Formelsammlung Mathematik: Gruppentheorie

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Grundbegriffe

Gruppen

Definition. Gruppe.

Ein Paar $(G,*)$ heißt Gruppe, wenn folgende Axiome erfüllt sind:

Abgeschlossenheit

Es ist ${*}\colon G\times G\to G$. D. h. die binäre Operation $*$ führt nicht aus $G$ heraus.

Assoziativität

Für alle $a,b,c\in G$ gilt $a*(b*c)=(a*b)*c$.

Existenz eines neutralen Elements

Es gibt ein $e\in G$, so dass $e*a=a*e=a$ für alle $a\in G$ gilt.

Inverse Elemente

Zu jedem $a\in G$ gibt es ein $b\in G$, so dass $a*b=b*a=e$ gilt. Man schreibt $a^{-1}=b$.

Definition. Kommutative Gruppe.

Eine Gruppe heißt kommutativ oder abelsch, wenn für alle $a,b\in G$ gilt:

$a*b=b*a.$

Anstelle von $a*b$ schreibt man meistens $ab$.

In der additiven Schreibweise schreibt man $a+b$ anstelle von $ab$ und $na$ anstelle von $a^{n}$. Die additive Schreibweise findet bevorzugt bei abelschen Gruppen Verwendung.

Untergruppen

Definition. Untergruppe.

Ist $(G,*)$ eine Gruppe, so wird eine Teilmenge $H\subseteq G$ als Untergruppe von $G$ bezeichnet, wenn $H$ selbst wieder eine Gruppe bezüglich der Operation $*$ ist. Man schreibt dann $H\leq G$.

Untergruppenkriterium.

Sei G eine Gruppe und H eine Teilmenge von G. Genau dann ist H eine Untergruppe von G, wenn gilt:

1. H ist nichtleer,
2. $a,b\in H$ zieht immer $ab\in H$ nach sich,
3. $a\in H$ zieht immer $a^{-1}\in H$ nach sich.

Untergruppenkriterium.

Sei G eine Gruppe und H eine Teilmenge von G. Genau dann ist H eine Untergruppe von G, wenn gilt:

1. H ist nichtleer,
2. $a,b\in H$ zieht immer $ab^{-1}\in H$ nach sich.

Untergruppenkriterium für endliche Teilmengen.

Sei G eine Gruppe und H eine endliche Teilmenge von G. Genau dann ist H eine Untergruppe von G, wenn gilt:

1. H ist nichtleer,
2. $a,b\in H$ zieht immer $ab\in H$ nach sich zieht.

Ordnung eines Elements

Definition. Ordnung eines Elements.

Die Ordnung eines Gruppenelements $g\in G$ ist die kleinste positive Zahl $n$, so dass $g^{n}=e$ gilt:

$\operatorname {ord} (g):=\operatorname {min} \{n{\in }\mathbb {Z} \mid n\geq 1\wedge g^{n}=e\}.$

Gruppenexponent

Definition. Exponent.

Gruppenexponent:

$\operatorname {Exp} (G):=\min\{n\in \mathbb {N} \mid \forall g\in G\colon \;g^{n}=e\}.$

Es gilt:

1. $\operatorname {Exp} (G)=\operatorname {kgV} \{\operatorname {ord} (g)\mid g\in G\}$
2. $\exists k\in \mathbb {N} \colon \;\operatorname {Exp} (G)=k\,|G|$

Zentralisator

Definition. Zentralisator eines Elements.

Unter dem Zentralisator $Z_{G}(x)$ eines Gruppenelements $x\in G$ versteht man die Menge der Gruppenelemente, welche mit $x$ kommutieren:

$Z_{G}(x):=\{g\in G\mid gx=xg\}.$

Definition. Zentralisator einer Teilmenge.

Unter dem Zentralisator $Z_{G}(U)$ einer Teilmenge $U\subseteq G$ versteht man die Menge der Gruppenelemente, welche jeweils mit allen $u\in U$ kommutieren:

$Z_{G}(U):=\{g\in G\mid \forall u{\in }U\colon \,gu=ug\}.$

Der Zentralisator $Z_{G}(x)$ ist immer eine Untergruppe von G.

