Sei ein Intervall und .
Ist eine Stammfunktion von , so auch , wobei eine beliebige Konstante ist.
Definition. Integralfunktion.
Ist auf Riemann-integrierbar und , so heißt
Integralfunktion von .
Satz. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.
Ist eine stetige Funktion, so ist für jedes die Integralfunktion
eine Stammfunktion von .
Ist eine stetige Funktion und ist eine Stammfunktion von , so gilt:
Sind auf Riemann-integrierbar, so gilt:
Für jede Funktion, die bei definiert ist, definiert man:
Sind zwei auf stetig differenzierbare Funktionen, so gilt:
Ist ein Intervall, stetig und stetig differenzierbar, so gilt:
Bei einem Ausdruck der Form
kann wie folgt vorgegangen werden.
Man substituiert und bestimmt bzw. . Nun gilt:
Auf »gut Glück« ergibt sich
Nach der Substitutionsregel gilt:
Ist auf differenzierbar und hat auf keine Nullstellen, so gilt:
- .
Sind auf Riemann-integrierbar und gilt für alle , so muss auch
sein. Ist für alle , so gilt speziell
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Die Universalsubstitution (Weierstraß-Substitution) kann bei Integralen der Form
angewendet werden, wobei eine rationale Funktion ist.
Integral der Form
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Substitution
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Mit ist eine rationale Funktion gemeint.