Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,sinh,cosh)

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1.1

${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{2x\sinh x}{\cosh 2x+\cos 2\alpha }dx=\pi \frac{\alpha }{\sin \alpha }0<|\text{Re}(\alpha )|<\frac{\pi }{2}$

Beweis (Formel nach Lobatschewski)

Im Fall $\alpha =0$ ist $\cosh 2x+\cos 2\alpha =2{\cosh }^{2}x$.

Das gesuchte Integral ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{x\sinh x}{{\cosh }^{2}x}dx$ ist dann

nach partieller Integration ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\cosh x}=\pi$.


Im Fall $\alpha \ne 0$ hat die Funktion $f(z)=\frac{2z\sinh z}{\cosh 2z+\cos 2\alpha }$

ihre Singularitäten bei $z=i(k\frac{\pi }{2}\pm \alpha )$,

wobei $k$ eine ungerade Zahl ist.


Für $R>\text{Im}(\alpha )$ umschließt die Kurve ${\gamma }_R$ die beiden Singularitäten $z_{1/2}=i(\frac{\pi }{2}\pm \alpha )$.

Also ist $I={\oint }_{{\gamma }_R}fdz=2\pi i(\text{res}[f,i(\frac{\pi }{2}+\alpha )]+\text{res}[f,i(\frac{\pi }{2}-\alpha )])=\pi \frac{\alpha +\frac{\pi }{2}}{\sin \alpha }+\pi \frac{\alpha -\frac{\pi }{2}}{\sin \alpha }=2\pi \frac{\alpha }{\sin \alpha }$.

Für $R\to \mathrm{\infty }$ gehen die Integrale über den vertikalen Strecken, nämlich ${\int }_{-R}^{-R+i\pi }fdz$ und ${\int }_R^{R+i\pi }fdz$, gegen Null.

Also ist $I={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x)dx+{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(i\pi -x)(-dx)$, wobei $-f(i\pi -x)=f(x)+2\pi i\underset{\text{ungerade Funktion}}{\underbrace{\frac{\sinh x}{\cosh 2x+\cos 2\alpha }}}$ ist.

Daraus folgt $I={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}2f(x)dx=2\pi \frac{\alpha }{\sin \alpha }$.

 

2.1

${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sinh \pi x\sinh ax}{\cosh 2\pi x+\cos 2\pi b}dx=\frac{\sin ab}{2\cos \left(\frac{a}{2}\right)\sin \pi b}0<|\text{Re}(a)|<\pi ,0<|\text{Re}(b)|<\frac{1}{2}$

Beweis

Setzt man $f(z)=\frac{\sinh \pi z\sinh az}{\cosh 2\pi z+\cos 2\pi b}$, so ist $f(z+i)=-\frac{\sinh \pi z(\sinh az\cos a+i\cosh az\sin a)}{\cosh 2\pi z+\cos 2\pi b}$.

Da der Imaginärteil eine ungerade Funktion ist, gilt ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x+i)dx=-\cos a{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x)dx$.

Für $R\to \mathrm{\infty }$ verschwinden die Integrale über den vertikalen Strecken, daher ist

$\underset{R\to \mathrm{\infty }}{lim}\oint fdz={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x)dx-{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x+i)dx=(1+\cos a){\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}fdx=2{\cos }^2\left(\frac{a}{2}\right){\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}fdx$.

Auf der anderen Seite ist nach dem Residuensatz $\underset{R\to \mathrm{\infty }}{lim}\oint fdz=2\pi i\text{res}(f,i(\frac{1}{2}+b))+2\pi i\text{res}(f,i(\frac{1}{2}-b))$

$=\frac{\sin \left(a(\frac{1}{2}+b)\right)}{2\sin \pi b}-\frac{\sin \left(a(\frac{1}{2}-b)\right)}{2\sin \pi b}=\frac{\cos \left(\frac{a}{2}\right)\sin ab}{\sin \pi b}$.

Daraus folgt ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x)dx=\frac{\sin ab}{2\cos \left(\frac{a}{2}\right)\sin \pi b}$.