Sei
das Produkt der Matrizen
vom Typ
und
vom Typ
.
Das Produkt ist vom Typ
und wird definiert durch
![{\displaystyle c_{ij}:=\sum _{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13699992e21401e0cddb1e15819efe004868f8ec)
- die Multiplikation von Matrizen ist im Allgemeinen nicht kommutativ
(Assoziativgesetz)
(Rechts-Distributivgesetz)
(Links-Distributivgesetz)
Sei
ein Skalar. Sei
die Einheitsmatrix.
![{\displaystyle rA=Ar}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb232628d337893302ff45eb6713f9b5128da679)
![{\displaystyle r(AB)=(rA)B=A(rB)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a07ab9eeec2e6f2e94047ff3ee10a77599008b48)
![{\displaystyle AE=EA=A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/831442ff03b10c311f0c553de9040cbd71ecb13f)
Seien
vom Typ
.
![{\displaystyle \det(rA)=r^{n}\det(A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ceb164dc20f5229f651cd1e61241352d46c85368)
![{\displaystyle \det(AB)=\det(A)\det(B)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22ae85d6f8ec2ab13701577f53cd24ea669ab506)
![{\displaystyle \det(A^{-1})=\det(A)^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b7faca5cf260ffa3c85c17fa8983975941808d0)
![{\displaystyle A^{-1}A=AA^{-1}=E}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f81469a9626874bcd67bd8189f75bc01731012ce)
![{\displaystyle (A^{-1})^{-1}=A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f04dd5a4180381105e117aaaf437ebe22b9eba7)
![{\displaystyle (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0eaffc1bb26134f9aa57c902fd32cc76f10c88b)
![{\displaystyle (a_{ij})^{T}:=(a_{ji})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50d70261d62a47f94f03a485cf858a86a2f5f6fa)
![{\displaystyle (A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fdc3f34da04ccc598d81767cd75e5b922eb0953)
![{\displaystyle (AB)^{T}=B^{T}A^{T}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0df1305b8040ec70a9e90c1071806770e34feddf)
![{\displaystyle (A^{-1})^{T}=(A^{T})^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c7d9758d4795a99ca69bda2ea5c4e92256f39b4)
![{\displaystyle (rA)^{T}=rA^{T}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11a82801e842f58b4ff6814accfc8daee9f35bf4)
![{\displaystyle \det(A^{T})=\det(A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20c4fa39e2278fc9ca0a1efe19ad1dd17dc2770a)
![{\displaystyle (a_{ij})^{H}:=({\overline {a}}_{ji})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c8125c4717319758715afa96d7a851e64d0d7f6)
![{\displaystyle (A+B)^{H}=A^{H}+B^{H}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddb01c7a4fe398b7fbc36d64815bb532f1d6f6f0)
![{\displaystyle (AB)^{H}=B^{H}A^{H}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/789740297279c34aa2aea4ca95a9bdf535756129)
![{\displaystyle (A^{-1})^{H}=(A^{H})^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19155680e6640b922b74fc2573a820441a9d669d)
![{\displaystyle (rA)^{H}={\overline {r}}A^{H}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82da68a5c20737d749c620117517a59f494d456e)
![{\displaystyle \det(A^{H})={\overline {\det(A)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfca7c0670b711c071dec740199515122b63456c)
![{\displaystyle {\overline {A}}:=({\overline {a}}_{ij})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f80b988b99c21389179e3da173ca374cf845bc3)
![{\displaystyle {\overline {A+B}}={\overline {A}}+{\overline {B}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab6047a94acff3e344b5a0936cdda14c7d0f12ce)
![{\displaystyle {\overline {AB}}=({\overline {A}})({\overline {B}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a0617e827a8063a0d2456ffc4f3b95bf00a51cb)
![{\displaystyle \det({\overline {A}})={\overline {\det(A)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e548d1c56afb25540b25089087c14160bfbf513f)
![{\displaystyle A^{H}=({\overline {A}})^{T}={\overline {(A^{T})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e190fb066a36ddba57483d4282a808a91a03cd1)
![{\displaystyle R^{T}R=RR^{T}=E}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87382869adebf9bb581bb63ddf987e17fe28a00d)
![{\displaystyle R^{-1}=R^{T}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84f1d61ab5587268dcc63d89f9bbc9ae8f25799d)
![{\displaystyle \det(R)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ef4e4006d672c548a3bd9975f097cb817e5a87c)
Sei
Der Vektor
wird mit
gegen den Uhrzeigersinn gedreht. Der neue Vektor
ist gegeben durch
.
usw.
