Gleichmächtigkeit ist eine Äquivalenzrelation.
Eine Menge
heißt endlich, wenn
gilt.
Eine Menge
heißt abzählbar unendlich, wenn
gilt.
Eine Menge
heißt überabzählbar, wenn
gilt.
Eine Menge
heißt unendlich,
gilt.
Eine Abzählung der Menge
ist eine Surjektion
.
Reflexivität:
- Es gilt
.
Transitivität:
- Aus
und
folgt
.
Antisymmetrie (Satz von Cantor-Bernstein):
- Aus
und
folgt
.
Totalität (Vergleichbarkeitssatz):
- Es gilt
. Diese Aussage ist äquivalent zum Auswahlaxiom.
D. h.: Die Kardinalzahlen sind total geordnet bezüglich »Repräsentant der ersten Zahl ist höchstens gleichmächtig zu Repräsentant der zweiten Zahl«.
Bzw.: Die Kardinalzahlen sind steng total geordnet bezüglich »Repräsentant der ersten Zahl ist weniger mächtig als Repräsentant der zweiten Zahl«.
Hilberts Hotel.
- Ist
eine endliche Menge und
unendlich, dann gilt
und
.
Reißverschlussargument.
- Sind
abzählbar unendlich, dann ist auch
abzählbar unendlich.
Cantors erstes Diagonalargument.
- Sind
abzählbar unendlich, dann ist auch
abzählbar unendlich.
Cantors zweites Diagonalargument.
- Es gilt
.
Satz von Cantor.
- Es gilt
.
Kardinalität kartesischer Potenzen unendlicher Mengen.
- Für unendliche Mengen gilt
. Diese Aussage ist äquivalent zum Auswahlaxiom.
Es gilt
![{\displaystyle {\begin{aligned}|\mathbb {N} |&=|\mathbb {Z} |=|\mathbb {Q} |<|2^{\mathbb {N} }|=|\mathbb {R} |=|\mathbb {C} |,\\|\mathbb {N} |&=|\mathbb {N} \times \mathbb {N} |=|\mathbb {Z} \times \mathbb {N} |=|\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} |.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3b5fdd2ac33f82001f3ec2d57ea9db4e5448ef6)
Es gilt
![{\displaystyle {\begin{aligned}|\mathbb {N} |&=|\mathbb {N} ^{n}|=|\mathbb {Z} ^{n}|,&&(n\geq 1)\\|\mathbb {R} |&=|\mathbb {R} ^{n}|.&&(n\geq 1)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efc96e699232543091c421e7637393e1c37dfc7f)