Formelsammlung Mathematik: Mächtigkeiten

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Definitionen

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Gleichmächtigkeit ist eine Äquivalenzrelation.

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Eine Menge $M$ heißt endlich, wenn $|M|<|\mathbb {N} |$ gilt.

Eine Menge $M$ heißt abzählbar unendlich, wenn $|M|=|\mathbb {N} |$ gilt.

Eine Menge $M$ heißt überabzählbar, wenn $|\mathbb {N} |<|M|$ gilt.

Eine Menge $M$ heißt unendlich, $|\mathbb {N} |\leq |M|$ gilt.

Eine Abzählung der Menge $M$ ist eine Surjektion $\mathbb {N} \to M$.

Gesetzmäßigkeiten

Reflexivität:

Es gilt $|A|\leq |A|$.

Transitivität:

Aus $|A|\leq |B|$ und $|B|\leq |C|$ folgt $|A|\leq |C|$.

Antisymmetrie (Satz von Cantor-Bernstein):

Aus $|A|\leq |B|$ und $|B|\leq |A|$ folgt $|A|=|B|$.

Totalität (Vergleichbarkeitssatz):

Es gilt $|A|\leq |B|\lor |B|\leq |A|$. Diese Aussage ist äquivalent zum Auswahlaxiom.

D. h.: Die Kardinalzahlen sind total geordnet bezüglich »Repräsentant der ersten Zahl ist höchstens gleichmächtig zu Repräsentant der zweiten Zahl«.

Bzw.: Die Kardinalzahlen sind steng total geordnet bezüglich »Repräsentant der ersten Zahl ist weniger mächtig als Repräsentant der zweiten Zahl«.

Hilberts Hotel.

Ist $E$ eine endliche Menge und $A$ unendlich, dann gilt $|E\cup A|=|A|$ und $|A\setminus E|=|A|$.

Reißverschlussargument.

Sind $A,B$ abzählbar unendlich, dann ist auch $A\cup B$ abzählbar unendlich.

Cantors erstes Diagonalargument.

Sind $A,B$ abzählbar unendlich, dann ist auch $A\times B$ abzählbar unendlich.

Cantors zweites Diagonalargument.

Es gilt $|\mathbb {N} |<|2^{\mathbb {N} }|$.

Satz von Cantor.

Es gilt $|A|<|2^{A}|$.

Kardinalität kartesischer Potenzen unendlicher Mengen.

Für unendliche Mengen gilt $|A|=|A\times A|$. Diese Aussage ist äquivalent zum Auswahlaxiom.

Es gilt

${\begin{aligned}|\mathbb {N} |&=|\mathbb {Z} |=|\mathbb {Q} |<|2^{\mathbb {N} }|=|\mathbb {R} |=|\mathbb {C} |,\\|\mathbb {N} |&=|\mathbb {N} \times \mathbb {N} |=|\mathbb {Z} \times \mathbb {N} |=|\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} |.\\\end{aligned}}$

Es gilt

${\begin{aligned}|\mathbb {N} |&=|\mathbb {N} ^{n}|=|\mathbb {Z} ^{n}|,&&(n\geq 1)\\|\mathbb {R} |&=|\mathbb {R} ^{n}|.&&(n\geq 1)\end{aligned}}$