Zentrum

Definition. Zentrum.

Unter dem Zentrum $Z(G)$ einer Gruppe $G$ versteht man die Menge der Gruppenelemente, welche mit allen anderen Gruppenelementen kommutieren:

$Z(G):=\{g\in G\mid \forall u{\in }G\colon \,gu=ug\}$

bzw.

$Z(G):=Z_{G}(G).$

Das Zentrum $Z(G)$ ist immer eine Untergruppe von G.

Produkt

Satz und Definition. Direktes Produkt von Gruppen.

Für zwei Gruppen G und H ist $(G\times H,*)$ mit

$(g_{1},h_{1})*(g_{2},h_{2}):=(g_{1}g_{2},h_{1}h_{2})$

eine Gruppe, welche direktes Produkt von G und H genannt wird.

Das neutrale Element ist $(e_{G},e_{H})$. Das inverse Element zu $(g,h)$ ist $(g^{-1},h^{-1})$.

Für die Ordnung gilt wie für beliebige kartesische Produkte:

$|G\times H|=|G|\cdot |H|.$

Bei unendlichen Gruppen ist Kardinalzahlarithmetik anzuwenden.

Für die Ordnung eines Elements gilt:

$\operatorname {ord} ((g,h))=\operatorname {kgV} (\operatorname {ord} (g),\operatorname {ord} (h))$.

Wenn ord(g) und ord(h) teilerfremd sind, das heißt ggT(ord(g),ord(h))=1, dann gilt:

$\operatorname {ord} ((g,h))=\operatorname {ord} (g)\cdot \operatorname {ord} (h),$

weil für natürliche Zahlen a, b gilt:

$\operatorname {kgV} (a,b)\operatorname {ggT} (a,b)=ab.$

Die Gruppen G und H können in G×H eingebettet werden über die kanonischen Monomorphismen

$\varphi _{1}\colon G\to G\times H,\quad \varphi _{1}(g):=(g,e_{H})$

und

$\varphi _{2}\colon H\to G\times H,\quad \varphi _{2}(h):=(e_{G},h).$

Sei nun $G'=\varphi _{1}(G)$ und $H'=\varphi _{2}(H)$. Sei $P=G\times H$. Es gelten die folgenden drei Eigenschaften:

1. $G'\cap H'$ ist die triviale Gruppe $\{(e_{G},e_{H})\}$,
2. Jedes Element von P ist ein Produkt $gh$ mit $g\in G'$ und $h\in H'$,
3. Jedes Element von G' kommutiert mit jedem von H'.

Sei umgekehrt P ein beliebige Gruppe mit G und H als Untergruppen. Gelten die drei Eigenschaften:

1. $G\cap H$ ist trivial,
2. Jedes Element von P ist ein Produkt $gh$ mit $g\in G$ und $h\in H$,
3. Jedes Element von G kommutiert mit jedem von H,

dann ist P isomorph zu $G\times H$.

Elementare Eigenschaften

Elementare Regeln

Eine Gruppe besitzt nur ein einziges neutrales Element e.

Jedes Gruppenelement a besitzt nur ein einziges inverses Element $a^{-1}$.

In einer Gruppe gilt:

1. $ac=bc\implies a=b$
2. $ca=cb\implies a=b$
3. $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$

Satz von Lagrange

Satz von Lagrange.

Für Gruppen H, G gilt:

$H\leq G\implies |G|=|G/H|\cdot |H|.$

Ist G endlich, dann ist $|H|$ ein Teiler von $|G|$.

Gruppenaktionen

Definitionen

Definition. Linksaktion.

Eine Abbildung $\varphi \colon G\times X\to X$ heißt Gruppenlinksaktion, kurz Aktion, wenn

$\forall a,b\in G,\,x\in X\colon \;\varphi (a,\varphi (b,x))=\varphi (ab,x)$

und

$\varphi (e,x)=x$

gilt, wobei e das neutrale Element von G sein soll.

