Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,sinh,cosh)
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1.1[Bearbeiten]
Beweis (Formel nach Lobatschewski)
Im Fall ist .
Das gesuchte Integral ist dann
nach partieller Integration .
Im Fall hat die Funktion
ihre Singularitäten bei ,
wobei eine ungerade Zahl ist.
Für umschließt die Kurve die beiden Singularitäten .
Also ist .
Für gehen die Integrale über den vertikalen Strecken, nämlich und , gegen Null.
Also ist , wobei ist.
Daraus folgt .
2.1[Bearbeiten]
Beweis
Setzt man , so ist .
Da der Imaginärteil eine ungerade Funktion ist, gilt .
Für verschwinden die Integrale über den vertikalen Strecken, daher ist
.
Auf der anderen Seite ist nach dem Residuensatz
.
Daraus folgt .