Formelsammlung Mathematik: Identitäten: Funktionalgleichung der Dedekindschen Etafunktion

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$\eta \left(-{\frac {1}{\tau }}\right)={\sqrt {i\tau }}\cdot \eta (\tau )$

Beweis

Aus der Formel $\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {1-e^{-2\pi kz}}{1-e^{-2\pi k/z}}}={\frac {e^{{\frac {\pi }{12}}\left(z-{\frac {1}{z}}\right)}}{\sqrt {z}}}$ folgt unmittelbar

${\sqrt {z}}\cdot e^{-{\frac {\pi }{12}}\,z}\,\prod _{k=1}^{\infty }\left(1-e^{-2\pi kz}\right)=e^{-{\frac {\pi }{12}}\cdot {\frac {1}{z}}}\prod _{k=1}^{\infty }\left(1-e^{-2\pi k/z}\right)$.

Nach der Definition $\eta (\tau )=e^{\frac {i\pi \tau }{12}}\,\prod _{k=1}^{\infty }\left(1-e^{2\pi ik\tau }\right)$

lässt sich letzte Gleichung folgendermaßen schreiben:     ${\sqrt {z}}\cdot \eta (iz)=\eta \left(-{\frac {1}{iz}}\right)$

Ersetzt man $iz\,$ durch $\tau \,\,(z=-i\tau )$, so ist ${\sqrt {i\tau }}\cdot \eta (\tau )=\eta \left(-{\frac {1}{\tau }}\right)$.