Formelsammlung Mathematik: Integralrechnung

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Formelsammlung Mathematik
Integraltafel

Stammfunktionen[Bearbeiten]

Sei ein Intervall und .

Definition. Stammfunktion.

Eine Stammfunktion von ist eine differenzierbare Funktion mit der Eigenschaft:

Jede Stammfunktion von wird auch unbestimmtes Integral von genannt und man schreibt:

Ist eine Stammfunktion von , so auch , wobei eine beliebige Konstante ist.

Integralfunktionen[Bearbeiten]

Definition. Integralfunktion.

Ist auf Riemann-integrierbar und , so heißt

Integralfunktion von .

Hauptsatz[Bearbeiten]

Satz. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.

Ist eine stetige Funktion, so ist für jedes die Integralfunktion

eine Stammfunktion von .

Ist eine stetige Funktion und ist eine Stammfunktion von , so gilt:

Rechenregeln[Bearbeiten]

Elementare Rechenregeln[Bearbeiten]

Sind auf Riemann-integrierbar, so gilt:

Für jede Funktion, die bei definiert ist, definiert man:

Partielle Integration[Bearbeiten]

Sind zwei auf stetig differenzierbare Funktionen, so gilt:

Substitutionsregel[Bearbeiten]

Ist ein Intervall, stetig und stetig differenzierbar, so gilt:

Bei einem Ausdruck der Form

kann wie folgt vorgegangen weden.

Man substituiert und bestimmt bzw. . Nun gilt:

Auf »gut Glück« ergibt sich

Lineare Substitution[Bearbeiten]

Nach der Substitutionsregel gilt:

Logarithmische Integration[Bearbeiten]

Ist auf differenzierbar und hat auf keine Nullstellen, so gilt:

.

Eigenschaften von Integralen[Bearbeiten]

Monotonie[Bearbeiten]

Sind auf Riemann-integierbar und gilt für alle , so muss auch

sein. Ist für alle , so gilt speziell

Integration von Winkelfunktionen[Bearbeiten]

Universalsubstitution[Bearbeiten]

Die Universalsubstitution (Weierstraß-Substitution) kann bei Integralen der Form

angewendet werden, wobei eine rationale Funktion ist.

Spezialfälle[Bearbeiten]

Integral der Form Substitution

Mit ist eine rationale Funktion gemeint.