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Formelsammlung Mathematik: Grenzwert einer Funktion

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Formelsammlung Mathematik

Funktionen in einer Variablen[Bearbeiten]

Hilfsbegriffe[Bearbeiten]

Umgebungen[Bearbeiten]

Definition. Epsilon-Umgebung.

Die Menge

heißt (offene) Epsilon-Umgebung von p.

Häufungspunkte[Bearbeiten]

Definition. Häufungspunkt.

Sei und . Man nennt p genau dann einen Häufungspunkt, wenn es eine Folge mit gibt, die erfüllt.

Eine alternative äquivalente Definition lautet: Man nennt p genau dann einen Häufungspunkt, wenn

.

Ein Punkt p ist genau dann ein Häufungspunkt von M, wenn gilt.

Für den Abschluss gilt:

Auch für gilt:

Die Operation fügt der Menge M ihren Rand hinzu. Die Operation

tut das selbe, entfernt dabei aber alle isolierten Punkte. Isolierte Punkte, das sind solche Punkte von M, die eine hinreichend kleine Epsilon-Umgebung besitzen, in der sie allein sind.

Definition[Bearbeiten]

Definition mit Hilfe von Folgen[Bearbeiten]

Definition. Grenzwert einer Funktion.

Sei mit . Sei p ein Häufungspunkt von D.

Es gilt genau dann, wenn für alle Folgen mit und gilt: .


Definition. Linkseitiger Grenzwert einer Funktion.

Sei mit . Sei p ein Häufungspunkt von .

Es gilt genau dann, wenn für alle Folgen mit und gilt: .


Definition. Rechtsseitiger Grenzwert einer Funktion.

Sei mit . Sei p ein Häufungspunkt von .

Es gilt genau dann, wenn für alle Folgen mit und gilt: .


Definition. Grenzwert einer Funktion für eine gegen plus unendlich divergierende Stelle.

Sei , wobei D nach oben unbeschränkt ist.

Es gilt genau dann, wenn für alle Folgen mit und gilt: .


Definition. Grenzwert einer Funktion für eine gegen minus unendlich divergierende Stelle.

Sei , wobei D nach unten unbeschränkt ist.

Es gilt genau dann, wenn für alle Folgen mit und gilt: .

Die Definitionen sind zu den Epsilon-Delta-Definitionen äquivalent.

Epsilon-Delta-Definition[Bearbeiten]

Definition. Grenzwert einer Funktion.

Sei mit . Sei p ein Häufungspunkt von D.

Es gilt genau dann, wenn

Beschrieben über offene Umgebungen lautet die Bedingung:

.


Grenzwertsätze[Bearbeiten]

Satz. Grenzwertsätze.

Sei , sei und .

Ist und mit , dann gilt auch:

Ist zusätzlich , dann gilt auch:

Regel von de l'Hospital[Bearbeiten]

Satz. Regel von de l’Hospital.

Seien differenzierbare Funktionen. Sei außerdem für jedes .

Wenn

oder

ist, gilt

wobei auch oder sein kann.

Die Regel gilt auch für und auch wenn oder ist.

Bemerkung: Die Grenzwerte müssen einseitg betrachtet werden, da die Funktionen außerhalb von (ab) nicht definiert sind.

Funktionen in mehreren Variablen[Bearbeiten]

Definition[Bearbeiten]

Definition mit Hilfe von Folgen[Bearbeiten]

Definition. Grenzwert einer Funktion.

Seien X, Y metrische Räume, z. B. und mit Betragsmetrik und speziell s=1.

Sei und sei p ein Häufungspunkt von X.

Es gilt genau dann, wenn für alle Folgen mit und gilt: .

Bemerkungen:

  1. Der Punkt p muss nicht unbedingt in X liegen.
  2. Der Grenzwert L muss nicht unbedingt zur Bildmenge von gehören.
  3. Manchmal ist auch .

Epsilon-Delta-Definition[Bearbeiten]

Definition. Grenzwert einer Funktion.

Seien X, Y metrische Räume. Sei . Sei p ein Häufungspunkt von X.

Es gilt genau dann, wenn

Beschrieben über offene Umgebungen lautet die Bedingung:


Grenzwertsätze[Bearbeiten]

Satz. Grenzwertsätze.

Sei X ein metrischer Raum und E ein normierter Raum. Sei oder . Sei und .

Ist und sowie mit und , dann gilt auch: