Formelsammlung Mathematik: Gruppentheorie

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Formelsammlung Mathematik

Grundbegriffe[Bearbeiten]

Gruppen[Bearbeiten]

Definition. Gruppe.

Ein Paar heißt Gruppe, wenn folgende Axiome erfüllt sind:

Abgeschlossenheit
Es ist . D. h. die binäre Operation führt nicht aus heraus.
Assoziativität
Für alle gilt .
Existenz eines neutralen Elements
Es gibt ein , so dass für alle gilt.
Inverse Elemente
Zu jedem gibt es ein , so dass gilt. Man schreibt .


Definition. Kommutative Gruppe.

Eine Gruppe heißt kommutativ oder abelsch, wenn für alle gilt:

Anstelle von schreibt man meistens .

In der additiven Schreibweise schreibt man anstelle von und anstelle von . Die additive Schreibweise findet bevorzugt bei abelschen Gruppen Verwendung.

Untergruppen[Bearbeiten]

Definition. Untergruppe.

Ist eine Gruppe, so wird eine Teilmenge als Untergruppe von bezeichnet, wenn selbst wieder eine Gruppe bezüglich der Operation ist. Man schreibt dann .


Untergruppenkriterium.

Sei G eine Gruppe und H eine Teilmenge von G. Genau dann ist H eine Untergruppe von G, wenn gilt:

  1. H ist nichtleer,
  2. zieht immer nach sich,
  3. zieht immer nach sich.


Untergruppenkriterium.

Sei G eine Gruppe und H eine Teilmenge von G. Genau dann ist H eine Untergruppe von G, wenn gilt:

  1. H ist nichtleer,
  2. zieht immer nach sich.


Untergruppenkriterium für endliche Teilmengen.

Sei G eine Gruppe und H eine endliche Teilmenge von G. Genau dann ist H eine Untergruppe von G, wenn gilt:

  1. H ist nichtleer,
  2. zieht immer nach sich zieht.


Ordnung eines Elements[Bearbeiten]

Definition. Ordnung eines Elements.

Die Ordnung eines Gruppenelements ist die kleinste positive Zahl , so dass gilt:

Gruppenexponent[Bearbeiten]

Definition. Exponent.

Gruppenexponent:

Es gilt:

Zentralisator[Bearbeiten]

Definition. Zentralisator eines Elements.

Unter dem Zentralisator eines Gruppenelements versteht man die Menge der Gruppenelemente, welche mit kommutieren:

Definition. Zentralisator einer Teilmenge.

Unter dem Zentralisator einer Teilmenge versteht man die Menge der Gruppenelemente, welche jeweils mit allen kommutieren:

Der Zentralisator ist immer eine Untergruppe von G.

Zentrum[Bearbeiten]

Definition. Zentrum.

Unter dem Zentrum einer Gruppe versteht man die Menge der Gruppenelemente, welche mit allen anderen Gruppenelementen kommutieren:

bzw.

Das Zentrum ist immer eine Untergruppe von G.

Produkt[Bearbeiten]

Satz und Definition. Direktes Produkt von Gruppen.

Für zwei Gruppen G und H ist mit

eine Gruppe, welche direktes Produkt von G und H genannt wird.

Das neutrale Element ist . Das inverse Element zu ist .

Für die Ordnung gilt wie für beliebige kartesische Produkte:

Bei unendlichen Gruppen ist Kardinalzahlarithmetik anzuwenden.

Für die Ordnung eines Elements gilt:

.

Wenn ord(g) und ord(h) teilerfremd sind, das heißt ggT(ord(g),ord(h))=1, dann gilt:

weil für natürliche Zahlen ab gilt:

Die Gruppen G und H können in G×H eingebettet werden über die kanonischen Monomorphismen

und

Sei nun und . Sei . Es gelten die folgenden drei Eigenschaften:

  1. ist die triviale Gruppe ,
  2. Jedes Element von P ist ein Produkt mit und ,
  3. Jedes Element von G' kommutiert mit jedem von H'.

Sei umgekehrt P ein beliebige Gruppe mit G und H als Untergruppen. Gelten die drei Eigenschaften:

  1. ist trivial,
  2. Jedes Element von P ist ein Produkt mit und ,
  3. Jedes Element von G kommutiert mit jedem von H,

dann ist P isomorph zu .

Elementare Eigenschaften[Bearbeiten]

Elementare Regeln[Bearbeiten]

Ein Gruppe besitzt nur ein einziges neutrales Element e.

Jedes Gruppenelement a besitzt nur ein einziges inverses Element .

In einer Gruppe gilt:

Satz von Lagrange[Bearbeiten]

Satz von Lagrange.

Für Gruppen H, G gilt:

Ist G endlich, dann ist ein Teiler von .

Gruppenaktionen[Bearbeiten]

Definitionen[Bearbeiten]

Definition. Linksaktion.

Eine Abbildung heißt Gruppenlinksaktion, kurz Aktion, wenn

und

gilt, wobei e das neutrale Element von G sein soll.

Anstelle von schreibt man üblicherweise .

Definition. Bahn (Orbit).

Bahn (Orbit):

Definition. Fixgruppe (Stabilisator).

Fixgruppe (Stabilisator):

Definition. Fixpunktmenge (punktweise invariante Menge).

Fixpunktmenge (punktweise invariante Menge):

Bahnsatz[Bearbeiten]

Bahnsatz.

