Formelsammlung Mathematik: Diskrete Wahrscheinlichkeitsrechnung
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Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume
[Bearbeiten]Definition. Ergebnis, Ereignis, Ergebnismenge, Ereignisraum, unmögliches Ereignis, sicheres Ereignis.
Eine abzählbare Ergebnismenge Ω ist eine endliche (oder abzählbar unendliche) Menge, die als Grundmenge verwendet wird. Ein Element von Ω heißt Ergebnis oder Elementarereignis.
Die Potenzmenge 2Ω heißt Ereignisraum, die Elemente heißen Ereignisse.
Man nennt die leere Menge {} das unmögliche und Ω das sichere Ereignis.
Z. B. ist beim Würfeln
- Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
und das Ereignis {2, 4} ist eingetreten, wenn eine zwei oder eine vier gewürfelt wurde.
Definition. Diskreter Wahrscheinlichkeitsraum, Wahrscheinlichkeitsmaß.
Ein Paar (Ω, P) heißt diskreter Wahrscheinlichkeitsraum, wenn Ω eine abzählbare Ergebnismenge ist und
die Eigenschaft
besitzt. Die Abbildung P heißt (das von den Einzelwahrscheinlichkeiten induzierte) Wahrscheinlichkeitsmaß. Sie ordnet jedem Ereignis A eine Wahrscheinlichkeit P(A) zu. Man spricht auch von einer Verteilung auf Ω.
Beim Würfeln gilt
wobei mit |A| die Anzahl der Elemente vom Ereignis A gemeint ist. Z. B. ist
Axiome von Kolmogorow
[Bearbeiten]Definition. Wahrscheinlichkeitsmaß (Axiome von Kolmogorow).
Gegeben ist ein Messraum (Ω, Σ). Man nennt P ein Wahrscheinlicheitsmaß, wenn gilt:
- P ist eine Funktion .
- .
- Ist eine abzählbare Indexmenge und sind die für paarweise disjunkte Ereignisse, so gilt:
Bei einem diskreten Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P) und Σ:=2Ω sind die Axiome erfüllt.
Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten
[Bearbeiten]Aus den Axiomen von Kolmogorow folgen folgende Rechenregeln für ein Wahrscheinlichkeitsmaß P:
Regel | Kommentar |
---|---|
Das umögliche Ereignis trifft niemals ein. | |
Das sichere Ereignis trifft immer ein. | |
Siebformel. |
Für drei Ereignisse A, B, C gilt:
- .
Man nennt das komplementäre Ereignis zu A. Es gilt:
Regel | Kommentar |
---|---|
Entweder tritt das Ereignis oder das Komplement ein (disjunkte Zerlegung), denn Ω tritt sicher ein. | |
Ereignis und Komplement schließen sich aus (sind disjunkt), denn {} tritt niemals ein. | |
Die Wahrscheinlichkeit für das Komplement ist 1−P(A). |
Mehrstufige Experimente
[Bearbeiten]Ein zweistufiges Zufallsexperiment mit einem ersten Ergebnis aus Ω1 und einem zweiten aus Ω2 lässt sich als Zufallsexperiment modellieren, bei dem die Ergebnismenge das kartesische Produkt Ω = Ω1×Ω2 ist. Bei einem n-stufigen Experiment gilt
Auch beim Vorhandensein von Abbruchbedingungen kann Ω als kartesisches Produkt formuliert werden, wenn die Pfade nach dem Abbruch alle eine Pfadwahrscheinlichkeit von null erhalten. Alternativ ist eine Formulierung von Ω als Vereinigungsmenge von Ereignissen möglich. Betrachte z. B.
wo ein Abbruch stattfindet, wenn a2 eingetreten ist.
Erste Pfadregel.
Sei a ∈ Ω1, b ∈ Ω2, A = {a}×Ω2 und B = Ω1×{b}. Es gilt
In Worten: Das Ereignis {(a, b)} tritt ein, wenn zuerst der Pfad A eingetreten ist, und dann auch der Pfad B. Die Wahrscheinlichkeit ist das Produkt der Pfadwahrscheinlichkeiten P(A) und P(B|A).
Wenn die Teilexperimente stochastisch unabhängig sind, gilt
Zweite Pfadregel.
Sind a, b ∈ Ω zwei unterschiedliche Ergebnisse, dann gilt
In Worten: Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis, welches eintritt wenn der erste oder der zweite Pfad eingetreten ist, ist die Summe der beiden Pfadwahrscheinlichkeiten.
Sind bei einem n-stufigen Experiment die Teilexperimente alle Laplace-Experimente, dann gilt
mit t ∈ Ω und Ω = Ω1×…×Ωn.
Führt man immer wieder das selbe Laplace-Experiment aus, gilt
mit .
Würfelt man z. B. n-mal hintereinander, dann gibt es 6n totale Pfade und für jeden totalen Pfad ergibt sich eine Wahrscheinlichkeit von (1/6)n.
Bedingte Wahrscheinlichkeit
[Bearbeiten]Definition. Bedingte Wahrscheinlichkeit.
Für zwei Ereignisse A, B mit P(B)>0 nennt man
die bedingte Wahrscheinlichkeit von A, vorausgesetzt B.
Bei
handelt es sich wieder um ein Wahrscheinlichkeitsmaß.
Satz von Bayes. Für P(A)>0 und P(B)>0 gilt:
Unabhängige Ereignisse
[Bearbeiten]Definition. Stochastische Unabhängigkeit.
Zwei Ereignisse A, B heißen stochastisch unabhängig, wenn gilt:
Laplace-Verteilung
[Bearbeiten]Definition. Gleichverteilung (Laplace-Verteilung).
Sei Ω eine endliche Ergebnismenge. Gilt
für alle , so nennt man P die Gleichverteilung oder Laplace-Verteilung.
Bei einer Laplace-Verteilung gilt
Zufallsvariablen
[Bearbeiten]Definition. Zufallsvariable, Realisationen.
Sei (Ω, P) ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum. Jede Funktion
heißt Zufallsvariable. Die Funktionswerte heißen Realisationen der Zufallsvariable.
Eine Zufallsvariable X überträgt die Wahrscheinlichkeitsrechnung vom Raum (Ω, P) in den neuen Wahrscheinlichkeitsraum (R, PX), wobei
definiert wird. Mit
ist das Urbild von A gemeint. Die folgenden Kurzschreibweisen haben sich eingebürgert:
Wenn man ein Urbild direkt angeben möchte, schreibt man auch
usw.
Definition. Verteilungsfunktion.
Für eine Zufallsvariable X wird
Verteilungsfunktion von X genannt.
Für eine Verteilungsfunktion F gilt:
- F ist monoton wachsend,
- F ist rechtsseitig stetig,
- ,
- ,
- .