzfall :



Auf der einen Seite ist nun .

Auf der anderen Seite hat die Taylorreihenentwicklung von folgende Form:



Also ist .

1.3[Bearbeiten]
Beweis

Für ist .

Also ist und somit ist

.

1.4[Bearbeiten]
ohne Beweis


1.5[Bearbeiten]
ohne Beweis


1.6[Bearbeiten]
Beweis



mit und .


Ansatz (Variation der Konstante):







Also ist .





, wegen und .

Somit ist



.

2.1[Bearbeiten]
ohne Beweis


2.2[Bearbeiten]
Beweis



ist nach Substitution gleich .

Dabei ist .

Also ist



.

2.3[Bearbeiten]
Beweis

Setze .











Daher muss das Bernoulli-Polynom sein.





Wegen ist

und daher ist

.

Also ist

.

2.4[Bearbeiten]
Beweis

Lobatschewskiintegral2.PNG
Setzt man , so ist .

Da der Imaginärteil eine ungerade Funktion ist, gilt .

Für verschwinden die Integrale über den vertikalen Strecken, daher ist

.

Auf der anderen Seite ist nach dem Residuensatz

.

Daraus folgt .

2.5[Bearbeiten]
Beweis

Lobatschewskiintegral2.PNG
Setzt man , so ist .

Da der Imaginärteil eine ungerade Funktion ist, gilt .

Für verschwinden die Integrale über den vertikalen Strecken, daher ist

.

Auf der anderen Seite ist nach dem Residuensatz

.

Daraus folgt .