Formelsammlung Mathematik: Hyperbelfunktionen

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Definition von Hyperbel- und Winkelfunktionen durch die e-Funktion

$\sin(z)={\frac {e^{\mathrm {i} z}-e^{-\mathrm {i} z}}{2\mathrm {i} }}$	$\sinh(z)={\frac {e^{z}-e^{-z}}{2}}$	$\sin(\mathrm {i} z)=\mathrm {i} \sinh(z)\,$	$\sinh(\mathrm {i} z)=\mathrm {i} \sin(z)\,$
$\cos(z)={\frac {e^{\mathrm {i} z}+e^{-\mathrm {i} z}}{2}}$	$\cosh(z)={\frac {e^{z}+e^{-z}}{2}}$	$\cos(\mathrm {i} z)=\cosh(z)\,$	$\cosh(\mathrm {i} z)=\cos(z)\,$
$\tan(z)={\frac {1}{\mathrm {i} }}\,{\frac {e^{\mathrm {i} z}-e^{-\mathrm {i} z}}{e^{\mathrm {i} z}+e^{-\mathrm {i} z}}}$	$\tanh(z)={\frac {e^{z}-e^{-z}}{e^{z}+e^{-z}}}$	$\tan(\mathrm {i} z)=\mathrm {i} \tanh(z)\,$	$\tanh(\mathrm {i} z)=\mathrm {i} \tan(z)\,$
$\cot(z)=\mathrm {i} \,{\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{e^{iz}-e^{-iz}}}$	$\coth(z)={\frac {e^{z}+e^{-z}}{e^{z}-e^{-z}}}$	$\cot(\mathrm {i} z)={\frac {1}{\mathrm {i} }}\coth(z)\,$	$\coth(\mathrm {i} z)={\frac {1}{\mathrm {i} }}\cot(z)\,$
$\sec(z)={\frac {2}{e^{\mathrm {i} z}+e^{-\mathrm {i} z}}}$	$\operatorname {sech} (z)={\frac {2}{e^{z}+e^{-z}}}$	$\sec(\mathrm {i} z)=\operatorname {sech} (z)$	$\operatorname {sech} (\mathrm {i} z)=\sec(z)$
$\csc(z)={\frac {2\mathrm {i} }{e^{\mathrm {i} z}-e^{-\mathrm {i} z}}}$	$\operatorname {csch} (z)={\frac {2}{e^{z}-e^{-z}}}$	$\csc(\mathrm {i} z)={\frac {1}{\mathrm {i} }}\,\operatorname {csch} (z)$	$\operatorname {csch} (\mathrm {i} z)={\frac {1}{\mathrm {i} }}\,\csc(z)$

Weitere Identitäten mit Hyperbelfunktionen

$\operatorname {csch} (2z)=\coth(z)-\coth(2z)$