Formelsammlung Mathematik: Lineare Differenzengleichungen

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Differenzengleichungen

Gleichungen mit konstanten Koeffizienten[Bearbeiten]

Matrix-Methode[Bearbeiten]

Eine homogene lineare Differenzengleichung m-ter Ordnung lässt als homogenes lineares System erster Ordnung schreiben. Bei einer inhomogenen linearen Differenzengleichung ist dies unter Verwendung homogener Koordinaten ebenfalls möglich.

Differenzengleichung System erster Ordnung Vektor

Jede lineare Differenzengleichung lässt sich wie in der Tabelle beschrieben in die Form

bringen, wobei die Matrix nicht von n abhängig ist, sofern die Koeffizienten konstant sind.

Die Lösung ist

Die Matrixpotenz lässt sich mittels Diagonalisierung/Jordan-Normalform oder dem Satz von Cayley-Hamilton bestimmen.

Bei der Diagonalisierung/Jordan-Normalform mit gilt , wobei die Diagonalmatrix ist oder zumindest aus Jordanblöcken besteht. Die Bestimmung von wird im Abschnitt Matrixfunktionen erläutert.

Nach dem Satz von Cayley-Hamilton gilt z. B. für eine 2×2-Matrix mit Eigenwerten die Formel

mit

bzw.

Im Fall gilt .

Die allgemeine Theorie hierzu wird im Abschnitt Matrixfunktionen beschrieben.