Anstelle von $\varphi (g,x)$ schreibt man üblicherweise $gx$.

Definition. Bahn (Orbit).

Bahn (Orbit):

$Gx:=\{gx\mid g\in G\}.$

Definition. Fixgruppe (Stabilisator).

Fixgruppe (Stabilisator):

$G_{x}:=\{g\in G\mid gx=x\}.$

Definition. Fixpunktmenge (punktweise invariante Menge).

Fixpunktmenge (punktweise invariante Menge):

$X^{g}:=\{x\in X\mid gx=x\}.$

Bahnsatz

Bahnsatz.

Für jedes $x\in X$ ist

$f\colon \,G/G_{x}\to Gx,\;\;f(gG_{x}):=gx$

eine wohldefinierte Bijektion.

Bemerkung: Mit wohldefiniert meint man bei einer Berechnung mit Äquivalenzklassen immer, dass das Ergebnis nicht von der Wahl des Repräsentanten abhängt, denn sonst wäre es nur eine Relation, aber keine Abbildung. Hier ist g ein Repräsentant der Linksnebenklasse $gG_{x}$.

Bahnformel.

Für eine endliche Gruppe $G$ gilt $|G/G_{x}|=|Gx|$ und die Bahnformel:

$|G|=|Gx|\cdot |G_{x}|.$

Lemma von Burnside

Lemma von Burnside.

Für eine endliche Gruppe $G$ gilt

$|X/G|={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}|X^{g}|.$

Symmetrische Gruppe

Satz und Definition. Symmetrische Gruppe.

Für eine Menge X bildet die Menge aller bijektiven Selbstabbildungen $X\to X$ bezüglich der Verkettung eine Gruppe, die symmetrische Gruppe S(X) genannt wird.

Satz von Cayley.

Jede Gruppe ist isomorph zu einer Untergruppe einer symmetrischen Gruppe.

Ist X eine endliche Menge, dann wird die endliche symmetrische Gruppe S(X) auch als Gruppe aller Permutationen von X bezeichnet. Die Untergruppen heißen Permutationsgruppen.

Eine Gruppenaktion $\varphi \colon G\times X\to X$ lässt sich auch als Homomorphismus $\varphi \colon G\to S(X)$ auffassen. Zunächst wird $\varphi \colon G\times X\to X$ mittels Currying zu $\varphi \colon G\to (X\to X)$ transformiert. Anstelle von $\varphi (a,x)$ kann also auch $\varphi (a)(x)$ geschrieben werden. Nun gilt bei einem Homomorphismus aber

$\varphi (ab)=\varphi (a)\circ \varphi (b)$

und $\varphi (e)=\operatorname {id}$. Es gilt also

$\varphi (ab)(x)=\varphi (a)(\varphi (b)(x)).$

Dies entspricht genau der Definition der Gruppenaktion:

$\varphi (ab,x)=\varphi (a,\varphi (b,x)).$

Für ein strukturiertes Objekt X mit strukturerhaltenden Automorphismen ist die Automorphismengruppe Aut(X) eine Untergruppe von S(X). Man kann auch S(X) als eine Automorphismengruppe betrachten, wenn Bijektionen als die Isomorphismen bezüglich der Erhaltung der Kardinalität aufgefasst werden. Genauer: Die Bijektionen sind die Isomorphismen der Kategorie Set der Mengen.

Homomorphismen

Definition

Definition. Gruppenhomomorphismus.

Seien $(G,*)$ und $(G',*')$ Gruppen. Eine Abbildung

$\varphi \colon G\to G'$

heißt Gruppenhomomorphismus, wenn für alle $a,b\in G$ gilt

$\varphi (a*b)=\varphi (a)*'\varphi (b).$

Hierzu gibt es die folgenden Sprechweisen:

• Ein injektiver Homomorphismus wird Monomorphismus genannt.
• Ein surjektiver Homomorphismus wird Epimorphismus genannt.
• Ein bijektiver Homomorphismus wird Isomorphismus genannt.
• Ein Endomorphismus ist eine Selbstabbildung $\varphi \colon G\to G$, die ein Homomorphismus ist.
• Ein bijektiver Endomorphismus wird Automorphismus genannt.

