Formelsammlung Mathematik: Kurven

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Formelsammlung Mathematik

Parameterkurven[Bearbeiten]

Sei ein topologischer Raum und ein reelles Intervall, geschlossen, offen oder halboffen, auch unbeschränkt.

Definition. Parameterkurve, Spur.

Eine stetige Funktion heißt Parameterkurve. Die Bildmenge von heißt Spur.

Definition. Weg, geschlossener Weg, einfacher Weg.

Eine Parameterkurve mit einem kompakten Intervall heißt Weg.

Man nennt den Anfangspunkt und den Endpunkt. Ist , so spricht man von einem geschlossenen Weg.

Ein Weg, dessen Einschränkung auf injektiv ist, heißt einfach, auch doppelpunktfrei oder Jordan-Weg.

Beispiele
Parameterkurve Eigenschaften Spur
Ein einfacher geschlossener Weg. Der Einheitskreis.
Ein geschlossener Weg mit Doppelpunkt. Die Lemniskate von Gerono.

Anstelle von ist auch die Bezeichnung üblich.

Differenzierbare Parameterkurven[Bearbeiten]

Definition. Differenzierbare Parameterkurve, Tangentialvektor.

Die Parameterkurve heißt differenzierbar an der Stelle , wenn der Grenzwert

existiert. Dieser Grenzwert wird als Tangentialvektor bezeichnet.

Eine Parameterkurve ist stetig differenzierbar, wenn die Ableitungsfunktion stetig (also wieder eine Parameterkurve) ist. Die Klasse besteht aus allen stetig differenzierbaren Parameterkurven, die Klasse aus allen zweimal stetig differenzierbaren usw. und besteht aus glatten, d. h. unendlich oft differenzierbaren Parameterkurven.

Eine Parameterkurve ist genau dann differenzierbar, wenn sie komponentenweise differenzierbar ist und für

gilt

Definition. Reguläre Parameterkurve.

Eine differenzierbare Parameterkurve heißt regulär an der Stelle t, wenn gilt. Die Parameterkurve heißt regulär, wenn sie an jeder Stelle regulär ist.

Eine hinreichend oft differenzierbare Parameterkurve heißt regulär an der Stelle t von der Ordnung m, wenn

linear unabhängig ist.

Interpretiert man eine Parameterkurve als eine Bewegung eines Massepunktes mit der Zeit , so handelt es sich beim Tangentialvektor um den Geschwindigkeitsvektor.

Definition. Parametertransformation, Umparametrisierung.

Seien und zwei -Parameterkurven. Ein -Diffeomorphismus heißt Parametertransformation. Gilt , so spricht man von einer Umparametrisierung. Man definiert eine Äquivalenzrelation: Zwei Parameterkurven sind äquivalent, wenn es eine Umparametrisierung gibt, welche die eine in die andere überführt.

Gilt für ein und somit für alle , so heißt orientierungserhaltend. Im Fall nennt man orientierungsumkehrend.

Alle Repräsentanten einer Äquivalenzklasse besitzen die selbe Spur.

Bogenlänge[Bearbeiten]

Definition. Rektifizierbarer Weg, Bogenlänge.

Sei ein metrischer Raum und sei ein Weg. Man nennt rektifizierbar, wenn

endlich ist. Die Zahl heißt Länge des Weges.

Sei ein Weg. Ist c stückweise stetig differenzierbar, dann ist c auch rektifizierbar und für die Länge gilt