Formelsammlung Mathematik: Identitäten: Simpsonsche Extraktionsmethode

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Ist $f(z)=\sum _{k\in \mathbb{Z}}{a}_k{z}^k$, so gilt $\sum _{k\in [m{]}_n}{a}_k{z}^k=\frac{1}{n}\sum _{\ell =0}^{n-1}\frac{f({\xi }^{\ell }z)}{{\xi }^{\ell m}}$ mit $\xi =e^{\frac{2\pi i}{n}}$.

Beweis

Aus $f({\xi }^{\ell }z)=\sum _{k\in \mathbb{Z}}{a}_k{\xi }^{\ell k}{z}^k$ folgt $\frac{1}{n}\sum _{\ell =0}^{n-1}\frac{f({\xi }^{\ell }z)}{{\xi }^{\ell m}}=\sum _{k\in \mathbb{Z}}{a}_k\frac{1}{n}\sum _{\ell =0}^{n-1}{\xi }^{\ell (k-m)}{z}^k$.

Und wegen $\frac{1}{n}\sum _{\ell =0}^{n-1}{\xi }^{\ell (k-m)}=\{\begin{array}{ccc}1& \text{falls}& k\in [m{]}_n\\ \\ 0& \text{falls}& k\notin [m{]}_n\end{array}$ ist dies $\sum _{k\in [m{]}_n}{a}_k{z}^k$.