Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,exp,erf)

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1.1

${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\text{erf}}^2\left(\sqrt{x}\right)e^{-ax}dx=\frac{4}{a\pi }\cdot \frac{\mathrm{arccot}\sqrt{1+a}}{\sqrt{1+a}}\text{Re}(a)>0$

Beweis

$I={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\text{erf}}^2\left(\sqrt{x}\right)e^{-ax}dx={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\text{erf}}^2(x)e^{-a{x}^2}2xdx$ ist nach partieller Integration

${[-\frac{1}{a}{e}^{-a{x}^2}{\text{erf}}^2(x)]}_0^{\mathrm{\infty }}+{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{a}{e}^{-a{x}^2}2\text{erf}(x)\frac{2}{\sqrt{\pi }}{e}^{-x^2}dx=\frac{2}{a\sqrt{\pi }}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}2\text{erf}(x)e^{-(a+1)x^2}dx$.

Nach der Ersetzung $\text{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}{\int }_0^x{e}^{-t^2}dt=\frac{2}{\sqrt{\pi }}{\int }_0^1{e}^{-x^2{t}^2}xdt$ ist

$I=\frac{4}{a\pi }{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^{1}2e^{-x^2{t}^2}x{e}^{-(a+1)x^2}dtdx=\frac{4}{a\pi }{\int }_0^1{\int }_0^{\mathrm{\infty }}2x{e}^{-(t^2+a+1)x^2}dxdt$

$=\frac{4}{a\pi }{\int }_0^1\frac{1}{t^2+a+1}dt=\frac{4}{a\pi }\cdot \frac{\mathrm{arccot}\sqrt{1+a}}{\sqrt{1+a}}$.