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Formelsammlung Mathematik: Integralrechnung

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Formelsammlung Mathematik
Integraltafel

Stammfunktionen

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Sei ein Intervall und .

Definition. Stammfunktion.

Eine Stammfunktion von ist eine differenzierbare Funktion mit der Eigenschaft:

Jede Stammfunktion von wird auch unbestimmtes Integral von genannt und man schreibt:

Ist eine Stammfunktion von , so auch , wobei eine beliebige Konstante ist.

Integralfunktionen

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Definition. Integralfunktion.

Ist auf Riemann-integrierbar und , so heißt

Integralfunktion von .

Hauptsatz

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Satz. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.

Ist eine stetige Funktion, so ist für jedes die Integralfunktion

eine Stammfunktion von .

Ist eine stetige Funktion und ist eine Stammfunktion von , so gilt:

Rechenregeln

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Elementare Rechenregeln

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Sind auf Riemann-integrierbar, so gilt:

Für jede Funktion, die bei definiert ist, definiert man:

Partielle Integration

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Sind zwei auf stetig differenzierbare Funktionen, so gilt:

Substitutionsregel

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Ist ein Intervall, stetig und stetig differenzierbar, so gilt:

Bei einem Ausdruck der Form

kann wie folgt vorgegangen werden.

Man substituiert und bestimmt bzw. . Nun gilt:

Auf »gut Glück« ergibt sich

Lineare Substitution

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Nach der Substitutionsregel gilt:

Logarithmische Integration

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Ist auf differenzierbar und hat auf keine Nullstellen, so gilt:

.

Eigenschaften von Integralen

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Monotonie

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Sind auf Riemann-integrierbar und gilt für alle , so muss auch

sein. Ist für alle , so gilt speziell

Integration von Winkelfunktionen

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Universalsubstitution

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Die Universalsubstitution (Weierstraß-Substitution) kann bei Integralen der Form

angewendet werden, wobei eine rationale Funktion ist.

Spezialfälle

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Integral der Form Substitution

Mit ist eine rationale Funktion gemeint.