Formelsammlung Mathematik: Mächtigkeiten

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Formelsammlung Mathematik

Definitionen[Bearbeiten]

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Gleichmächtigkeit ist eine Äquivalenzrelation.

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Eine Menge heißt endlich, wenn gilt.

Eine Menge heißt abzählbar unendlich, wenn gilt.

Eine Menge heißt überabzählbar, wenn gilt.

Eine Menge heißt unendlich, gilt.

Eine Abzählung der Menge ist eine Surjektion .

Gesetzmäßigkeiten[Bearbeiten]

Reflexivität:

Es gilt .

Transitivität:

Aus und folgt .

Antisymmetrie (Satz von Cantor-Bernstein):

Aus und folgt .

Totalität (Vergleichbarkeitssatz):

Es gilt . Diese Aussage ist äquivalent zum Auswahlaxiom.

D. h.: Die Kardinalzahlen sind total geordnet bezüglich »Repräsentant der ersten Zahl ist höchstens gleichmächtig zu Repräsentant der zweiten Zahl«.

Bzw.: Die Kardinalzahlen sind steng total geordnet bezüglich »Repräsentant der ersten Zahl ist weniger mächtig als Repräsentant der zweiten Zahl«.

Hilberts Hotel.

Ist eine endliche Menge und unendlich, dann gilt und .

Reißverschlussargument.

Sind abzählbar unendlich, dann ist auch abzählbar unendlich.

Cantors erstes Diagonalargument.

Sind abzählbar unendlich, dann ist auch abzählbar unendlich.

Cantors zweites Diagonalargument.

Es gilt .

Satz von Cantor.

Es gilt .

Kardinalität kartesischer Potenzen unendlicher Mengen.

Für unendliche Mengen gilt . Diese Aussage ist äquivalent zum Auswahlaxiom.

Es gilt

Es gilt