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Formelsammlung Mathematik: Matrizen

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Formelsammlung Mathematik

Grundlagen[Bearbeiten]

Multiplikation[Bearbeiten]

Sei das Produkt der Matrizen vom Typ und vom Typ . Das Produkt ist vom Typ und wird definiert durch

  • die Multiplikation von Matrizen ist im Allgemeinen nicht kommutativ
  • (Assoziativgesetz)
  • (Rechts-Distributivgesetz)
  • (Links-Distributivgesetz)

Sei ein Skalar. Sei die Einheitsmatrix.

Determinanten[Bearbeiten]

Seien vom Typ .

Inverse Matrix[Bearbeiten]

Transponierte Matrix[Bearbeiten]

Adjungierte Matrix[Bearbeiten]

Konjugation[Bearbeiten]

Rotationsmatrizen[Bearbeiten]

Sei Der Vektor wird mit gegen den Uhrzeigersinn gedreht. Der neue Vektor ist gegeben durch .

Diagonale Matrizen[Bearbeiten]

usw.

Streichungsmatrizen[Bearbeiten]

Sei die Matrix, welche sich ergibt, wenn man von der Matrix die Zeile und die Spalte entfernt. Diese Matrix wird als Streichungsmatrix bezeichnet.

Die Zahlen werden als Minoren der Matrix bezeichnet.

Die Kofaktoren von sind definiert durch

Die Matrix mit wird als Kofaktormatrix der Matrix bezeichnet.

Die Adjunkte von ist definiert durch

Es gilt

Laplacescher Entwicklungssatz:

,
.

Lineare Abbildungen[Bearbeiten]

Basismatrix[Bearbeiten]

Definition. Basismatrix.

Sei eine Basis von , dem zweidimensionalen Koordinatenraum über dem Körper .

Das Tupel lässt sich nun als Matrix betrachten:

Die Matrix nennt man Basismatrix bezüglich der Basis .

Für den ist die Definition analog.

Darstellungsmatrix[Bearbeiten]

Definition. Darstellungsmatrix.

Sei eine Basis von und eine Basis von . Sei eine lineare Abbildung.

Die Darstellungsmatrix ist die Matrix, für die

gilt, wobei und die Koordinatendarstellungen der Vektoren und sind.

Die Abbildung

ist ein Isomorphismus zwischen -Vektorräumen.

Somit gilt:

  1. Zu jeder linearen Abbildung gehört genau eine Darstellungsmatrix.
  2. Zu jeder Darstellungsmatrix gehört genau eine lineare Abbildung.
  3. Die Vektorräume und sind isomorph.
  4. Die Vektorräume und sind isomorph.
  5. ist die Anzahl der Zeilen.
  6. ist die Anzahl der Spalten.

Transformationsmatrix[Bearbeiten]

Definition. Transformationsmatrix.

Sind und Basen von , so bezeichnet man

als Transformationsmatrix.

Eine Transformationsmatrix ist immer invertierbar und es gilt:

Werden die Basen und durch Basismatrizen dargestellt, so gilt:

Kürzungsregel:

Basiswechsel[Bearbeiten]

Seien und Basen von und ein Vektor. Ist die Koordinatendarstellung von bezüglich , so gilt:

Ist ein Endomorphismus, so gilt:

Seien Basen von und Basen von . Ist eine lineare Abbildung, so gilt: