Formelsammlung Mathematik: Fourierreihen

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Formelsammlung Mathematik

Fourier-Skalarprodukt[Bearbeiten]

Seien periodische Funktionen mit Periodendauer . Definition:

.

Bemerkung: Im Fall einer rein reellen Funktion ist die Konjugation wirkungslos und kann somit entfallen.

Diese Operation ist ein Skalarprodukt auf dem Hilbertraum .

Manchmal ist die Interpretation von nicht zeitartig. In diesem Fall bieten sich auch die alternativen Bezeichnungen und an. Einige Autoren verwenden die Substitution anstelle der Festlegung oder anstelle von .

Meistens ist und . In diesem Fall gilt

.

Das Skalarprodukt induziert die Fourier-Norm

Die Definition des Skalarproduktes ist so gewählt, dass es sich bei um den Effektivwert von handelt.

Die Norm induziert die Fourier-Metrik

.

Fourier-Basis[Bearbeiten]

Die Funktionen

mit bilden die ONB (Orthonormalbasis)

Mit ist die Kreisfrequenz gemeint.

Fourier-Koeffizienten[Bearbeiten]

Reelle Fourier-Koeffizienten[Bearbeiten]

allgemein

Formeln für symmetrische Funktionen:

Bedingung

Die Operationen und sind lineare Funktionale:

Additivität Homogenität

Komplexe Fourier-Koeffizienten[Bearbeiten]

allgemein

Kurz:

.

Bei handelt es sich um ein lineares Funktional. Es gilt

Umrechnung zwischen komplexen und reellen Koeffizienten[Bearbeiten]

reell zu komplex komplex zu reell

Alle Formeln gelten für .

Orthogonalitätsrelationen[Bearbeiten]

Reelle Orthogonalitätsrelationen[Bearbeiten]

Für gilt:

Für gilt:

und

Komplexe Orthogonalitätsrelationen[Bearbeiten]

Für gilt

,

wobei das Kronecker-Delta ist. Kurz:

Fourierreihe[Bearbeiten]

Reelle Fourierreihe[Bearbeiten]

Fourier-Polynom:

Ist eine stetig differenzierbare periodische Funktion, so gilt für alle :

Für gilt:

Komplexe Fourierreihe[Bearbeiten]

Fourier-Polynom:

Abstrakte Darstellung: Für gilt:

: Orthonormalbasis des Hilbertraums .