Regeln

Ist $\varphi \colon G\to G'$ ein Homomorphismus und $a\in G$, dann gilt:

$\varphi (a^{-1})=\varphi (a)^{-1}.$

Außerdem gilt

$\varphi (e)=e',$

wobei mit e das neutrale Element von G und mit e' das neutrale Element von G' gemeint ist.

Kern und Bild

Definition. Kern.

Unter dem Kern eines Homomorphismus $\varphi \colon G\to G'$ versteht man die Urbildmenge

$\operatorname {Kern} (\varphi ):=\varphi ^{-1}(\{e'\})=\{g\mid \varphi (g)=e'\},$

wobei mit e' das neutrale Element von G' gemeint ist.

Der Kern ist stets eine Untergruppe von G, genauer ein Normalteiler von G. Ein Homomorphismus ist genau dann injektiv, wenn er einen trivialen Kern besitzt. Mit trivial ist Kern(φ)={e} gemeint, wobei {e} die triviale Untergruppe von G ist, die nur das neutrale Element enthält.

Das Bild φ(G) ist stets eine Untergruppe von G'.

Isomorphie

Definition. Isomorphie.

Zwei Gruppen G, H heißen isomorph, kurz $G\simeq H$, wenn ein Isomorphismus $\varphi \colon G\to H$ existiert.

Die Umkehrabbildung eines Isomorphismus ist auch ein Isomorphismus.

Einbettungen

Definition. Einbettung.

Man sagt eine Gruppe H ist in G eingebettet, wenn ein Monomorphismus $\varphi \colon H\to G$ existiert. Man schreibt auch $\varphi \colon H\hookrightarrow G$ und bezeichnet diesen Monomorphismus als Einbettung.

Eine Einbettung verallgemeinert das Konzept der Untergruppe: Einerseits ist $H\simeq \varphi (H)$, da φ bei Einschränkung der Zielmenge auf die Bildmenge zu einem Isomorphismus wird. Andererseits gilt $\varphi (H)\leq G$.

Automorphismengruppe

Satz und Definition. Automorphismengruppe.

Für ein strukturiertes Objekt X bildet die Menge aller Automorphismen auf X bezüglich der Verkettung eine Gruppe, welche als Automorphismengruppe Aut(X) bezeichnet wird.

Zyklische Gruppen

Definition

Definition. Erzeuger (Generator), Hülle.

Sei G eine Gruppe und $g\in G$. Man nennt g den Erzeuger (Generator) der Hülle:

$\langle g\rangle :=\{g^{n}\mid n\in \mathbb {Z} \}.$

Für jedes $g\in G$ ist $\langle g\rangle$ eine Untergruppe von $G$.

Definition. Zyklische Gruppe.

Eine Gruppe $G$ heißt zyklisch, wenn es ein $g\in G$ gibt, so dass $G=\langle g\rangle$ ist.

Eigenschaften

Jede unendliche zyklische Gruppe ist isomorph zur Gruppe $(\mathbb {Z} ,+)$.

Jede endliche zyklische Gruppe der Ordnung $n$ ist isomorph zur Restklassengruppe $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ,+)$.

Es gilt:

$\operatorname {ggT} (m,n)=1\implies \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \;\simeq \;\mathbb {Z} /mn\mathbb {Z} .$

Prime Restklassengruppe

Definition. Prime Restklassengruppe.

Prime Restklassengruppe:

$(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{*}:=\{x\in \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \mid \operatorname {ggT} (x,n)=1\}$

bzw.

$(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{*}:=\{x\in \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \mid \langle x\rangle =\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \}.$

Es gilt $\varphi (n)=|(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{*}|$, wobei $\varphi (n)$ die eulersche Phi-Funktion ist.

Es gilt $\lambda (n)=\operatorname {Exp} ((\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{*})$, wobei $\lambda (n)$ die Carmichael-Funktion ist.

Die Gruppe $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{*}$ ist genau dann zyklisch, wenn $\varphi (n)=\lambda (n)$.