Zum Inhalt springen

Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,cosh)

Aus Wikibooks

Zurück zu Bestimmte Integrale

ohne Beweis


ohne Beweis


1. Beweis

Aus der Formel folgt

.

2. Beweis

Betrachte die Formel im Grenzfall :



Auf der einen Seite ist nun .

Auf der anderen Seite hat die Taylorreihenentwicklung von folgende Form:



Also ist .

Beweis

Für ist .

Also ist und somit ist

.

ohne Beweis


ohne Beweis


Beweis



mit und .


Ansatz (Variation der Konstante):







Also ist .





, wegen und .

Somit ist



.

ohne Beweis


Beweis



ist nach Substitution gleich .

Dabei ist .

Also ist



.

Beweis

Setze .











Daher muss das Bernoulli-Polynom sein.





Wegen ist

und daher ist

.

Also ist

.

Beweis


Setzt man , so ist .

Da der Imaginärteil eine ungerade Funktion ist, gilt .

Für verschwinden die Integrale über den vertikalen Strecken, daher ist

.

Auf der anderen Seite ist nach dem Residuensatz

.

Daraus folgt .

Beweis


Setzt man , so ist .

Da der Imaginärteil eine ungerade Funktion ist, gilt .

Für verschwinden die Integrale über den vertikalen Strecken, daher ist

.

Auf der anderen Seite ist nach dem Residuensatz

.

Daraus folgt .