Formelsammlung Mathematik: Grenzwert einer Funktion
↑ Formelsammlung Mathematik |
Funktionen in einer Variablen
[Bearbeiten]Hilfsbegriffe
[Bearbeiten]Umgebungen
[Bearbeiten]Definition. Epsilon-Umgebung.
Die Menge
heißt (offene) Epsilon-Umgebung von p.
Häufungspunkte
[Bearbeiten]Definition. Häufungspunkt.
Sei und . Man nennt p genau dann einen Häufungspunkt, wenn es eine Folge mit gibt, die erfüllt.
Eine alternative äquivalente Definition lautet: Man nennt p genau dann einen Häufungspunkt, wenn
- .
Ein Punkt p ist genau dann ein Häufungspunkt von M, wenn gilt.
Für den Abschluss gilt:
Auch für gilt:
Die Operation fügt der Menge M ihren Rand hinzu. Die Operation
tut das selbe, entfernt dabei aber alle isolierten Punkte. Isolierte Punkte, das sind solche Punkte von M, die eine hinreichend kleine Epsilon-Umgebung besitzen, in der sie allein sind.
Definition
[Bearbeiten]Definition mit Hilfe von Folgen
[Bearbeiten]Definition. Grenzwert einer Funktion.
Sei mit . Sei p ein Häufungspunkt von D.
Es gilt genau dann, wenn für alle Folgen mit und gilt: .
Definition. Linkseitiger Grenzwert einer Funktion.
Sei mit . Sei p ein Häufungspunkt von .
Es gilt genau dann, wenn für alle Folgen mit und gilt: .
Definition. Rechtsseitiger Grenzwert einer Funktion.
Sei mit . Sei p ein Häufungspunkt von .
Es gilt genau dann, wenn für alle Folgen mit und gilt: .
Definition. Grenzwert einer Funktion für eine gegen plus unendlich divergierende Stelle.
Sei , wobei D nach oben unbeschränkt ist.
Es gilt genau dann, wenn für alle Folgen mit und gilt: .
Definition. Grenzwert einer Funktion für eine gegen minus unendlich divergierende Stelle.
Sei , wobei D nach unten unbeschränkt ist.
Es gilt genau dann, wenn für alle Folgen mit und gilt: .
Die Definitionen sind zu den Epsilon-Delta-Definitionen äquivalent.
Epsilon-Delta-Definition
[Bearbeiten]Definition. Grenzwert einer Funktion.
Sei mit . Sei p ein Häufungspunkt von D.
Es gilt genau dann, wenn
Beschrieben über offene Umgebungen lautet die Bedingung:
- .
Grenzwertsätze
[Bearbeiten]Satz. Grenzwertsätze.
Sei , sei und .
Ist und mit , dann gilt auch:
Ist zusätzlich , dann gilt auch:
Regel von de l'Hospital
[Bearbeiten]Satz. Regel von de l’Hospital.
Seien differenzierbare Funktionen. Sei außerdem für jedes .
Wenn
oder
ist, gilt
wobei auch oder sein kann.
Die Regel gilt auch für und auch wenn oder ist.
Bemerkung: Die Grenzwerte müssen einseitg betrachtet werden, da die Funktionen außerhalb von (a, b) nicht definiert sind.
Funktionen in mehreren Variablen
[Bearbeiten]Definition
[Bearbeiten]Definition mit Hilfe von Folgen
[Bearbeiten]Definition. Grenzwert einer Funktion.
Seien X, Y metrische Räume, z. B. und mit Betragsmetrik und speziell s=1.
Sei und sei p ein Häufungspunkt von X.
Es gilt genau dann, wenn für alle Folgen mit und gilt: .
Bemerkungen:
- Der Punkt p muss nicht unbedingt in X liegen.
- Der Grenzwert L muss nicht unbedingt zur Bildmenge von gehören.
- Manchmal ist auch .
Epsilon-Delta-Definition
[Bearbeiten]Definition. Grenzwert einer Funktion.
Seien X, Y metrische Räume. Sei . Sei p ein Häufungspunkt von X.
Es gilt genau dann, wenn
Beschrieben über offene Umgebungen lautet die Bedingung:
Grenzwertsätze
[Bearbeiten]Satz. Grenzwertsätze.
Sei X ein metrischer Raum und E ein normierter Raum. Sei oder . Sei und .
Ist und sowie mit und , dann gilt auch: