Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,tan)

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0.1

$\int _{0}^{\pi }x\,\tan x\,dx=-\pi \,\log 2$

Beweis

Setzt man $f(z)=z\,\tan z$, so ist

$\int _{C_{\varepsilon }}f\,dz+\int _{K_{\varepsilon }}f\,dz+\int _{D_{\varepsilon }}f\,dz+\int _{\gamma _{N}}f\,dz+\int _{\sigma _{N}}f\,dz+\int _{\delta _{N}}f\,dz=\oint f\,dz=0$.

Nun ist $\lim _{\varepsilon \to 0+}\int _{C_{\varepsilon }}f\,dz+\int _{D_{\varepsilon }}f\,dz={\text{p.V.}}\int _{0}^{\pi }x\,\tan x\,dx$

und $\lim _{\varepsilon \to 0+}\int _{K_{\varepsilon }}f\,dz=-i\pi \,{\text{res}}\left(f,{\frac {\pi }{2}}\right)={\frac {i\pi ^{2}}{2}}$.

Und aus $\int _{\gamma _{N}}f\,dz+\int _{\delta _{N}}f\,dz=\int _{0}^{N}f(\pi +iy)\,i\,dy-\int _{0}^{N}f(iy)\,i\,dy=-\pi \int _{0}^{N}\tanh y\,dy=-\pi \log(\cosh N)$

und $\int _{\sigma _{N}}f\,dz=-\int _{0}^{\pi }f(x+iN)\,dx=\pi \log(2\cosh N)-{\frac {i\pi ^{2}}{2}}$

folgt $\int _{\gamma _{N}}f\,dz+\int _{\sigma _{N}}f\,dz+\int _{\delta _{N}}f\,dz=\pi \log 2-{\frac {i\pi ^{2}}{2}}$.

Also ist ${\text{p.V.}}\int _{0}^{\pi }x\,\tan x\,dx+\pi \log 2=0$.

0.2

$\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}\log(1+\tan x)\,dx={\frac {\pi }{8}}\log 2$

Beweis

Wegen $1+\tan x={\frac {\cos x+\sin x}{\cos x}}={\frac {{\sqrt {2}}\cos \left({\frac {\pi }{4}}-x\right)}{\cos x}}$

ist $\log(1+\tan x)={\frac {1}{2}}\log 2+\log \cos \left({\frac {\pi }{4}}-x\right)-\log(\cos x)$.

Da nach Substitution $x\mapsto {\frac {\pi }{4}}-x$

$\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}\log \cos \left({\frac {\pi }{4}}-x\right)\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}\log(\cos x)\,dx$ ist,

ist das gesuchte Integral $\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}{\frac {1}{2}}\log 2\,dx={\frac {\pi }{8}}\,\log 2$ .

1.1

$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\tan \alpha x}{x}}\,dx=\pi \qquad \alpha >0$

Beweis

Nach der Formel von Lobatschewski ist $\int _{-\infty }^{\infty }1\cdot {\frac {\tan x}{x}}\,dx=\int _{0}^{\pi }1\,dx=\pi$.

Substituiert man $x\to \alpha x\,$, so erhält man die behauptete Formel.

1.2

$\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1}{1+\tan ^{\alpha }x}}\,dx={\frac {\pi }{4}}\qquad \alpha \in \mathbb {C} \setminus i\mathbb {R} ^{\times }$

Beweis

Für $\alpha \in \mathbb {C} \setminus i\mathbb {R} ^{\times }$ sei $I(\alpha )=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1}{1+\tan ^{\alpha }x}}\,dx$.

Nach Substitution $x\mapsto {\frac {\pi }{2}}-x$ ist $I(\alpha )=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1}{1+\cot ^{\alpha }x}}\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {\tan ^{\alpha }x}{1+\tan ^{\alpha }x}}\,dx$.

Addiert man die verschiedenen Darstellungen von $I(\alpha )\,$, so ist $2I(\alpha )=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1+\tan ^{\alpha }x}{1+\tan ^{\alpha }x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}$.

Unabhängig von $\alpha \,$ gilt also $I(\alpha )={\frac {\pi }{4}}$.

1.3

$\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\tan ^{2\alpha -1}\,x\;dx={\frac {\pi }{2\sin \alpha \pi }}\qquad 0<{\text{Re}}(\alpha )<1$

Beweis

Verwende die Formel

$2\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{2\alpha -1}x\,\cos ^{2\beta -1}x\,dx={\frac {\Gamma (\alpha )\,\Gamma (\beta )}{\Gamma (\alpha +\beta )}}\qquad {\text{Re}}(\alpha ),{\text{Re}}(\beta )>0$.

Ist $0<{\text{Re}}(\alpha )<1\,$ und setzt man $\beta =1-\alpha \,$, so ist auch $0<{\text{Re}}(\beta )<1\,$.

Also ist $2\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\tan ^{2\alpha -1}x\;dx=\Gamma (\alpha )\,\Gamma (1-\alpha )$.

Und das ist ${\frac {\pi }{\sin \alpha \pi }}$ nach dem Eulerschen Ergänzungssatz.