Formelsammlung Mathematik: Erzeugende Funktionen

↑ Formelsammlung Mathematik

• $G\{f_{n}\}$: Erzeugende Funktion der Folge $f_{n}$
• ${\mathcal {Z}}\{f_{n}\}$: Z-Transformierte (unilateral) der Folge $f_{n}$
• Konvergenzbereich: für $x\in \mathbb {C}$

$f_{0},f_{1},f_{2},f_{3},f_{4},\ldots$	$f_{n}$	$G\{f_{n}\}(x)$	${\mathcal {Z}}\{f_{n}\}(z)$	Konvergenzbereich
1, 0, 0, 0, 0, …	$[n=0]$	$1$	$1$	$\mathbb {C}$
0, 1, 0, 0, 0, …	$[n=1]$	$x$	${\frac {1}{z}}$	$\mathbb {C}$
0, 0, …, 0, 1, 0, …	$[n=k]$	$x^{k}$	${\Big (}{\frac {1}{z}}{\Big )}^{k}$	$\mathbb {C}$
1, 1, 1, 1, 1, …	$1$	${\frac {1}{1-x}}$	${\frac {z}{z-1}}$	$|x|<1$
1, q, q2, q3, q4, …	$q^{n}$	${\frac {1}{1-qx}}$	${\frac {z}{z-q}}$	$|qx|<1$
1, −1, 1, −1, 1, …	$(-1)^{n}$	${\frac {1}{1+x}}$	${\frac {z}{z+1}}$	$|x|<1$
0, 1, 2, 3, 4, …	$n$	${\frac {x}{(1-x)^{2}}}$	${\frac {z}{(z-1)^{2}}}$	$|x|<1$
1, 2, 3, 4, 5, …	$n+1$	${\frac {1}{(1-x)^{2}}}$	${\frac {z^{2}}{(z-1)^{2}}}$	Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „/mathoid/local/v1/“:): {\displaystyle |x|<1}
a, 1+a, 2+a, 3+a, …	$n+a$	${\frac {a+(1-a)x}{(1-x)^{2}}}$	${\frac {az^{2}+(1-a)z}{(z-1)^{2}}}$	$|x|<1$
0, 1, 4, 9, 16, …	$n^{2}$	${\frac {x(x+1)}{(1-x)^{3}}}$	${\frac {z(z+1)}{(z-1)^{3}}}$	$|x|<1$
1, 0, 1, 0, 1, …	$[2\,|\,n]$	${\frac {1}{1-x^{2}}}$	${\frac {z^{2}}{z^{2}-1}}$	$|x|<1$
0, 1, 0, 1, 0, …	$[2\,|\,n+1]$	${\frac {x}{1-x^{2}}}$	${\frac {z}{z^{2}-1}}$	$|x|<1$