Für jedes ist

eine wohldefinierte Bijektion.

Bemerkung: Mit wohldefiniert meint man bei einer Berechnung mit Äquivalenzklassen immer, dass das Ergebnis nicht von der Wahl des Repräsentanten abhängt, denn sonst wäre es nur eine Relation, aber keine Abbildung. Hier ist g ein Repräsentant der Linksnebenklasse .

Bahnformel.

Für eine endliche Gruppe gilt und die Bahnformel:

Lemma von Burnside[Bearbeiten]

Lemma von Burnside.

Für eine endliche Gruppe gilt

Symmetrische Gruppe[Bearbeiten]

Satz und Definition. Symmetrische Gruppe.

Für eine Menge X bildet die Menge aller bijektiven Selbstabbildungen bezüglich der Verkettung eine Gruppe, die symmetrische Gruppe S(X) genannt wird.

Satz von Cayley.

Jede Gruppe ist isomorph zu einer Untergruppe einer symmetrischen Gruppe.

Ist X eine endliche Menge, dann wird die endliche symmetrische Gruppe S(X) auch als Gruppe aller Permutationen von X bezeichnet. Die Untergruppen heißen Permutationsgruppen.

Eine Gruppenaktion lässt sich auch als Homomorphismus auffassen. Zunächst wird mittels Currying zu transformiert. Anstelle von kann also auch geschrieben werden. Nun gilt bei einem Homomorphismus aber

und . Es gilt also

Dies entspricht genau der Definition der Gruppenaktion:

Für ein strukturiertes Objekt X mit strukturerhaltenden Automorphismen ist die Automorphismengruppe Aut(X) eine Untergruppe von S(X). Man kann auch S(X) als eine Automorphismengruppe betrachten, wenn Bijektionen als die Isomorphismen bezüglich der Erhaltung der Kardinalität aufgefasst werden. Genauer: Die Bijektionen sind die Isomorphismen der Kategorie Set der Mengen.

Homomorphismen[Bearbeiten]

Definition[Bearbeiten]

Definition. Gruppenhomomorphismus.

Seien und Gruppen. Eine Abbildung

heißt Gruppenhomomorphismus, wenn für alle gilt

Hierzu gibt es die folgenden Sprechweisen:

  • Ein injektiver Homomorphismus wird Monomorphismus genannt.
  • Ein surjektiver Homomorphismus wird Epimorphismus genannt.
  • Ein bijektiver Homomorphismus wird Isomorphismus genannt.
  • Ein Endomorphismus ist eine Selbstabbildung , die ein Homomorphismus ist.
  • Ein bijektiver Endomorphismus wird Automorphismus genannt.

Regeln[Bearbeiten]

Ist ein Homomorphismus und , dann gilt:

Außerdem gilt

wobei mit e das neutrale Element von G und mit e' das neutrale Element von G' gemeint ist.

Kern und Bild[Bearbeiten]

Definition. Kern.

Unter dem Kern eines Homomorphismus versteht man die Urbildmenge

wobei mit e' das neutrale Element von G' gemeint ist.

Der Kern ist stets eine Untergruppe von G, genauer ein Normalteiler von G. Ein Homomorphismus ist genau dann injektiv, wenn er einen trivialen Kern besitzt. Mit trivial ist Kern(φ)={e} gemeint, wobei {e} die triviale Untergruppe von G ist, die nur das neutrale Element enthält.

Das Bild φ(G) ist stets eine Untergruppe von G'.

Isomorphie[Bearbeiten]

Definition. Isomorphie.

Zwei Gruppen G, H heißen isomorph, kurz , wenn ein Isomorphismus existiert.

Die Umkehrabbildung eines Isomorphismus ist auch ein Isomorphismus.

Einbettungen[Bearbeiten]

Definition. Einbettung.

Man sagt eine Gruppe H ist in G eingebettet, wenn ein Monomorphismus existiert. Man schreibt auch und bezeichnet diesen Monomorphismus als Einbettung.

Eine Einbettung verallgemeinert das Konzept der Untergruppe: Einerseits ist , da φ bei Einschränkung der Zielmenge auf die Bildmenge zu einem Isomorphismus wird. Andererseits gilt .

Automorphismengruppe[Bearbeiten]

Satz und Definition. Automorphismengruppe.

Für ein strukturiertes Objekt X bildet die Menge aller Automorphismen auf X bezüglich der Verkettung eine Gruppe, welche als Automorphismengruppe Aut(X) bezeichnet wird.

Zyklische Gruppen[Bearbeiten]

Definition[Bearbeiten]

Definition. Erzeuger (Generator), Hülle.

Sei G eine Gruppe und . Man nennt g den Erzeuger (Generator) der Hülle:

Für jedes ist eine Untergruppe von .

Definition. Zyklische Gruppe.

Eine Gruppe heißt zyklisch, wenn es ein gibt, so dass ist.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Jede unendliche zyklische Gruppe ist isomorph zur Gruppe .

Jede endliche zyklische Gruppe der Ordnung ist isomorph zur Restklassengruppe .

Es gilt:

Prime Restklassengruppe[Bearbeiten]

Definition. Prime Restklassengruppe.

Prime Restklassengruppe:

bzw.

Es gilt , wobei die eulersche Phi-Funktion ist.

Es gilt , wobei die Carmichael-Funktion ist.

Die Gruppe ist genau dann zyklisch, wenn .