Formelsammlung Mathematik: Fourierreihen

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Fourier-Skalarprodukt

Seien $f,g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C}$ periodische Funktionen mit Periodendauer $T$. Definition:

$\langle f,g\rangle :={\frac {1}{T}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}{\overline {f(t)}}\,g(t)\,\mathrm {d} t$.

Bemerkung: Im Fall einer rein reellen Funktion ist die Konjugation wirkungslos und kann somit entfallen.

Diese Operation ist ein Skalarprodukt auf dem Hilbertraum $L^{2}(t_{0},t_{0}+T)$.

Manchmal ist die Interpretation von $t$ nicht zeitartig. In diesem Fall bieten sich auch die alternativen Bezeichnungen $x\equiv t$ und $P\equiv T$ an. Einige Autoren verwenden die Substitution $\varphi :=\omega t$ anstelle der Festlegung $T:=2\pi$ oder $x:=t/T$ anstelle von $T:=1$.

Meistens ist $T:=2\pi$ und $t_{0}:=-T/2$. In diesem Fall gilt

$\langle f,g\rangle ={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{\overline {f(t)}}\,g(t)\,\mathrm {d} t$.

Das Skalarprodukt induziert die Fourier-Norm

$\|f\|:={\sqrt {\langle f,f\rangle }}.$

Die Definition des Skalarproduktes ist so gewählt, dass es sich bei $\|f\|$ um den Effektivwert von $f$ handelt.

Die Norm induziert die Fourier-Metrik

$d(f,g):=\|f-g\|$.

Fourier-Basis

Die Funktionen

$b_{k}(t)=\mathrm {e} ^{k\mathrm {i} \omega t}$

mit $k\in \mathbb {Z}$ bilden die ONB (Orthonormalbasis)

$B=\{b_{k}\mid k\in \mathbb {Z} \}.$

Mit $\omega :={\tfrac {2\pi }{T}}$ ist die Kreisfrequenz gemeint.

Fourier-Koeffizienten

Reelle Fourier-Koeffizienten

allgemein	$T=2\pi ,\,t_{0}=-\pi$
$a_{k}[f]={\frac {2}{T}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}\cos(k\omega t)f(t)\,\mathrm {d} t$	$a_{k}[f]={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\cos(kt)f(t)\,\mathrm {d} t$	$k\geq 0$
$b_{k}[f]={\frac {2}{T}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}\sin(k\omega t)f(t)\,\mathrm {d} t$	$b_{k}[f]={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\sin(kt)f(t)\,\mathrm {d} t$	$k\geq 1$

Formeln für symmetrische Funktionen:

Bedingung
$f(-x)=f(x)$	$b_{k}=0$	$a_{k}={\frac {4}{T}}\int _{0}^{T/2}\cos(k\omega t)f(t)\,\mathrm {d} t$
$f(-x)=-f(x)$	$a_{k}=0$	$b_{k}={\frac {4}{T}}\int _{0}^{T/2}\sin(k\omega t)f(t)\,\mathrm {d} t$

Die Operationen $a_{k}[f]$ und $b_{k}[f]$ sind lineare Funktionale:

Additivität	Homogenität $(\lambda \in \mathbb {R} )$
$a_{k}[f\pm g]=a_{k}[f]\pm a_{k}[g]$	$a_{k}[\lambda f]=\lambda a_{k}[f]$
$b_{k}[f\pm g]=b_{k}[f]\pm b_{k}[g]$	$b_{k}[\lambda f]=\lambda b_{k}[f]$

Komplexe Fourier-Koeffizienten

allgemein	$T=2\pi ,\,t_{0}=-\pi$
$c_{k}[f]={\frac {1}{T}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}\mathrm {e} ^{-k\mathrm {i} \omega t}\,f(t)\,\mathrm {d} t$	$c_{k}[f]={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\mathrm {e} ^{-k\mathrm {i} t}\,f(t)\,\mathrm {d} t$

Kurz:

$c_{k}[f]=\langle b_{k},f\rangle$.

Bei $c_{k}[f]$ handelt es sich um ein lineares Funktional. Es gilt

$c_{k}[f\pm g]=c_{k}[f]\pm c_{k}[g],$

$c_{k}[\lambda f]=\lambda c_{k}[f]\quad (\lambda \in \mathbb {C} ).$

Umrechnung zwischen komplexen und reellen Koeffizienten

reell zu komplex	komplex zu reell
$c_{0}={\frac {1}{2}}a_{0}$	$a_{0}=2c_{0}$
$c_{k}={\frac {1}{2}}(a_{k}-b_{k}\mathrm {i} )$	$a_{k}=c_{k}+c_{-k}$
$c_{-k}={\frac {1}{2}}(a_{k}+b_{k}\mathrm {i} )$	$b_{k}=(c_{k}-c_{-k})\mathrm {i}$

Alle Formeln gelten für $k\geq 1$.

Orthogonalitätsrelationen

Reelle Orthogonalitätsrelationen

Für $m,n\geq 0$ gilt:

$\int _{-\pi }^{\pi }\cos(mt)\sin(nt)\,\mathrm {d} t=0.$

Für $m,n\geq 1$ gilt:

$\int _{-\pi }^{\pi }\cos(mt)\cos(nt)\,\mathrm {d} t=\pi \delta _{mn}$

und

$\int _{-\pi }^{\pi }\sin(mt)\sin(nt)\,\mathrm {d} t=\pi \delta _{mn}.$

Komplexe Orthogonalitätsrelationen

Für $m,n\in \mathbb {Z}$ gilt

${\frac {1}{T}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}\mathrm {e} ^{-m\mathrm {i} \omega t}\mathrm {e} ^{n\mathrm {i} \omega t}\,\mathrm {d} t=\delta _{mn}$,

wobei $\delta _{mn}$ das Kronecker-Delta ist. Kurz:

$\langle b_{m},b_{n}\rangle =\delta _{mn}.$

Fourierreihe

Reelle Fourierreihe

Fourier-Polynom:

$p_{n}(t)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{n}[a_{k}\cos(k\omega t)+b_{k}\sin(k\omega t)].$

Ist $f$ eine stetig differenzierbare periodische Funktion, so gilt für alle $t$:

$f(t)=\lim _{n\to \infty }p_{n}(t).$

Für $f\in L^{2}(-\pi ,\pi )$ gilt:

$\lim _{n\to \infty }\|p_{n}-f\|=0.$

Komplexe Fourierreihe

Fourier-Polynom:

$p_{n}(t)=\sum _{k=-n}^{n}c_{k}\,\mathrm {e} ^{k\mathrm {i} \omega t}.$

Abstrakte Darstellung: Für $f\in L^{2}(-\pi ,\pi )$ gilt:

$f=\sum _{b\in B}\langle b,f\rangle \,b.$

$B$: Orthonormalbasis des Hilbertraums $L^{2}(-\pi ,\pi )$.