Formelsammlung Mathematik: Differenzialgleichungen
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Lineare Differentialgleichungen[Bearbeiten]
Gleichungen 1. Ordnung[Bearbeiten]
Lineare Dgl. 1. Ordnung[Bearbeiten]
Bestimme erst eine Lösung der homogenen Dgl. .
Setzt man , so ist mit eine homogene Lösung gefunden.
Um die inhomogene Gleichung zu lösen, mache den Ansatz Variation der Konstanten :
Die Lösungsformel lautet also:
Gleichungen 2. Ordnung[Bearbeiten]
Besselsche Dgl.[Bearbeiten]
Legendresche Dgl.[Bearbeiten]
Hypergeometrische Dgl.[Bearbeiten]
Laguerresche Dgl.[Bearbeiten]
Hermitesche Dgl.[Bearbeiten]
Tschebyscheffsche Dgl.[Bearbeiten]
Airysche Dgl.[Bearbeiten]
Gleichungen n. Ordnung[Bearbeiten]
Homogene lineare Dgl. mit konstanten Koeffizienten[Bearbeiten]
Die Funktion löst die Dgl., wenn zum Eigenwert das charakteristische Polynom verschwindet.
Hat die Nullstelle die algebraische Vielfachheit , so ist für auch Lösung.
Nach der Leibniz-Regel ist , wobei für verschwindet.
Also ist
und somit ist
.
Hat also das charakteristische Polynom die Wurzeln mit den Vielfachheiten ,
so hat die allgemeine Lösung der Dgl. die Form .
Eulersche Dgl.[Bearbeiten]
Nichtlineare Differentialgleichungen[Bearbeiten]
Gleichungen 1. Ordnung[Bearbeiten]
Exakte Dgl.[Bearbeiten]
Bernoullische Dgl.[Bearbeiten]
Dividiere die Gleichung mit durch:
Substituiere :
Multipliziere mit durch und ersetze sowie :
Das Lösen der Bernoullischen Dgl. ist damit auf das Lösen der linearen Dgl. 1. Ordnung zurückgeführt.
Riccatische Dgl.[Bearbeiten]
Ist bereits eine partikuläre Lösung bekannt, so folgt aus
die Gleichung .
Setzt man , so ist
und damit .
Das Lösen der Riccatischen Dgl. ist damit auf das Lösen der Bernoullischen Dgl. zurückgeführt.
Lagrangesche Dgl.[Bearbeiten]
Clairautsche Dgl.[Bearbeiten]
D'Alembertsche Dgl.[Bearbeiten]