![{\displaystyle \mathrm {diag} (d_{1},\ldots ,d_{n})^{-1}=\mathrm {diag} (d_{1}^{-1},\ldots ,d_{n}^{-1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cacea69cab474c507c79ad45c771e146df43eff)
![{\displaystyle \mathrm {diag} (d_{1},\ldots ,d_{n})^{r}=\mathrm {diag} (d_{1}^{r},\ldots ,d_{n}^{r})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b94a2bb1c36c5631c1a246e15da00a419428057)
Sei
die Matrix, welche sich ergibt, wenn man von der Matrix
die Zeile
und die Spalte
entfernt. Diese Matrix wird als Streichungsmatrix bezeichnet.
Die Zahlen
werden als Minoren der Matrix
bezeichnet.
Die Kofaktoren von
sind definiert durch
![{\displaystyle \mathrm {cof} (A,i,j):=(-1)^{i+j}\det([A]_{ij}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfc9f1bf6a7e41541af6648cd9bbfbf1907bad9d)
Die Matrix
mit
wird als
Kofaktormatrix der Matrix
bezeichnet.
Die Adjunkte von
ist definiert durch
![{\displaystyle \mathrm {adj} (A):=\mathrm {cof} (A)^{T}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/beeb255248f4d5ac147b1e29afbe1f48f3f36be3)
Es gilt
![{\displaystyle A^{-1}={\frac {1}{\det(A)}}\mathrm {adj} (A).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3009c27eecc4dbc59692d971a37af1753f6ffd63)
Laplacescher Entwicklungssatz:
,
.
Die Abbildung
![{\displaystyle M_{B}^{A}\colon \,\operatorname {Hom} (V,W)\to K^{m\times n},\quad f\mapsto M_{B}^{A}(f)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1d5296677911b25f3c61f24e833ea2fb03768fa)
ist ein Isomorphismus zwischen
-Vektorräumen.
Somit gilt:
![{\displaystyle M_{B}^{A}(f+g)=M_{B}^{A}(f)+M_{B}^{A}(g).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ee41ac31874ee14afcaa5c3a809a8703da96137)
![{\displaystyle M_{B}^{A}(\lambda f)=\lambda M_{B}^{A}(f).\quad (\lambda \in K)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d36a2bec923924e738535def7030ae708c3875ee)
- Zu jeder linearen Abbildung gehört genau eine Darstellungsmatrix.
- Zu jeder Darstellungsmatrix gehört genau eine lineare Abbildung.
- Die Vektorräume
und
sind isomorph.
- Die Vektorräume
und
sind isomorph.
ist die Anzahl der Zeilen.
ist die Anzahl der Spalten.
Definition. Transformationsmatrix.
Sind
und
Basen von
, so bezeichnet man
![{\displaystyle T_{B'}^{B}:=M_{B'}^{B}(\operatorname {id} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5fb0479874ffa35f1974322c93f958b1e467027)
als Transformationsmatrix.
Eine Transformationsmatrix ist immer invertierbar und es gilt:
![{\displaystyle T_{B'}^{B}=(T_{B}^{B'})^{-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5af827b7c2b27d7e080ee3b197b6b5bf0f2906b4)
Werden die Basen
und
durch Basismatrizen dargestellt, so gilt:
![{\displaystyle T_{B'}^{B}=(B')^{-1}B.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35571c7d81468ed32fa70581d251e69945a98f56)
Kürzungsregel:
![{\displaystyle T_{B''}^{B'}T_{B'}^{B}=T_{B''}^{B}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/479f02309d268db5eac2ad4b018cc76b397f2d12)
Seien
und
Basen von
und
ein Vektor.
Ist
die Koordinatendarstellung von
bezüglich
, so gilt:
![{\displaystyle v_{B'}=T_{B'}^{B}v_{B}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61cfdb0dbde2e8e86b45abba022ad3f4fed43e17)
Ist
ein Endomorphismus, so gilt:
![{\displaystyle M_{B'}^{B'}(f)=T_{B'}^{B}\,M_{B}^{B}(f)\,T_{B}^{B'}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83aae55a057c75c0429bb2578998181eca36da6d)
Seien
Basen von
und
Basen von
. Ist
eine lineare Abbildung, so gilt:
![{\displaystyle M_{B'}^{A'}(f)=T_{B'}^{B}\,M_{B}^{A}(f)\,T_{A'}^{A}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b94e08f6e4aea25905b24fe4ea41ef1ee0e2e6a2)