Formelsammlung Mathematik: Funktionentheorie

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Holomorphe Funktionen

Definition

Definition. Holomorphe Funktion.

Sei $U\subseteq \mathbb {C}$ eine offene Menge und $f\colon U\to \mathbb {C}$. Die Funktion $f$ wird holomorph an der Stelle $z_{0}\in U$ genannt, wenn der Grenzwert

$f'(z_{0}):=\lim _{z\to z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}$

existiert.

Beziehung zur reellen Analysis

Holomorphie-Kriterium (Cauchy-Riemann-Gleichungen).

Das Argument und Bild von $f$ werden nun in Real- und Imaginärteil zerlegt. Das sind die Zerlegungen $z=x+y\mathrm {i}$ und $f(z)=u(x,y)+v(x,y)\mathrm {i}$. Die Funktion $f(z)$ ist genau dann holomorph an der Stelle $z_{0}=x_{0}+y_{0}\mathrm {i}$, wenn bei (x₀, y₀) die partiellen Ableitungen stetig sind und die Cauchy-Riemann-Gleichungen

${\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}},\quad {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}\quad$ bei (x₀, y₀)

gelten.

Interpretation als spezielles Vektorfeld

Auf dem Koordinatenraum wird das Vektorfeld

$\mathbf {v} :=(u,-v)=(v_{x},v_{y})=v_{x}\mathbf {e} _{x}+v_{y}\mathbf {e} _{y}$

definiert. Die Cauchy-Riemann-Gleichungen lassen sich nun als Quellenfreiheit

$0=\langle \nabla ,\mathbf {v} \rangle ={\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}$

und Rotationsfreiheit

$0=\nabla \wedge \mathbf {v} ={\Big (}{\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}{\Big )}\,\mathbf {e} _{x}\wedge \mathbf {e} _{y}$

interpretieren.

Hilfsbegriffe

Für das totale Differential

$\mathrm {d} f={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathrm {d} x+{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathrm {d} y$

gibt es die Umformulierung

$\mathrm {d} f={\frac {\partial f}{\partial z}}\mathrm {d} z+{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}\mathrm {d} {\overline {z}}.$

Hierbei ist $\mathrm {d} z=\mathrm {d} x+\mathrm {i} \,\mathrm {d} y$ und $\mathrm {d} {\overline {z}}=\mathrm {d} x-\mathrm {i} \,\mathrm {d} y$.

Definition. Wirtinger-Operatoren.

Die Ableitungsoperatoren

${\begin{aligned}{\frac {\partial f}{\partial z}}&:={\frac {1}{2}}{\bigg (}{\frac {\partial f}{\partial x}}-\mathrm {i} {\frac {\partial f}{\partial y}}{\bigg )},\\{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}&:={\frac {1}{2}}{\bigg (}{\frac {\partial f}{\partial x}}+\mathrm {i} {\frac {\partial f}{\partial y}}{\bigg )}\end{aligned}}$

mit $\partial f=\partial u+\mathrm {i} \,\partial v$ heißen Wirtinger-Operatoren.

Die Cauchy-Riemann-Gleichungen lassen sich nun zur Gleichung

${\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}(z_{0})=0$

zusammenfassen. Für holomorphe Funktionen reduziert sich das totale Differential wegen der letzten Gleichung auf die Form

$\mathrm {d} f={\frac {\partial f}{\partial z}}\mathrm {d} z.$

Harmonische Funktionen

Definition. Harmonische Funktion.

Sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ eine offene Menge. Eine Funktion $\Phi \colon U\to \mathbb {R}$ heißt harmonisch an der Stelle $(x_{0},y_{0})$, wenn die Laplace-Gleichung $(\Delta \Phi )(x_{0},y_{0})=0$ mit dem Laplace-Operator

$\Delta \Phi :={\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial x\partial x}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial y\partial y}}$

erfüllt ist.

Ist $f=u+v\mathrm {i}$ an der Stelle z₀ holomorph, so sind der Realteil u und der Imaginärteil v an der Stelle $(x_{0},y_{0})=(\operatorname {Re} z_{0},\operatorname {Im} z_{0})$ harmonisch. Das heißt es gilt

$(\Delta u)(x_{0},y_{0})=0,\quad (\Delta v)(x_{0},y_{0})=0.$

Ist eine Funktion u auf einem einfach zusammenhängenden Gebiet harmonisch, so lässt sich stets eine harmonische Funktion v finden, so dass $f=u+v\mathrm {i}$ holomorph ist. Die Funktion v ist bis auf eine additive reelle Konstante c eindeutig bestimmt. Das heißt, v darf auch durch v+c ersetzt werden.

Die Funktion v wird die harmonisch Konjugierte zu u genannt. An jeder Stelle (x₀, y₀) treffen die Linien

${\begin{aligned}&\{(x,y)\mid u(x,y)=u(x_{0},y_{0})\},\\&\{(x,y)\mid v(x,y)=v(x_{0},y_{0})\}\end{aligned}}$

senkrecht aufeinander.

Wegintegrale

Integral einer komplexwertigen Funktion

Für $f\colon [a,b]\to \mathbb {C}$ mit $f=u+\mathrm {i} v$ ist

$\int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t=\int _{a}^{b}u(t)\,\mathrm {d} t+\mathrm {i} \int _{a}^{b}v(t)\,\mathrm {d} t,$

wenn u und v integrierbar sind.

Wegintegral

Definition. Kurvenintegral.

Sei $G\subseteq \mathbb {C}$ ein Gebiet und $\gamma \colon [a,b]\to G$ ein (zumindest stückweise) stetig differenzierbarer Weg.

Für $f\colon G\to \mathbb {C}$ wird

$\int _{\gamma }f(z)\,\mathrm {d} z:=\int _{a}^{b}f(\gamma (t))\,\gamma '(t)\,\mathrm {d} t$

das Kurvenintegral von $f$ entlang von $\gamma$ genannt.

Integralsatz von Cauchy

Integralsatz von Cauchy.

Ist G ein einfach zusammenhängendes Gebiet und $f\colon G\to \mathbb {C}$ holomorph, so gilt für jeden Weg $\gamma$ von $\gamma (a)$ nach $\gamma (b)$ die Formel

$\int _{\gamma }f(z)\,\mathrm {d} z=F(\gamma (b))-F(\gamma (a)),$

wobei die Funktion F nicht vom gewählten Weg abhängig ist.

Außerdem ist F eine Stammfunktion zu $f$, das heißt $F'(z)=f(z)$ ist für jedes $z\in G$ gültig.

Sind die Voraussetzungen für den Integralsatz erfüllt, dann motiviert Wegunabhängigkeit die Definition

$\int _{z_{1}}^{z_{2}}f(z)\,\mathrm {d} z:=F(z_{2})-F(z_{1}),$

bei der auf Wege gänzlich verzichtet wird.